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DESA ANITS 2006 Calcul parallèle DESA ANITS 2006 PRODUIT : MATRICE – VECTEUR Exposé par : M. Lamnii M. Merzougui A. Abbadi CALCUL PARALLELE 10 pag es.

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1 DESA ANITS 2006 Calcul parallèle DESA ANITS 2006 PRODUIT : MATRICE – VECTEUR Exposé par : M. Lamnii M. Merzougui A. Abbadi CALCUL PARALLELE 10 pag es

2 DESA ANITS 2006 Calcul parallèle DESA ANITS PRODUIT MATRICE - VECTEUR Soit A une matrice carré de taille n, et x un vecteur de taille n. BUT : Paralléliser le produit y = Ax, sur différents types de machines parallèles. Analyse du problème Programme séquentiel Pour i 1 jusquà n Y(i) 0 Pour j 1 jusquà n Y(i) Y(i) + A(i,j) * X(i) PRODUIT MATRICE - VECTEUR 1

3 DESA ANITS 2006 Calcul parallèle DESA ANITS PRODUIT MATRICE - VECTEUR Dépendance des calculs Considérons un réseau de p processeurs. la notion parallèle impose que chaque processeur dispose dun nombre de données. le calcul impose que chaque élément A ij rencontre x j. On considère une répartition équilibré ( p divise n ). Pour simplifier : Les élément de A sont rangés en lignes. Nous examinons les cas : Les élément de A sont rangés en colonnes. 2

4 DESA ANITS 2006 Calcul parallèle DESA ANITS PRODUIT MATRICE - VECTEUR Version par lignes 3 = i Lorganisation des calculs impose que la i ème ligne du résultat Y soit placé dans le même processeur que la i ème ligne de la matrice A Dans ce cas chaque processeur contient le vecteur X et n/p lignes de la matrice A P0P0 P1P1 P3P3 A 00 A 77

5 DESA ANITS 2006 Calcul parallèle DESA ANITS PRODUIT MATRICE - VECTEUR Algorithme Coût de calcul Pour tout processeur q de 0 à p-1 faire en parall è le pour k 1 jusqu à n/p V(k) Produit scalaire de la ligne k de a et le vecteur X. On a exactement n/p produits scalaires nécessitant chacun 2n-1 opérations arithmétiques. si on note par a lunité de calcul de base on a : (2n-1)*(n/p)* a Le coût en communication et celui dun échange total dépend de la topologie du réseau 4

6 DESA ANITS 2006 Calcul parallèle DESA ANITS PRODUIT MATRICE - VECTEUR Version par colonnes 5 = Lorganisation des calculs impose que la j ème colonne de A rencontre la j ème composante du vecteur X. Dans ce cas chaque processeur produit un vecteur résultat complet dont les composantes sont des sommes partielles. Cela revient à effectuer sur chaque processeur q des calculs locaux. A 00 A 77 == Po P 1 P 2

7 DESA ANITS 2006 Calcul parallèle DESA ANITS PRODUIT MATRICE - VECTEUR Algorithme Coût de calcul Pour tout processeur q de 0 à p-1 faire en parall è le pour tout k 1 jusqu à n/p faire V- provisoire multiplication de la colonne k de a par la composante q+(k-1)p +1 du vecteur X. On a exactement n/p calculs de n multiplications composante par composante, on y ajoute le coût de la sommation des sommes partielles sur tout le vecteur V, soit p sommes pour chacune des n/p composantes locales du vecteur V. Le coût en communication est de même ordre quun échange total sur toutes les topologies régulières. 6

8 DESA ANITS 2006 Calcul parallèle DESA ANITS PRODUIT MATRICE - VECTEUR Version par blocs 7 Solution intermédiaire entre la version par lignes et celle par colonnes permettant de réduire le coût en communication. Cette version suppose que chaque processeur ne possède quun bloc de la matrice formée dune partie de lignes et une partie de colonnes. Pour simplifier : P1P1 P3P3 P2P2 POPO On suppose que n soit divisible par X A Chaque processeur fait le calcul dun morceau de vecteur résultat partielle qui correspond aux morceaux des colonnes de n/p composantes quil possède.

9 DESA ANITS 2006 Calcul parallèle DESA ANITS PRODUIT MATRICE - VECTEUR Algorithme Coût de calcul Pour tout processeur q de 0 à p-1 faire en parall è le pour tout V partiel produit matrice – vecteur du bloc par le vecteur partielle X que l on vient de recevoir. On a exactement n/p calculs de n multiplications composante par composante, on y ajoute le coût de la sommation des sommes partielles sur tout le vecteur V, soit p sommes pour chacune des n/p composantes locales du vecteur V. Le coût en communication est de même ordre quun échange total sur toutes les topologies régulières. 8

10 DESA ANITS 2006 Calcul parallèle DESA ANITS PRODUIT MATRICE - VECTEUR Version Pipeline sur un anneau 9 Il présente une amélioration da la version par ligne,et se basé sur un pipeline de communications, sur un réseau de p processeur connectés en anneau. On considère : Les communications peuvent seffectuer pendant que les processeurs calculent. Chaque processeur a en mémoire r ligne de la matrice A rangé en matrice a de dimension r x n et r composantes du vecteur X Distribution initiale

11 DESA ANITS 2006 Calcul parallèle DESA ANITS PRODUIT MATRICE - VECTEUR Principe du calcul Première étape La parallèlisation se déroule en p étapes. À chaque étape chaque processeur P q fait le calcul en utilisant la partie de X quil contient en mémoire puis transmet cette partie au processeur P (q+1)mod p et reçoit une partie du processeur P (q-1+p)mod p 10 FIN


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