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Optimisation en nombres entiers Recherche Opérationnelle GC-SIE.

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1 Optimisation en nombres entiers Recherche Opérationnelle GC-SIE

2 Motivation et exemples

3 Nombres entiersMichel Bierlaire3 Optimisation en nombres entiers Définitions : Un programme en nombres entiers est un programme dont les variables sont contraintes à ne prendre que des valeurs entières. Souvent, elles sont contraintes à prendre les valeurs 0 ou 1. On parle alors dun programme binaire.

4 Nombres entiersMichel Bierlaire4 Optimisation en nombres entiers Définitions : Un programme mixte en nombres entiers est un programme dont certaines variables sont contraintes à ne prendre que des valeurs entières.

5 Nombres entiersMichel Bierlaire5 Dans ce cours, on ne considérera que des programmes linéaires en nombres entiers. Approche intuitive immédiate : On ignore les contraintes dintégralité. On arrondi la solution. En général, cela ne marche pas ! Optimisation en nombres entiers

6 Nombres entiersMichel Bierlaire6 Exemple max 3 x x 2 sc. 2 x x x 1 – 8 x 2 82 x 1, x 2 0 x 1, x 2 entiers

7 Nombres entiersMichel Bierlaire7 Exemple 11x 1 -8x 2 = 82 2x 1 +9x 2 =40 x* continu =(9.2,2.4) Voisins non admissibles x* entier =(2,4)

8 Nombres entiersMichel Bierlaire8 Exemple : investissement Une société dispose de F à investir. Les experts proposent 4 investissements possibles Bénéfice Inv Inv Inv Inv. 1 RendementCoût

9 Nombres entiersMichel Bierlaire9 Exemple : investissement Modélisation : Variables de décision : x i, i=1,…,4 x i = 1 si investissement i est choisi x i = 0 sinon Objectif : maximiser bénéfice max 16 x x x x 4 Contrainte : budget dinvestissement 5 x x x x 4 14

10 Nombres entiersMichel Bierlaire10 Exemple : investissement Programme linéaire 1 max 16 x x x x 4 s.c. 5 x x x x 4 14 x 1, x 2, x 3, x 4 0 Solution : x 1 = 2.8, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0

11 Nombres entiersMichel Bierlaire11 Exemple : investissement x 1 = 2.8, x 2 = 0, x 3 = 0, x 4 = 0 Problème : comment interpréter cette solution ? Effectuer linvestissement 1. Bénéfice : F. Coût : F

12 Nombres entiersMichel Bierlaire12 Exemple : investissement Programme linéaire 2 max 16 x x x x 4 s.c. 5 x x x x 4 14 x 1, x 2, x 3, x 4 0 x 1, x 2, x 3, x 4 1 Solution : x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 0.5, x 4 = 0

13 Nombres entiersMichel Bierlaire13 Exemple : investissement x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 0.5, x 4 = 0 Problème : comment interpréter cette solution ? Effectuer les investissements 1 et 2. Bénéfice : F. Coût : F. Plus assez de budget pour linvestissement 3.

14 Nombres entiersMichel Bierlaire14 Exemple : investissement Programme en nombres entiers max 16 x x x x 4 s.c. 5 x x x x 4 14 x 1, x 2, x 3, x 4 0,1 Solution : x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 1, x 4 = 1

15 Nombres entiersMichel Bierlaire15 Exemple : investissement x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 1, x 4 = 1 Solution évidente à interpréter Bénéfice : F. Coût : F.

16 Nombres entiersMichel Bierlaire16 Exemple : investissement Notes : Les contraintes dintégralité peuvent modifier significativement la structure de la solution. Lintuition acquise avec les variables continues nest pas directement utilisable. Dans lexemple, linvestissement 1 est le plus rentable, mais il nest pas repris dans la solution optimale.

17 Nombres entiersMichel Bierlaire17 Exemple : le sac à dos Jo le campeur part en randonnée dans la montagne. Il ne peut emporter dans son sac à dos quun poids limité à P. Chaque article i quil peut potentiellement emporter pèse p i et lui procure une utilité u i pour sa randonnée. Question : quels articles emporter pour maximiser son utilité sans dépasser la limite de poids ?

18 Nombres entiersMichel Bierlaire18 Problème du sac à dos Variables de décision x i = 1 si Jo emporte larticle i x i = 0 sinon max u 1 x 1 +u 2 x 2 +…+u n x n s.c. p 1 x 1 +p 2 x 2 +… +p n x n P x 1,…,x n {0,1}

19 Nombres entiersMichel Bierlaire19 Problème du sac à dos Notes : En général, les problèmes de cette forme portent le nom générique de problème de sac à dos. Le problème dinvestissement est un problème de sac à dos. Le nombre de manières de choisir un sous-ensemble de n éléments est 2 n.

20 Nombres entiersMichel Bierlaire20 Problème du sac à dos Si lon suppose quil faut 1/100 de seconde pour considérer un sous- ensemble, alors il faut plus dune année pour 32 éléments plus de 100 ans pour 39 éléments plus de 1000 ans pour 42 éléments plus de ans pour 45 éléments plus de ans pour 49 éléments plus de ans pour 52 éléments

21 Ere chrétienne 2000 ans Homo Erectus ans Age de lunivers ans

22 Nombres entiersMichel Bierlaire22 Problème du sac à dos Il est impossible de considérer toutes les possibilités. Un algorithme efficace devrait obtenir la solution optimale en examinant un très petit nombre de solutions.

23 Nombres entiersMichel Bierlaire23 Modélisation Reprenons le problème dinvestissement La société se voit imposer des contraintes supplémentaires. a) Elle peut opérer au maximum deux investissements Contrainte : x 1 + x 2 + x 3 + x 4 2

24 Nombres entiersMichel Bierlaire24 Modélisation b) Si elle décide dopérer linvest. 2, elle doit aussi opérer linvest. 1. Contrainte : x 2 x 1 ou x 2 – x 1 0 Si x 2 = 1, alors x 1 1.Comme x 1 {0,1}, alors x 1 = 1. Si x 2 = 0, alors x 1 0. Pas de restriction sur x 1.

25 Nombres entiersMichel Bierlaire25 Modélisation c) Si elle décide dopérer linvest. 2, elle ne peut pas opérer linvest. 4. Contrainte : x 2 + x 4 1 Si x 2 = 1, alors x 4 0.Comme x 4 {0,1}, alors x 4 = 0. Si x 2 = 0, alors x 4 1. Pas de restriction sur x 4.

26 Nombres entiersMichel Bierlaire26 Modélisation : set-covering Problème : localisation de stations dincendie dans six villes. Objectif : en installer le moins possible. Contrainte : pouvoir atteindre chaque ville en au moins 15 minutes à partir dau moins une station.

27 Nombres entiersMichel Bierlaire27 Modélisation : set-covering Table des temps de trajet :

28 Nombres entiersMichel Bierlaire28 Modélisation : set-covering Variables de décision : x i = 1 si on installe une station dans la ville i (i=1,…6) x i = 0 sinon Objectif : min x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6

29 Nombres entiersMichel Bierlaire29 Modélisation : set-covering Contraintes : La ville 1 peut être atteinte en au moins 15 minutes à partir de la ville 1 et de la ville 2. Pour assurer le service de la ville 1, il faut donc une station soit en 1 soit en 2. x 1 + x 2 1

30 Nombres entiersMichel Bierlaire30 Modélisation : set-covering Contraintes : La ville 2 peut être atteinte en au moins 15 minutes à partir de la ville 1, de la ville 2 et de la ville 6. Pour assurer le service de la ville 2, il faut donc une station soit en 1, soit en 2, soit en 6. x 1 + x 2 + x 6 1

31 Nombres entiersMichel Bierlaire31 Modélisation : set-covering Programme : min x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 x 1 + x 2 1 x 1 + x 2 + x 6 1 x 3 +x 4 1 x 3 +x 4 +x 5 1 x 4 +x 5 +x 6 1 x 2 +x 5 +x 6 1

32 Nombres entiersMichel Bierlaire32 Modélisation : soit-soit Considérons deux contraintes : f(x 1,…,x n ) 0 g(x 1,…,x n ) 0 On veut garantir quau moins une des ces contraintes soit vérifiée, mais pas nécessairement les deux. Pour cela, il faut – Déterminer M tel que f(x 1,…,x n ) M et g(x 1,…,x n ) M x – Introduire une variable binaire y {0,1}

33 Nombres entiersMichel Bierlaire33 Modélisation : soit-soit Utilisons les contraintes suivantes : f(x 1,…,x n ) My g(x 1,…,x n ) M(1-y) Si y = 1, alors les contraintes sont f(x 1,…,x n ) M g(x 1,…,x n ) 0 Si y = 0, alors les contraintes sont f(x 1,…,x n ) 0 g(x 1,…,x n ) M


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