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Introduction: Lalgébre linéaire Histoire du algébre linéaire Dates sur les mathématiques qui ont contribué au développement du algébre linéaire Applications.

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3 Introduction: Lalgébre linéaire Histoire du algébre linéaire Dates sur les mathématiques qui ont contribué au développement du algébre linéaire Applications dans la vie quotidienne Bibliographie et sitographie

4 est la branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des espaces vectoriels (ou espaces linéaires), de leurs éléments les vecteurs, des transformation linéaires et des systèmes d'équations linéaires (théorie des matrices).

5 L'histoire de l'algèbre linéaire commence avec René Descartes qui le premier pose des problèmes de géométrie, comme l'intersection de deux droites, sous forme d'équation linéaire. Il établit alors un pont entre deux branches mathématiques jusqu'à présent séparées : l'algèbre et la géométrie. S'il ne définit pas la notion de base de l'algèbre linéaire qui est l'espace vectoriel, il l'utilise déjà avec succès.

6 Au XIX e siècle l'algèbre linéaire devient une branche des mathématiques à part entière. Carl Friedrich Gauss trouve une méthode générique pour la résolution des systèmes d'équations linéaires, Marie Ennemond Camille Jordan résout définitivement le problème de la réduction d'endomorphisme. En 1843, William Rowan Hamilton (inventeur du terme vector) découvre les quaternions.

7 Le début du XX e siècle voit la naissance de la formalisation moderne des mathématiques. Les espaces vectoriels deviennent alors une structure générale omniprésente dans presque tous les domaines mathématiques.

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9 Eugène Rouché Joseph-Louis Lagrange Évariste Galois Kronecker Cappelli

10 Eugène Rouché Né le 18 août 1832 Mort le 19 août 1910 Hérault VIE: Il est ancien élève de l'École polytechnique (1852). Il est professeur de mathématiques au lycée Charlemagne, à l'École centrale, et examinateur dadmission à l'École polytechnique. Carrière: Il est l'auteur du théorème de Rouché en analyse complexe, publié dans le Journal de l'École polytechnique (1862).

11 Joseph- Louis Lagrange Né le 25 janvier 1736 Mort le 10 avril 1813 Italien Élève brillant issu d'un milieu aisé, il étudie au collège de Turin. Il prend goût pour les mathématiques par hasard à l'âge de 17 ans après la lecture d'un mémoire de Edmund Halley portant sur les applications de l'algèbre en optique. Il se consacre à des problématiques variées : Algèbre, calcul infinitésimal,probabilités, théorie des nombres, mécanique théorique, mécanique céleste, mécanique des fluides, cartographie... Est un mathématicien, mécanicien et astronome. Italien, mais de famille française par son arrière-grand-père, il passa trente ans dans le Piémont, puis vingt-et-un ans à Berlin, et le restant de ses jours à Paris.

12 Évariste Galois Né le1811 Mort le1832 France En étudiant le problème de l'équation algébrique, Galois met en évidence les premiers éléments de la théorie qui porte maintenant son nom. Ses écrits sont perdus ou tombent dans l'oubli. Un mémoire est finalement retrouvé par Liouville ( ) qui le présente à l'Académie des sciences en Galois, pour la première fois dans l'histoire des mathématiques, met en évidence une structure structure Abstraite qu'il appelle groupegroupe.

13 À la différence de ses prédécesseurs, il n'étudie pas une incarnation particulière comme les permutations de Lagrange ou les groupes cycliques de Gauss, mais une structure générale définie par un ensemble et une loi. Cette démarche, particulièrement novatrice, est à l'origine de l'algèbre moderne. Liouville en parle dans les termes suivants : « Cette méthode, vraiment digne de l'attention des géomètres, suffirait seule pour assurer à notre compatriote un rang dans le petit nombre des savants qui ont mérité le titre d'inventeur Évariste Galois Né le1811 Mort le1832 France

14 La théorie de Galois voit ses origines dans l'étude des équations algébriques. Elle se ramène à l'analyse des équations polynomiales. Une approche par des changements de variables et des substitutions a permis à des mathématiciens comme Al- Khwarizmi ( ),Tartaglia ( ), Cardano( ) ou Ferrari ( ) de résoudre tous les cas jusqu'au degré quatre. Cette approche ne permet pas d'aller plus loin et deux siècles seront necessaries pour apporter de nouvelles idées. Un pentagone en théorie de Galois est une figure d'un espace vectoriel rationnel de dimension quatre.

15 En arithmétique L'écriture, dite irréductible, d'un rationnel sous la forme d'un quotient de deux nombre entiers premier entre eux. La décomposition canonique d'un élément d'un anneau factoriel est son écriture comme produit d'éléments irréductibles. Dans l'anneau des entiers relatifs, la décomposition canonique d'un entier est son écriture comme produit de puissances de nombres premiers.

16 En arithmétique L'écriture, dite irréductible, d'un rationnel sous la forme d'un quotient de deux nombre entiers premier entre eux. La décomposition canonique d'un élément d'un anneau factoriel est son écriture comme produit d'éléments irréductibles. Dans l'anneau des entiers relatifs, la décomposition canonique d'un entier est son écriture comme produit de puissances de nombres premiers (voir Décomposition en produit de facteurs premiers).

17 En mathématiques, plus précisément en analyse, le calcul intégral est l'une des deux branches du calcul infinitésimal, l'autre étant lecalcul différentiel.mathématiquesanalysecalcul infinitésimalcalcul différentiel Le calcul intégral permet la démonstration de la formule de l'aire d'un cercle. Il permet aussi dans un ensemble plus général le calcul d'aire de forme quelconque.

18 Simulation numérique d'une collision d'une voiture dans un mur On entend souvent par calcul numérique un ensemble de calculs qui sont réalisés sur un système informatique, encore appelé système numérique (ou ordinateur). On réalise généralement des calculs numériques pour simuler par exemple des phénomènes naturels tels que déformations de matériaux sous l'effet de contraintes extérieures, etc.; autant de domaines pour lesquels le calcul à la main (sur une simple feuille de papier) prendrait des heures et des milliers et des milliers de feuilles de papier (Voir aussi : Simulation informatique, Ingénierie numérique).

19 L'algorithme du simplexe de George Dantzig est une technique à la fois fondamentale et très populaire pour les problèmes d'optimisation linéaire. Ainsi, étant donné un ensemble d'inégalités linéaires sur variables réelles, l'algorithme permet de minimiser (ou maximiser) une fonction objectif, qui est elle aussi linéaire.

20 En termes géométriques, l'ensemble des inégalités linéaires définit un polytope dans l'espace à dimensions (polygone en 2 dimensions et polyèdre en 3 dimensions) et il s'agit de trouver le sommet optimal pour la fonction de coût donnée. En effet, la fonction que l'on cherche à minimiser étant linéaire sur le polytope, elle y est en particulier concave. Or une fonction concave et minorée sur un polytope admet un minimum en un des sommets du polytope. La recherche d'un point de minimum peut donc se restreindre aux sommets du polytope (qui peuvent être très nombreux néanmoins).

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22 Il s'agit de déterminer un maximum en fonction de contraintes économiques, par exemple un profit. 1/ Ecrire les inéquations de contrainte et la fonction économique 2/ Transformer les inéquations de contrainte en équations Introduire des variables d'écart. Il y a autant de variables d'écart que d'inéquations de contrainte. 3/ Mettre en forme matricielle : Base de depart PPT S10

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24 Dans le monde actuel, où les télécommunications occupent une place cruciale, la cryptographie est un enjeu majeur. Elle est aussi devenue une science complexe, qui ne peut se passer de mathématiciens de haut niveau.

25 En France, le secret des cartes à puce était protégé depuis 1985 grâce à une méthode de cryptage faisant intervenir un grand nombre N, constitué de 97 chiffres. Ce nombre N doit être le produit de deux grands nombres premiers, cest-à-dire de nombres qui, comme 7 ou 19, ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes. Le secret dune carte bancaire est constitué précisément par ce couple de nombres premiers ; les calculer à partir de N était pratiquement impossible dans la décennie Mais avec laugmentation de la puissance des ordinateurs et lamélioration des méthodes mathématiques, la taille des nombres N dont on peut calculer les facteurs premiers en un temps raisonnable a dépassé la centaine de chiffres dans les dernières années du siècle (le record actuel, 158 chiffres).

26 Cette péripétie illustre limportance considérable que revêt aujourdhui la science du cryptage, cest-à-dire du codage de messages en vue de les rendre illisibles par des personnes indiscrètes. Crypter et décrypter des messages secrets est une activité vieille de plusieurs siècles, voire millénaires. Et cette activité a largement débordé du cadre strictement diplomatique ou militaire pour investir des pans entiers de lunivers des communications civiles: procédures dauthentification, transactions bancaires, commerce électronique, protection de sites et fichiers informatiques, etc.

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28 Qui na jamais vu un portable ou téléphoné avec ? Mais rares sont ceux qui ont une pensée pour la science et la technologie mises en jeu. Le téléphone mobile est aujourdhui dun usage très courant dans beaucoup de pays. En 1985, existaient un grand nombre de systèmes de téléphonie sans fil, mais ils étaient mutuellement incompatibles. Pour les rendre compatibles, il fallait donc se mettre daccord sur une norme commune de specifications qui sappele GSM (Global System for Mobile communications).

29 En particulier, les mathématiques et lalgorithmique jouent un rôle fondamental dans la conception et le bon fonctionnement des mécanismes internes des réseaux radio-mobiles. Les mathématiques fournissent le substrat théorique sur lequel sappuient presque toutes les étapes fondamentales de traitement de linformation nécessaires à la gestion dune communication téléphonique à partir dun portable. Lalgorithmique, elle, permet de transformer ces résultats fondamentaux en protocoles effectifs et efficaces, pouvant être mis en oeuvre concrètement au sein dun réseau radio-mobile.

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31 Tout dabord, toutes les données transmises au sein dun réseau radio-mobile sont uniquement numériques : elles sont en effet constituées de « paquets », cest-à-dire de suites de 0 et de 1 de longueur fixe, émis tous les quarts de seconde, qui contiennent lensemble des informations (parole, identification du portable, qualité de réception telle que la mesure le mobile, etc.) liées à une communication téléphonique donnée.

32 La grande différence entre la téléphonie mobile et la téléphonie fixe classique réside bien entendu dans le fait que les paquets dinformation numérique sont transmis par ondes hertziennes et non par câbles ; cela a nécessité la mise au point dun ensemble de techniques algorithmiques et mathématiques très spécifiques. Celles-ci font intervenir à la fois de lalgorithmique répartie, de loptimisation combinatoire, du traitement numérique du signal, de la géométrie algorithmique ou du codage correcteur derreurs, pour ne citer que quelques domaines parmi beaucoup dautres.

33 Les paquets dinformation ne sont en effet pas transmis de manière brute. Pour assurer la confidentialité des communications, chaque paquet est crypté à laide dun protocole cryptographique spécifié par la norme et utilisant des clefs secrètes propres à chaque opérateur (et lon sait que les méthodes cryptographiques reposent sur des techniques et concepts algébriques ou géométriques souvent très élaborés).

34 Lapport de lalgorithmique et des mathématiques ne se limite pas à la chaîne de traitement de linformation numérique que nous venons (très rapidement) desquisser. Les techniques algorithmiques sont en particulier fondamentales pour gérer efficacement les fréquences radio dont dispose chaque opérateur. Deux communications réalisées en même temps par deux portables différents, mais géographiquement proches, ne peuvent être acheminées sur des fréquences voisines sous peine dinterférences affectant la qualité des transmissions.

35 Il est donc nécessaire de savoir répartir de façon optimale les fréquences disponibles parmi tous les utilisateurs qui sont bien plus nombreux que les fréquences. On peut démontrer quun être humain nest pas capable de résoudre exactement ce type de problème en un temps raisonnable. Les méthodes algorithmiques, fondées sur des modèles mathématiques tels que la théorie des graphes, ont ici été déterminantes pour réaliser des logiciels de planification qui permettent effectivement de résoudre de manière approchée ces problèmes dallocation de fréquences.

36 Îmblânzirea infinitului- povestea matematicii, Ian Stewart, Humanitas La brochure L explosion des math é matiques


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