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Le nombre au cycle 2 Thann décembre 2010 Adresse pour consulter en ligne ou télécharger ce diaporama : Dominique Pernoux

2 Sommaire I Adresses Internet II Les groupements à la base de notre système de numération III Numération chiffrée et numération orale IV Le calcul mental, « un champ d’expérience particulièrement riche pour la construction de connaissances relatives aux nombres » V Exemples de « problèmes pour chercher » dans le domaine numérique

3 Mini-portail « ressources pour enseignants du primaire :
I Adresses Internet Mini-portail « ressources pour enseignants du primaire : La construction du concept de nombre au cycle 1 : - Parcours formation du site TFM sur la numération des entiers (cycle 2 et cycle 3) (il y a plusieurs vidéos tournées en classe) Quelques réflexions (en vrac) concernant l'enseignement de la numération des entiers (document pdf) : Proposition d'évaluation dans le domaine de la numération (cycle 2) : - Règles pour écrire les nombres avec des lettres : Sommaire

4 II Les groupements à la base de notre système de numération
Notre système de numération est basé sur les groupements (on fait des paquets de dix puis de cent puis…) mais ce qui est important c’est que l’élève comprenne l’intérêt de faire des paquets de dix (quand on a beaucoup d’objets à dénombrer, on fait des paquets et ensuite on compte ces paquets). Exemples d’exercices permettant de voir si un élève a compris ou pas l’intérêt de faire des paquets : Premier exemple : Dans la case blanche écris en chiffres combien il y a de croix. X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X Sommaire

5 Dans la case blanche écris en chiffres combien il y a de doigts.
Deuxième exemple : Dans la case blanche écris en chiffres combien il y a de doigts. Sommaire

6 Troisième exemple : Dessine dans le grand cadre blanc le nombre de croix correspondant au nombre écrit sur l’étiquette. Attention, on doit tout de suite voir que c’est juste. Sommaire

7 Pour les CP, il s’agira de construire des stratégies pour dénombrer rapidement et de manière fiable des collections de 60 à 100 objets et au CE de plusieurs centaines voire milliers d’objets. L’évolution du CP au CM2 se fait au niveau du passage de collections réelles à des collections représentées sous différentes formes : Par exemple dans ERMEL les situations « les fourmillions » (CP), « les cahiers » (CE1), « les craies » (CE2),« les trombones » (CM1) et « les tickets de cantine » (CM2) entrent dans cette catégorie. Les « fourmillions » Source de l’image : Sommaire

8 III Numération chiffrée et numération orale
1°) Généralités sur les changements de registre De façon générale, les concepts mathématiques sont des concepts compliqués. Pour bien les appréhender, il est nécessaire de disposer de plusieurs registres et de savoir passer de l’un à l’autre. Exemple concernant la notion de nombre : Au cycle 2 : Sommaire

9 Au cycle 3 : Une remarque concernant les écritures à virgule mais destinée à des enseignants du cycle 2 : Si, au cycle 2, on est allé trop vite vers des automatismes du genre « quand on multiplie par 100 on ajoute deux 0 (« règle des zéros »), on renforce, me semble-t-il, le risque qu’au cycle 3 des élèves écrivent : 2,3 × 100 = 2,300. Il me parait donc souhaitable de garder le plus longtemps possible du sens en écrivant : 12 × 100 = 12 centaines = 1200 Sommaire

10 est traduit par le chiffre 3 est traduit par le chiffre 2
Remarque : Passer du registre des désignations orales au registre des écritures chiffrées nécessite de comprendre que certains mots sont traduits par des chiffres et d’autre pas et en plus qu’il faut écrire des chiffres « qu’on n’entend pas » : est traduit par le chiffre 3 mais on doit écrire aussi un 0 « qu’on n’a pas entendu » : trois mille deux cent trois est traduit par le chiffre est traduit par le chiffre n’est pas traduit par un chiffre mais indique que le chiffre 3 doit être mis à une certaine place : 3 _ _ _ n’est pas traduit par un chiffre mais indique que le chiffre 2 doit être mis à une certaine place : 3 2 _ _ Remarque : notre système de numération orale est un système hybride dans lequel les noms des nombres sont composés suivant un principe additif (dix-sept) ou multiplicatif (deux-cents). Sommaire

11 Parmi les différentes manières de représenter les nombres on peut citer la représentation « en carte à points » qui permet, en particulier de travailler les doubles et les compléments à dix. Pour plus d’informations sur les cartes à points voir : (site de Jean-Luc Brégeon) Sommaire

12 a) Les noms des dizaines
2°) Le passage des écritures chiffrées aux désignations orales et réciproquement Une grande partie des difficultés rencontrées par les élèves sont dues aux irrégularités de notre numération orale car en français, les règles de lecture des nombres sont complexes et souffrent de nombreuses anomalies (on dit "treize" et pas "dix-trois" ; on dit "soixante-douze" et pas "septante-deux" ; on dit "cent" et "mille" mais "un million", etc.). a) Les noms des dizaines 40 se dit quarante alors que dans les langues asiatiques ont dit « quatre-dix », ce qui est beaucoup plus porteur de sens. b) Des nombres ayant des noms bizarres » Stella Baruk les appellent « les cachotiers » Sommaire

13 Remarques - on peut travailler sur les écritures chiffrées de ces nombres avant de savoir les nommer Autrefois, certains aimaient bien faire des paquets de soixante soixante - dix - huit Sommaire

14 quatre-vingt-quatorze
Autrefois, certains comptaient avec les doigts des mains et des pieds. quatre-vingt-trois quatre-vingt-quatorze - On peut utiliser ce qu’on entend : Pour soixante treize : = 73 Pour quatre-vingt-deux : = 82 Pour 93 : = 93 Sommaire

15 Le fil conducteur est de s’appuyer sur ce qu’on entend. Exemples :
c) Des idées tirées du tome 1 de l’ouvrage de Stella Baruk « Comptes pour petits et grands » publié aux éditions Magnard) Le fil conducteur est de s’appuyer sur ce qu’on entend. Exemples : (cliquer sur l’image) Sommaire

16 Sommaire

17 Deuxième idée : On peut concevoir des exercices où on passe du registre de langue belge ou suisse à notre registre de langue et réciproquement : Sommaire

18 Sommaire

19 Et pour les grands nombres :
Sommaire

20 d) Une proposition de Rémi Brissiaud
Voir : Le livre du maître du fichier « J’apprends les maths avec Tchou CP » édité chez Retz). et - (extraits vidéo) Rémi Brissiaud propose d’utiliser une comptine régulière (on compte comme Tchou) 4 2 Tchou dit « quatre-dix-et-deux » On dit « quarante-deux » Sommaire

21 e) Evaluer les élèves en distinguant différentes compétences mises en jeu dans l’apprentissage de la numération - Comprendre comment on exprime des quantités à l’aide d’écritures chiffrées (sans intervention de la numération orale) Sommaire

22 Sommaire

23 Sommaire

24 Sommaire

25 Exemples d’exercice (à adapter au niveau) :
- Comprendre le fonctionnement de notre système d’écritures chiffrées (sans intervention de la numération orale) (aspect algorithmique) Exemples d’exercice (à adapter au niveau) : - Ecris en chiffres le nombre qui vient juste après le nombre donné : 199 - Ecris en chiffres le nombre qui vient juste avant le nombre donné : 360 - Ecris en chiffres le nombre compris entre les deux nombres donnés : 299 301 - Complète la phrase suivante par un nombre écrit en chiffres : ………………………. se trouve entre 129 et 131 Sommaire

26 - Ecris à leur bonne place les nombres 324, 354 et 408 238 352 613
- Entoure le plus grand des deux nombres : 524 et 673 - Range du plus petit au plus grand les nombres 38, 402, 24 et 342 Sommaire

27 Exemples d’exercices (à adapter au niveau) :
- Comprendre comment on exprime des quantités à l’aide de désignations orales des nombres Exemples d’exercices (à adapter au niveau) : - Lis ces écritures chiffrées : - Ecris en chiffres les nombres que je vais te dicter…. - Comprendre le fonctionnement de notre système de désignations orales (aspect algorithmique) Exemples d’exercices (à adapter au niveau) : - Demander le nombre qui vient juste après cent-quatre-vingt-dix-neuf, le nombre qui vient juste avant cent-vingt-trois (L’enseignant et l’élève utilise des désignations orales des nombres) - Demander à l’élève d’écrire avec des chiffres le nombre qui vient juste après cent-vingt-trois, le nombre qui vient juste avant cent-vingt-deux (L’enseignant utilise des désignations orales ; l’élève produit des écritures chiffrées) Sommaire

28 Remarque : Vous pouvez utiliser ce quiz :
- Demander le nombre compris entre quatre-vingt-neuf et quatre-vingt-onze (L’enseignant et l’élève utilisent des désignations orales) - Demander à l’élève d’écrire en chiffres le nombre compris entre quatre-vingt-neuf et quatre-vingt-onze (L’enseignant utilise des désignations orales et l’élève produit des écritures chiffrées) - Demander un nombre compris entre cent-vingt-deux et cent-cinquante (L’enseignant et l’élève utilisent des désignations orales) - Demander à l’élève d’écrire en chiffres un nombre compris entre cent-vingt-deux et cent-cinquante (L’enseignant utilise des désignations orales et l’élève produit des écritures chiffrées) Remarque : Vous pouvez utiliser ce quiz : Sommaire

29 3°) Des situations à reprendre aux différents niveaux de la scolarité en adaptant le domaine numérique (d’après des propositions de Denis Butlen et Pascale Masselot tirés du document « le nombre au cycle 2 » récemment mis en ligne sur le site Eduscol) (cliquer sur l’image) a) Situations d’échange pour travailler les écritures chiffrées des nombres Remarque : Pour des vidéos concernant le jeu du banquier au cycle 2, voir : - Situations amenant à repenser les groupements par rapport aux échanges Il s’agit d’amener les élèves à lire dans l’écriture d’un nombre des informations liées aux échanges ou aux groupements qui ont été effectués. La situation de référence est par exemple le problème des timbres : les timbres sont vendus par carnets de dix timbres. Paul a besoin de 260 timbres. Combien doit-il acheter de carnets ? Corinne a besoin de 500 timbres. Combien doit-elle acheter de carnets ? Sommaire

30 Le chiffre 2 indique le nombre de dizaines « visibles »
Remarques : - Comprendre que, dans 623, le chiffre des dizaines vaut 2 mais que le nombre de dizaines vaut 62 est un objectif important mais il me semble qu’il faut faire attention à ne pas aller trop vite avec des élèves en difficulté et qu’il est souhaitable de s’appuyer s’appuyer sur le matériel de numération utilisé. Le chiffre 2 indique le nombre de dizaines « visibles » Mais il y a aussi 60 dizaines « cachées dans les centaines » Sommaire

31 - Au cycle 3, il s’agira de comprendre que 1 2 4 1 , 7 8 c’est :
1 millier 2 centaines 4 dizaines 1 unité dixièmes centièmes mais c’est aussi, par exemple : 12 centaines unités centièmes b) Situations abordant le point de vue algorithmique (dans les deux systèmes de numération) Activités autour des familles de nombres comme dans la situation du « jeu du château » en CP/ CE1 (cf. les ouvrages de l’équipe ERMEL publiés par Hatier) Sommaire

32 Permet de travailler le sens des écritures chiffrées
Remarque : « chef de famille » « Tableau Brissiaud » « Tableau ERMEL» 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 98 99 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 98 99 Permet de travailler le sens des écritures chiffrées Permet de travailler sur les désignations orales des nombres 23 c’est 2 paquets de dix et 3 unités 23 appartient à «la famille des vingt» Sommaire

33 Activités autour des compteurs (avec des chiffres ou avec des mots) et des calculatrices
Exemple d’activité : Un premier nombre est affiché sur l’écran de la calculatrice (par exemple 1234). Sans éteindre la calculatrice, ni effacer le nombre affiché, il s’agit d’obtenir l’affichage de 1334 en tapant le minimum de touches. Remarque : pour des activités avec la calculatrice , voir le document d’accompagnement des programmes 2002 intitulé « Utiliser les calculatrices en classe (cycle 2 et cycle 3) » Sommaire

34 Mettre en correspondance les deux types d’écritures
c) Situations d’exploration des règles de la numération orale et de mise en relation avec la numération de position (chiffrée) Construire un dictionnaire de nombres (CP) Au CP on peut construire un livret dédié à l’écriture des nombres. Chaque page est consacrée à un nombre. L’élève y inscrit différentes écritures ou représentations de ce nombre. Les pages vont s’enrichir progressivement. Mettre en correspondance les deux types d’écritures L’élève dispose de deux jeux de cartes. Le premier comporte des cartes sur lesquelles il y a les écritures chiffrées de nombres entiers (par exemple les n premiers nombres). Le second est un jeu de cartes avec les mots-nombres correspondant. La consigne est la suivante : Il faut remettre dans l’ordre les différents nombres. Dans la colonne de gauche tu écris les nombres du plus petit au plus grand avec des chiffres. Dans la colonne de droite tu écris avec des mots. Sommaire

35 Simuler un « compteur manuel » permettant d’écrire les nombres avec des mots
Combien de chiffres ? Combien de mots ? Un nombre étant énoncé par l’enseignant, l’élève écrit sur son ardoise le nombre de chiffres nécessaires pour l’écrire. Inversement, un nombre étant écrit au tableau avec des chiffres, l’élève doit écrire sur son ardoise le nombre de mots nécessaires. L’institutionnalisation porte sur la longueur de l’écriture d’un nombre qui ne dépend pas systématiquement de sa grandeur : le nombre « deux-cent-vingt-trois » comporte plus de mots que le nombre « trois-cent ». Sommaire

36 On y trouve, par exemple des activités de ce type :
Remarque : pour d’autres idées d’activités, voir, par exemple les ouvrages de l’équipe ERMEL On y trouve, par exemple des activités de ce type : Sommaire

37 deux quatre six cent(s) mille vingt(s)
En complément, voici un exemple faisant intervenir des nombres plus grands que ceux fréquentés au cycle 2. Quel est le plus grand nombre que l’on peut écrire avec toutes ces étiquettes ? deux quatre six cent(s) mille vingt(s) six-cent-quatre-vingt-deux-mille Sommaire

38 4°) Les mesures de grandeurs, un point d’appui pour construire le nombre (d’après des propositions de Joannie Carole et Alain Solano–Séréna tirées du document « le nombre au cycle 2 » récemment mis en ligne sur le site Eduscol) (cliquer sur l’image) - Les billets et les pièces sont marqués de leur valeur en euros exprimée en unités, dizaines ou centaines. Ainsi, 56 € s’exprime aisément comme : (5 × 10 €) + 6 € et 326 € comme (3 × 100 €) + (2 x 10 €) + 6 €, en référence aux billets de 100 €, de 10 € et aux pièces de 1 € . - On dit les nombres comme on dit les longueurs en mètres et en centimètres : trois mètres vingt-cinq centimètres trois-cent-vingt-cinq billes. Sommaire

39 Propositions de Joannie Carole et Alain Solano–Séréna tirées du document « le nombre au cycle 2 » récemment mis en ligne sur le site Eduscol Sommaire

40 Propositions de Joannie Carole et Alain Solano–Séréna tirées du document « le nombre au cycle 2 » récemment mis en ligne sur le site Eduscol Sommaire

41 5°) Exemples d’activités utilisant l’outil informatique
- Exercices du site (animations flash à exécuter en ligne ou à télécharger) : - Exercices concernant la numération au cycle 2 sur le site « Le Matou matheux » (à exécuter en ligne) : Exercice « Trop petit ! Trop grand ! Gagné ! » de M. Menei : Sommaire

42 IV Le calcul mental, « un champ d’expérience particulièrement riche pour la construction de connaissances relatives aux nombres » (d’après des propositions de Denis Butlen et Pascale Masselot tirées du document « Le nombre au cycle 2 » récemment mis en ligne sur le site Eduscol) 1°) Activité préalable : Pour commencer, faisons nous-mêmes un peu de calcul mental Sommaire

43 25 × 124 25 × 4 × 31 = 100 × 31 = 3100 25 × 124 = = 3100 5 × 5 × 124 = 5 × 620 = 3100 Sommaire

44 Je pense à un nombre. Je multiplie ce nombre par 6
Je pense à un nombre. Je multiplie ce nombre par 6. J’ajoute 2 au résultat. Je multiplie le résultat précédent par 3. Je trouve 132. A quel nombre ai-je pensé ? × 6 42 + 2 44 × 3 132 7 : 6 - 2 : 3 Sommaire

45 Cascade additive : 217 a+b a b 118 99 ? 54 64 35 15 39 25 10
Remarque : on peut trouver un générateur de pyramides additives et multiplicatives avec corrigés à cette adresse : Sommaire

46 Recherche de compléments
2°) Propositions de Denis Butlen et Pascale Masselot tirées du document « Le nombre au cycle 2 » récemment mis en ligne sur le site Eduscol Recherche de compléments Compléter à 10 : Complète 3 pour faire Combien manque-t-il à 3 pour faire 10 ? Que faut-il ajouter à 3 pour faire 10 ? ? = 10 Compléter à la dizaine supérieure : Compléter à 100 ou à la centaine supérieure : Trouver le complément quand il s’agit de 10, de 100, etc. ou d’un multiple de 10, de 100, etc. : Sommaire

47 Compléter des égalités du type : 37 + 18 = 47 + ? 54 + 27 = 74 + ?
Autres activités Ajouter 10 ou un nombre entier de dizaines à un nombre de deux ou trois chiffres : Soustraire 10 ou un nombre entier de dizaines à un nombre de deux ou trois chiffres : Ajouter ou soustraire 100 ou un nombre entier de centaines à un nombre de trois ou quatre chiffres : Trouver le plus rapidement possible le résultat d’une addition en ligne : Décomposer additivement un nombre en un nombre entier de centaines, dizaines et unités (décomposition canonique) : 34 = = = Exprimer un nombre en faisant intervenir la dizaine, la centaine supérieure, etc. : 47 = = Compléter des égalités du type : = 47 + ? = 74 + ? Sommaire

48 Remarque : on peut aussi utiliser « les cartons Montessori »
Exemple : L’enseignant dicte un nombre et l’élève doit écrire ce nombre en superposant les cartons adéquats. Remarque : Page de liens concernant le calcul mental (C2 et C3) : Sommaire

49 V Exemples de « problèmes pour chercher » dans le domaine numérique
« La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. » (IO 2008) Certains des problèmes proposés sont issus du document dans lequel des sources sont citées. Problème 1 On veut fabriquer 66 € en utilisant des billets de 10 €, des billets de 5€ et des pièces de 1 €. Quelle est la solution qui utilise le moins de pièces et billets ? 10 10 10 5 1 10 10 10 Problème 2 Sommaire

50 Problème 3 Sommaire

51 Il y a plusieurs solutions 6 9 2 8 1 6 4
Problème 4 Problème 5 Il y a plusieurs solutions 6 9 2 8 1 6 4 Sommaire

52 Problème 6 (assez difficile)
Sommaire

53 On a utilisé 15 fois le chiffre 4.
Problème 7 Problème 8 On a utilisé 15 fois le chiffre 4. Sommaire

54 Il y a plusieurs solutions
Problème 9 4 1 2 3 5 Il y a plusieurs solutions Problème 10 Sommaire

55 Problème 11 Combien de mots différents suffisent à un écolier français pour écrire les cent premiers nombres ? Un deux trois quatre cinq six sept huit neuf dix onze douze treize quatorze quinze seize vingt et trente quarante cinquante soixante cent 23 mots Sommaire

56 Un problème « pour chercher» et un jeu plus difficiles
Activité « atteindre un nombre » On dispose d’une calculatrice qui n’a que que deux touches : une touche « ajouter 9 » et une touche «enlever 6 ». On part du nombre 5. - Essayer d’atteindre 17 en utilisant la calculatrice. Exemple de solution : – 6 = 17 - Essayer d’atteindre 18 en utilisant la calculatrice. Le problème n’a pas de solution. Sommaire

57 Complément : Recherche des nombres qu’on peut atteindre
35 32 - 6 - 6 + 9 + 9 29 23 26 + 9 + 9 + 9 - 6 - 6 - 6 20 14 17 23 + 9 + 9 - 6 + 9 - 6 - 6 + 9 5 8 11 14 - 6 + 9 - 6 + 9 2 5 On peut atteindre les nombres : 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, etc. Sommaire

58 On tire au sort le joueur qui commence le premier.
Jeu à deux « atteindre 15 » Le but du jeu est de fabriquer le premier le nombre 15 en ajoutant TROIS nombres compris entre 1 et 9. On dispose de neuf jetons sur lesquels sont inscrits les nombres entiers de 1 à 9. On tire au sort le joueur qui commence le premier. Chaque joueur choisit un jeton à tour de rôle parmi les jetons qui n’ont pas encore été choisis. Première version du jeu : chaque joueur ne tire pas plus de trois jetons (si un des joueurs voit qu’il obtient 15 en tirant son troisième jeton, il a gagné. Sinon, c’est match nul). 4 5 6 7 8 9 1 2 3 Joueur 1 Joueur 2 4 2 9 8 3 Le joueur 1 a gagné. Sommaire

59 si un joueur ne voit pas qu’il a obtenu 15, le jeu continue.
Deuxième version du jeu : On joue comme dans la première version mais si aucun joueur n’obtient 15 en tirant son troisième jeton, les joueurs continuent de choisir un jeton l'un après l'autre. Mais la règle ne change pas : il faut toujours obtenir 15 avec TROIS jetons. Dès qu'un joueur voit qu’il peut réaliser la somme 15 avec TROIS jetons PARMI les jetons qu'il a en sa possession, il a gagné. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Joueur 1 Joueur 2 8 8 3 1 1 6 6 2 4 7 Le joueur 1 a gagné. Remarques : si un joueur ne voit pas qu’il a obtenu 15, le jeu continue. si aucun joueur n’arrive à obtenir 15, il y a match nul. Sommaire

60 Complément concernant le jeu « Atteindre 15 » :
Quel nombre a intérêt à choisir le joueur qui commence ? - Recherche de toutes les décompositions additives de 15 utilisant trois nombres inférieurs à 10 15 = 15 = 15 = 15 = 15 = 15 = 15 = 15 = - Recherche du nombre de fois où apparaît chacun des nombres de 1 à 9 dans les décompositions précédentes : Nombre Nombre d'apparitions 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 2 3 4 3 2 3 2 - Remarque : réalisation d'un carré magique avec les entiers de 1 à 9 (les sommes des nombres de chaque ligne de chaque colonne et de chaque diagonale doit valoir 15) 5 2 9 4 Le 5 qui est apparaît 4 fois dans les décompositions de 15 doit être au centre. Dans chaque coin, il doit y avoir un nombre qui apparaît 3 fois dans les décompositions de 15. Exemple : 7 3 6 1 8 Sommaire

61 Vous pouvez aussi utiliser le lien ci-dessous :
60 énoncés de "problèmes pour chercher" pour le cycle 2 (document word) (Remarque : A partir de ce fichier, David Buffo a réalisé un document illustré pour CE1 qui est disponible ici) D. Pernoux


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