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z n + a n-1 z +... +a 0 = (z – z n ) (z – z n-1 )... (z – z 1 ) et la mesure des évènements les plus Rick Trebino School of Physics Georgia Institute.

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2 z n + a n-1 z a 0 = (z – z n ) (z – z n-1 )... (z – z 1 ) et la mesure des évènements les plus Rick Trebino School of Physics Georgia Institute of Technology Atlanta, GA La partition musicale, le Théorème fondamental de lalgèbre, brefs jamais créés The Musical Score

3 Pour caractériser un évènement dans le temps, il faut en utiliser un plus bref Pour étudier ce phénomène, il faut une source de lumière stroboscopique plus brève. Mais dans ce cas, pour mesurer limpulsion lumineuse du stroboscope, il faut utiliser un détecteur dont le temps de réponse soit encore plus bref. Et ainsi de suite… Bien ! Et maintenant, comment mesure-t-on lévènement le plus bref ? Photographié par Harold Edgerton, MIT Le dilemne

4 Les impulsions laser ultracourtes constituent les phénomènes technologiques les plus brefs jamais créés par lhomme Il est coutumier de générer des impulsions dune durée inférieure à s et les chercheurs parviennent même à générer des impulsions durant à peine quelques fs ( s). De telles impulsions sont à la seconde ce que 5 cents sont à la dette nationale des USA. Ces impulsions ont beaucoup dapplications en physique, chimie, biologie et ingénierie. Il est possible de mesurer un évènement quelconque dès lors quon maîtrise des impulsions plus brèves. Dès lors, comment mesurer limpulsion elle-même ? Il faut se servir de limpulsion elle-même. Néanmoins, ce nest pas suffisant car elle est seulement aussi brève que limpulsion à mesurer et non plus brève. Les techniques fondées sur lutilisation de limpulsion à mesurer, elle-même, se sont révélées insuffisantes

5 Une impulsion laser est associée au champ électrique suivant dans le domaine temporel : E I(t) 1/ 2 exp [ i t – i (t) ] } AmplitudePhase (t) = Re { De manière équivalente, dans le domaine des fréquences: exp [ -i ( – 0 ) ] } Phase spectrale ( On néglige la composante de fréquence négative.) E ( ) = Re { ~ S( ) 1/ 2 Nous voulons mesurer lamplitude et la phase dune impulsion laser ultracourte en fonction du temps ou de la fréquence. Densité spectrale La connaissance de lamplitude de la phase ou de la densité spectrale et de la phase spectrale suffisent à définir limpulsion.

6 t d dt La fréquence instantanée est : Exemple: distorsion de fréquence linéaire Phase, (t) Temps Fréquence, (t) time Nous voudrions être à même de mesurer des impulsions à distorsion de fréquence linéaire, mais aussi des impulsions dont les phases temporelles ou spectrales puissent êtres arbitrairement compliquées. La phase décrit lévolution de la fréquence de limpulsion (c.-à-d. la couleur) en fonction du temps. champ électrique temps

7 Même les plus belles traces dautocorrélation ont des interprétations ambiguës Ces profils dintensité compliqués présentent des traces dautocorrélation quasi-gaussiennes. Les conclusions tirées dune autocorrélation ne sont pas fiables Autocorr 2 Intensité Autocorrélation TempsRetard

8 Temps Intensité Phase Peut-être est-il temps de sinterroger sur la manière utilisée par les spécialistes dautres domaines pour décrire les ondes… Intéressons-nous, par exemple, aux ondes sonores. Lautocorrélation et les techniques similaires fournissent peu de renseignements sur limpulsion.

9 Il sagit dun relevé des fréquences au cours du temps, accompagné dinformations au sujet de lintensité (ici, au-dessus de la portée) La partition musicale se situe dans lespace temps-fréquence. temps La plupart des gens se représentent les ondes sonores sur une portée musicale. freq fréquence

10 Une expression mathématique rigoureuse de la partition musicale est le spectrogramme Le spectrogramme est une fonction de et de Il sagit de lensemble des spectres associés à toutes les tranches temporelles de E(t). Le spectrogramme associé à londe étudiée E(t) sécrit : où g ( t - ) est une porte temporelle à retard variable et où est le retard. Sans g ( t - ), Sp E (, ) se résume à la densité spectrale. Spectrogram

11 Le spectrogramme dune onde E(t) Nous devons calculer le spectre associé au produit : E(t) g(t- ) g(t- ) E(t) temps 0 Le spectrogramme décrit la couleur et lintensité E(t) à linstant. g(t- ) a une contribution à l intensité et non à la phase (c.-à-d. la couleur), à limpulsion signal. E(t) a une contribution à la phase (c.-à-d. de couleur), à limpulsion signal E(t) g(t- ) Spectrogram

12 Impulsion à distorsion négative Impulsion à distorsion positive Impulsion sans distorsion Comme une partition musicale, le spectrogramme représente graphiquement les fréquences en fonction du temps Fréquence Temps Retard Spectrogrammme dune impulsion à distortion de fréquence linéaire

13 Propriétés du spectrogramme Le spectrogramme résout le dilemme! Il ne nécessite pas lutilisation dun évènement plus bref ! Il résout les composantes variant lentement dans le domaine temporel et les composantes variant rapidement dans le domaine des fréquences. Il existe des algorithmes permettant dextraire E(t) de son spectrogramme. Le spectrogramme détermine de manière quasi-univoque lintensité I(t) et la phase (t) de londe. Il existe quelques ambiguïtés, mais celles-ci séliminent facilement. La porte temporelle ne doit et ne devrait pas être beaucoup plus brève que limpulsion E(t) Supposons que la porte temporelle soit une fonction : = Lintensité. Il ny a aucune information sur la phase

14 I FROG (, ) = E sig (t, ) e - i t dt 2 La technique FROG consiste à découper temporellement limpulsion à laide dune réplique delle-même, retardée avec un délai variable, au sein dun milieu présentant une non-linéarité optique instantanée ; puis à résoudre spectralement chaque tranche de limpulsion. Utilise une quelconque interaction due à une non-linéarité optique : génération de seconde harmonique, auto-diffraction, etc. Spectro- meter Caméra Diviseur de phase Milieu à non-linéarité optique instantanée Impulsion à mesurer E(t) E(t- ) Lame de phase (rotation de polarisation de 45 °) E sig (t, ) E(t) |E(t- )| 2 Retard variable Montage à découpage par polarisation Spectro- mètre Trebino, et al., Rev. Sci. Instr., 68, 3277 (1997). Kane and Trebino, Opt. Lett., 18, 823 (1993). Découpage temporel résolu en fréquences (FROG)

15 Frequency-Resolved Optical Gating E sig (t, ) E(t) | E(t- ) | 2 E(t- ) E(t) temps 0 Impulsion signal /3 Limpulsion signal reproduit la couleur de limpulsion découpée temporellement, E(t), à linstant 2 /3. |E(t- )| 2 nintervient que dans lintensité et non dans la phase (la couleur), de limpulsion signal. E(t) intervient dans la phase (la couleur), de limpulsion signal. FROG

16 Negatively chirped pulse Positively chirped pulse Unchirped pulse The FROG trace visually displays the frequency vs. time. FROG Traces for Linearly Chirped Pulses La trace FROG représente de façon visuelle la fréquence en fonction du temps. Frequency Time Delay Fréquence Temps Retard Impulsion à distorsion négative Impulsion sans distorsion Impulsion à distorsion positive Traces FROG associées à des impulsions présentant une distorsion de fréquence linéaire.

17 Frequency Fréquence Intensité Temps Delay Traces FROG associées à des impulsions plus complexes Fréquence Retard Impulsion soumise à de lauto-modulation de phase Impulsion à profil de phase spectrale cubique Impulsion double

18 Malheureusement, les algorithmes dinversion dun spectrogramme nécessitent la connaissance de la fonction douverture temporelle g. En remplaçant E sig (t, ) dans lexpression de la trace FROG : fournit: E sig (t, ) E(t) |E(t– )| 2 où: g(t– ) |E(t– )| 2 La trace FROG est un spectrogramme de E(t)

19 Si nous voyons E sig (t, ), comme la transformée de Fourier en le retard dun nouveau champ E sig (t, ), alors : Il nous reste à inverser cette équation intégrale pour trouver E sig (t, ). Ce problème dinversion de lintégrale est le problème à 2D de reconstruction de la phase, pour lequel la solution existe et est unique. De plus, des algorithmes simples permettent de le résoudre. et Limpulsion E(t) à caractériser sobtient au départ de, E sig (t, ) : E(t) E sig (t, ) Examinons maintenant la trace FROG dans le cadre dun problème à 2D de reconstruction de la phase. Stark, Image Recovery, Academic Press, 1987.

20 Reconstruction de phase à 1-D : Supposons que nous mesurions S(w) et recherchons E(t), où : Pour S(k x,k y ), il existe essentiellement une solution pour E(x,y) !!! Nous voyons quil est possible de reconstruire la phase spectrale à 2-D ! Pour une fonction S ( ) donnée, il existe une infinité de solutions, pour E(t). Il nous manque la phase spectrale. Reconstruction de phase à 2-D : Supposons que S(k x,k y ) et recherchons E(x,y) : Ces résultats sont liés au théorème fondamental de lalgèbre. Nous supposons que E(t) et E(x,y) ont un support fini. Comparaison de la reconstruction de phase à 1-D & à 2-D Stark, Image Recovery, Academic Press, 1987.

21 Le théorème fondamental de lalgèbre stipule que tout polynôme peut se factoriser f N-1 z N-1 + f N-2 z N-2 + … + f 1 z + f 0 = f N-1 (z–z 1 ) (z–z 2 ) … (z–z N–1 ) Le théorème fondamental de lalgèbre na pas déquivalent pour les polynômes à 2 variables. Seul un ensemble de mesure nulle peut être factorisé. f N-1,M-1 y N-1 z M-1 + f N-1,M-2 y N-1 z M-2 + … + f 0,0 = ? En quoi cela importe-t-il ? Lexistence du théorème fondamental de lalgèbre à 1-D implique limpossibilité de reconstruire la phase à 1-D. Linexistence dun théorème fondamental de lalgèbre à 2-D implique quil est possible de reconstruire la phase à 2-D. Reconstruction de phase et théorème fondamental de lalgèbre

22 Reconstruction de la phase 1-D et théorème fondamental de lalgèbre. La transformée de Fourier {F 0, …, F N-1 } dun ensemble discret à 1-D [de données], { f 0, …, f N-1 }, est: où z = e –ik Le théorème fondamental de lalgèbre stipule que tout polynôme, f N-1 z N-1 + … + f 0, peut être factorisé sous la forme : f N-1 (z–z 1 ) (z–z 2 ) … (z–z N–1 ) Dès lors, lamplitude de la transformée de Fourier de nos données peut sécrire : |F k | = | f N-1 (z–z 1 ) (z–z 2 ) … (z–z N–1 ) | où z = e –ik La conjugaison complexe dun quelconque des facteurs laisse lamplitude inchangée mais modifie la phase, ce qui conduit à lambiguïté ! Cest pourquoi la reconstruction de la phase à 1-D est impossible. Phase Retrieval & the Fund Thm of Algebra 2 polynôme!

23 Reconstruction de la phase à 2-D et théorème fondamental de lalgèbre. La transformée de Fourier {F 0,0, …, F N-1,N-1 } dun ensemble discret à 2D de données, { f 0.0, …, f N-1,N-1 }, est: où y = e –ik et z = e –iq Il nest pas possible de factoriser les polynômes des deux variables. De ce fait, nous ne pouvons appliquer la conjugaison complexe quà lexpression entière (ce qui introduit une ambiguïté sans importance). Seul un ensemble de polynômes de mesure nulle peut être factorisé. Ceci rend la construction de phase à 2D possible ! Les ambiguïtés sont très clairsemées. Phase Retrieval & the Fund Thm of Algebra 2 Polynôme à 2 variables !

24 Projections généralisées La solution! Candidat initial sig (t, ) Une projection envoie lapproximation actuelle de londe sur le point le plus proche de lensemble des contraintes. La convergence est garantie pour des ensembles convexes, mais elle apparaît généralement, même quand les ensembles Ensemble dondes qui satisfont la con- trainte décrivant la non-linéarité optique : Ensemble dondes qui satisfont la contrainte sur les mesures : E sig (t, ) E(t) |E(t– )| 2 pour E sig (t, ) Generalized Projections sont non convexes.

25 Kohler traces Champs électriques dimpulsions laser ultracourtes mesurés par FROG Traces FROG Champs électriques obtenus par FROG Données aimablement fournies par les professeurs Bern Kohler et Kent Wilson du département de chimie de lUCSD. Temps (fs) Longueur donde (nm) Intensité

26 FROG à une seule occurrence fournit un contrôle en temps-réel des performances dun laser. Un compresseur dimpulsions à réseau requiert un espacement très précis entre les deux réseaux, sans quoi limpulsion subira de la distorsion de fréquence (positive ou négative). Aligner un tel dispositif peut savérer très difficile. Remarquons que la trace a tourné de 90˚. Données enregistrées par Toth et ses collaborateurs

27 Durée de limpulsion la plus brève Année Impulsions les plus brèves au fil des ans Graphique élaboré en 1994, reflétant la situation à cette époque. Au milieu des années 90, limpulsion la plus brève produite par un laser à Titane-saphir durait 10fs, mais son spectre était insuffisamment large pour en supporter une plus brève encore.

28 Pour cette impulsion, la densité spectrale mesurée avait deux bosses et lautocorrélation présentait des ailes. 10-fs spectra and autocorrs Données aimablement fournies par K. et M., WSU Bien quelles prédissent des profils dimpulsions différents, les deux théories étaient compatibles avec les données mesurées. Deux théories concurrentes coexistent et saccordent avec les données. De Harvey et. al, Opt. Lett., v. 19, p. 972 (1994) De Christov et. al, Opt. Lett., v. 19, p (1994) Autocorrélation Spectre Retard (fsec) Longueur donde (nm) Théorie n°2 Dispersion matérielle Données expérimentales Théorie n°1 Coherence ringing

29 FROG permet de départager les deux théories Taft, et al., J. Special Topics in Quant. Electron., 3, 575 (1996). Intensité Longueur donde (nm) Retard (fs) Dispersion matérielleCoherent ringing Retard (fs) Impulsion mesurée Phase (rad)

30 Mesures dimpulsions de 4.5-fs par SHG FROG ! Baltuska, Pshenichnikov, and Weirsma, J. Quant. Electron., 35, 459 (1999). Intensité Longueur donde (µm) Longueur donde (nm)Temps (fs) ExpérienceReconstruit Domaine temporelDomaine fréquentiel Phase

31 Mesure dun continuum de fréquences ultralarge Un continuum de fréquences ultralarge fut généré en propageant des impulsions de 1 nJ, 800 nm, 30 fs dans 16 cm de fibre micro-strucutre Lucent. Limpulsion à 800 nm fut mesurée par FROG et constitua une impulsion de référence idéale pour servir de porte temporelle. Cette impulsion a un produit temps-fréquence proche de Elle constitue le phénomène ultracourt le plus complexe jamais mesuré. Trace X-FROG Intensité et phase reconstruites Kimmel, Lin, Trebino, Ranka, Windeler, and Stentz, CLEO Longueur donde du signal de somme de fréquence (nm) Retard (ps) Intensité [u.a.] Temps (ps) Longueur donde (nm) Intensité [u.a.] Longueur donde du continuum (nm)

32 Sensibilité de FROG Frog peut mesurer des impulsions contenant une quantité dénergie aussi faible que : 1 microjoule = 10 –6 J 1 nanojoule = 10 –9 J 1 picojoule = 10 –12 J 1 femtojoule = 10 –15 J 1 attojoule = 10 –18 J On suppose être dans des conditions de mesures en multi-coup, à 800 nm, pour des impulsions de 100 fs à 100 MHz de taux de répétition.

33 Commes les impulsions ultracourtes et ultrafaibles sont souvent créées au départ dimpulsions beaucoup plus énergétiques, on dispose en général dune impulsion de référence plus énergétique. Utilisez linterférométrie spectrale Ceci nimplique aucune non-linéarité !... et un retard unique ! E inc E réf Spectromètre Caméra fréquence FROG + IS= TADPOLE (Temporal Analysis by Dispersing a Pair Of Light E-fields) Analyse temporelle par dispersion lumineuse dune paire de champs électriques lumineux S SI ( ) S réf ( ) S inc ( ) 2S réf ( )S inc ( )cos[ inc ( ) réf ( ) ] Froehly, et al., J. Opt. (Paris) 4, 183 (1973) Lepetit, et al., JOSA B, 12, 2467 (1995) C. Dorrer, JOSA B, 16, 1160 (1999) Fittinghoff, et al., Opt. Lett., 21, 884 (1996). Mesure dimpulsions lumineuses ultracourtes et ultrafaibles

34 1 microjoule = 10 – 6 J1 nanojoule = 10 – 9 J1 picojoule = 10 –12 J1 femtojoule = 10 –15 J1 attojoule = 10 –18 J contenant une quantité dénergie aussi faible que : TADPOLE peut mesurer des impulsions 10 1 zeptojoule = –21 J On a mesuré un train dimpulsions qui contenait à peine 42 zepto- joules (42 x J) par impulsion. Ceci équivaut à lénergie dun photon pour 5 impulsions ! Fittinghoff, et al., Opt. Lett. 21, 884 (1996). Sensibilité de linterférométrie spectrale (TADPOLE)

35 POLLIWOG (POLarizationLabeledInterference vs.Wavelength forOnly aGlint*)...mais il existe cependant de la lumière dont létat de polarisation se modifie trop vite pour être mesuré avec les instruments disponibles ! Cest pourquoi nous mesurons E(t) pour deux polarisations, en fonction du temps, en utilisant deux dispositifs TADPOLE : * Glint = a very weak, very short pulse of light Spectromètre Caméra Spectromètre Caméra Polarisation verticale Polarisation horizontale E réf E inc Polariseurs Walecki, Fittinghoff, Smirl, and Trebino, Opt. Lett. 22, 81 (1997) POLLIWOG (POLarization-Labeled Interference vs. Wavelength for Only a Glint*) * Glint = a very weak, very short pulse of light La lumière non polarisée nexiste pas... Interférences distinctes en polarisation en fonction de la longueur donde, appliquées à une impulsion très peu énergétique et très brève.

36 La mesure de lévolution de létat de polarisation du signal émis par un puits quantique multiple dAsGa-AsAlGa lorsque les excitons basés sur des trous lourds et ceux contenant des trous légers sont excités permet de comprendre la physique de ces dispositifs. Évolution de létat de polarisation de lémission : A. L. Smirl, et al., Optics Letters, Vol. 23, No. 14 (1998) Application de POLLIWOG Densité spectrale du laser dexcitation et spectres des excitons hh et lh (heavy-hole & light-hole). temps (fs) PQM Retard fixé Référence

37 Caméra Cristal générant lharmonique seconde E(t) E(t- ) Retard variable Spectromètre Le cristal doit être très fin Éliminons la ligne à retard ! Éliminons le cristal fin ! Éliminons le spectromètre ! FROG est le dispositif de mesure en amplitude et phase le plus simple. Malgré cela, peut-on le simplifier davantage ? SHG FROG [FROG basé sur le doublage de fréquence] utilise un diviseur de faisceaux et une ligne à délai qui présentent 3 degrés de liberté. Le spectromètre offre 3 degrés supplémentaires. Lutilisation dun cristal fin est pénible et conduit à une sensibilité médiocre (puissance du signal L 2 ). Les alternatives à FROG sont pires ! Des faisceaux colinéaires, par exemple, offrent 5 degrés de liberté ! Étonnamment, il est possible de construire un système FROG saffranchissant de toutes complications !

38 Louverture angulaire de lharmonique seconde est inversément proportionnelle à lépaisseur du cristal. Supposons que de la lumière blanche atteigne un cristal à génération de seconde harmonique, avec une grande ouverture. Louverture du faisceau dharmonique seconde créé est inversement proportionnelle à lépaisseur du cristal. Un cristal très fin crée un spectre doublé très large dans toutes les directions. Les autocorrélateurs et dispositifs FROG classiques utilisent de tels cristaux. Cristal doubleur très fin Un cristal fin crée un spectre doublé plus étroit dans une direction donnée et ne peut de ce fait être utilisé dans un autocorrélateur ou dispositif FROG. Cristal doubleur fin Un cristal épais commence à séparer les couleurs. Cristal doubleur épais Un cristal très épais agit comme un spectromètre ! Pourquoi ne pas remplacer le spectromètre du dispositif FROG par un cristal épais ? Cristal doubleur très épais

39 GRating-Eliminated No-nonsense Observation of Ultrafast Incident Laser Light E-fields (GRENOUILLE) Patrick OShea, Mark Kimmel, Xun Gu and Rick Trebino, Optics Letters, 2001; Trebino, et al., OPN, June Remplaçons le diviseur de faisceau et la ligne à retard par un biprisme de Fresnel qui sépare le faisceau en deux parties se croisant. Remplaçons le cristal fin et le spectromètre par un cristal épais. La lentille cylindrique produit une focalisa- tion sur une ligne, permettant dopérer en régime mono- coup. Les lentilles cylindriques imagent horizontalement et transposent linclinaison en position verticale. Impulsion incidente Bi-prisme de Fresnel Cristal épais à GSH Lentilles cylindriques Caméra Longueur donde Retard

40 Configuration des faisceaux dans GRENOUILLE Vue de haut Vue de profil Lentille cylindrique Biprisme de Fresnel Cristal à GHS épais Lentille dimagerie Lentille de TF Caméra La lentille transpose linclinaison (donc la longueur donde) en une position verticale sur la caméra. On peut placer une fente permettant déliminer les autres faisceaux. le cristal (donc le retard ) en une position sur la caméra. La lentille transpose la position dans

41 Tester GRENOUILLE concrètement Même pour des impulsions hautement structurées, GRENOUILLE fournit une reconstruction précise de lamplitude et de la phase. GRENOUILLEFROG Mesuré : Reconstruit : Impulsions reconstruites dans le domaine temporel et dans le domaine fréquentiel Retard (fs) Longueur donde (nm) Intensité (u.a.) Temps (fs)Longueur donde (nm) Phase (rad)

42 La technique FROG présente plusieurs avantages ! FROG fournit les profils complets damplitude et de phase en fonction du temps (et de la fréquence). FROG est très précis, en particulier, pour mesurer la phase sur les ailes de limpulsion. FROG est facile à mettre en œuvre et GRENOUILLE est dune simplicité surprenante. FROG est très générale : elle permet de mesurer des impulsions de structures simples ou extêmement complexes (PTF > 1000 !). FROG permet la mesure dimpulsions durant de quelques fs à plusieurs ps. Elle opère de linfrarouge-moyen au domaine UV. FROG fonctionne en mono - et multicoup. FROG est très sensible : elle peut mesurer des impulsions de ~ 1-pJ (multicoup) et de ~ 1-µJ (monocoup). Les traces FROG sont intuitives (en particulier, dans les versions PG, SD & TD). Les traces FROG ont une étendue proportionnelle au produit temps-fréquence. FROG est insensible au bruit (ajout de 10% de bruit < 1% derreur sur lintensité et la phase). Les valeurs marginales de FROG permettent un excellent contrôle de la validité des mesures. FROG utilise plus de mesures quil nen faut pour caractériser limpulsion, ce qui permet de repérer déventuelles erreurs systématiques. FROG permet lélimination des erreurs systématiques, même de causes inconnues. Lalgorithme de reconstruction de limpulsion est dutilisation aisée et peu coûteuse ( ~ 500 USD). FROG sadapte très facilement et peut exploiter quasiment nimporte quel nouvel effet. Les mesures FROG peuvent être taillées sur mesure pour quasiment toute expérience, en appliquant des changements mineurs ce qui conduit à de plus grandes précision et aisance dutilisation. FROG se révèle rapide : lalgorithme de Kane, utilisant les composantes principales peut produire 20 Ips. FROG permet la mesure simultanée de deux impulsions. FROG fournit naturellement des barres derreur pour lintensité et la phase reconstruites. FROG est rigoureuse et a fait ses preuves.

43 Ou lisez le livre! Pour en apprendre davantage au sujet de FROG, connectez-vous au site web dédié à FROG !

44 Traduction française Réalisée par Pascal Kockaert Service d'optique et d'acoustique Université libre de Bruxelles


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