F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

Présentation au sujet: "F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)"— Transcription de la présentation:

1 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
MECANIQUE DES SOLIDES DEFORMABLES Fabrice PIERRON, René ROTINAT, Raphaël MOULART F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

2 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
PREAMBULE F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

3 = = = Curiosité Rigueur Travail pour l’examen Exigence Préambule (1)
Quelques notions indispensables… = Acquisition de compétences Obtention d’un diplôme = Capacités d’analyse Connaissance de solutions Curiosité Rigueur Exigence = Travail pour l’examen Vous n’êtes plus au lycée ! F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

4 Mécanique des milieux continus Concepts
Préambule (2) Exemple Hiérarchie Mécanique des milieux continus Concepts Méthode des éléments finis Méthodes Outils Codes de calculs Critère de hiérarchie : Pérennité (et degré d’importance) F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

5 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Méthode de travail (1) Cours (3 séances de 2h) : cœur de la formation pour cet enseignement TP (4h) Assimilation du cours (acquisition de la compétence) : travail personnel (environ 40 mn par heure de cours) Fiches d’auto-évaluation Réponse aux questions: dans mon bureau Présence dans les créneaux affichés à l’emploi du temps F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

6 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Méthode de travail (2) F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

7 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Méthode de travail (3) Documents de cours : fichiers PowerPoint (polycopié électronique) Idées à évacuer On a pas besoin de recopier donc on peut glander (ou discuter, ou finir sa nuit etc…) Même si je ne veux rien faire, je dois venir en cours Je travaille pour avoir une note F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

8 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
INTRODUCTION F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

9 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Théories physiques A l’échelle macroscopique Mécanique newtonienne des solides Mécanique ‘intuitive’, adaptée à notre monde usuel, fin XVIIéme siècle Mécanique relativiste Généralisation de la théorie newtonienne, vitesses proches de la vitesse de la lumière, début XXème siècle Mécanique quantique Description à l’échelle de quelques atomes au maximum, début XXème siècle A l’échelle atomique F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

10 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Sir Isaac Newton Mathématicien, physicien et philosophe anglais Woolsthorpe 1642 – Londres 1727 Principes mathématiques de la philosophie naturelle, 1687 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

11 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Mécanique newtonienne des solides Principe fondamentale de la dynamique (PFD, ou deuxième loi de Newton, 1687) Autre forme : théorème de la quantité de mouvement Choc entre deux solides sans efforts extérieurs : conservation de la quantité de mouvement F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

12 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Modélisation Description mathématique simplifiée de la réalité F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

13 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Principaux modèles en mécanique des solides (1) I. Mécanique du point matériel Description de trajectoires (ballistique, mouvement des planètes etc.) On assimile le solide à un point où est concentrée sa masse Grandeurs descriptives : Extensive Intensive Vecteur position Vecteur force Principe fondamentale de la dynamique (PFD, ou deuxième loi de Newton) F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

14 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Principaux modèles en mécanique des solides (2) II. Mécanique du solide indéformable Description de trajectoires complexes On assimile le solide à un ensemble de points massiques Les distances entre les points sont conservées F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

15 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Principaux modèles en mécanique des solides (3) II. Mécanique du solide indéformable Grandeurs descriptives : Extensive Intensive Vecteur position Vecteur force Vecteur rotation Vecteur moment Principe fondamentale de la dynamique (PFD, ou deuxième loi de Newton) Théorème de la résultante dynamique (mouvement du centre de gravité) Théorème du moment dynamique (mouvements de rotation) F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

16 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Principaux modèles en mécanique des solides (4) III. Mécanique du solide déformable On assimile le solide à un ensemble de points massiques Les distances entre les points ne sont plus conservées C’est l’objet de ce cours ! F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

17 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Principaux modèles en mécanique des solides (5) III. Mécanique du solide déformable Modèle de solide déformable simple : le ressort F = 0 x k x F F = kx Il existe d’autres modèles de ressorts (en rotation, non linéaire etc…) F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

18 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Principaux modèles en mécanique des solides (6) III. Mécanique du solide déformable Modèle de solide déformable discret : assemblages de masses et de ressorts Très utilisé en mécanique des vibrations (2ème année) F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

19 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Principaux modèles en mécanique des solides (7) III. Mécanique du solide déformable Modèle de solide déformable continu Application principale : dimensionnement des structures F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

20 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Principaux modèles en mécanique des solides (8) Statique Principe fondamentale de la statique (PFS, cas particulier du PFD) Approximation associée : phénomènes lents Lente succession d’états d’équilibres : quasi-statique mais Objet de ce cours F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

21 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Principaux modèles en mécanique des solides (9) Dynamique Vibrations : petits mouvements autour d’une position d’équilibre Importance : acoustique, résonance Cours de 2ème année Dynamique avec grands mouvements F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

22 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Objet de ce cours Statique ; Dynamique. Solides déformables Milieux continus Tenseur des déformations ; Tenseur des contraintes ; Equilibre local ; Loi de comportement ; … Période 1 F. Pierron Méthodes approchées : Poutres, plaques, coques. (Hyp. Cinématiques) Période 2, R. Rotinat Méthodes approchées numériques : Méthode des éléments finis, … (Approx. des solutions) Période 3, R. Moulart Lois de comportement Elasticité linéaire, non-lin. ; Viscoélasticité ; Plasticité ; … Petites transformations Grandes déformations Grands déplacements F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

23 MECANIQUE DES SOLIDES DEFORMABLES
Période 1 : bases du modèle de solide déformable continu Fabrice PIERRON F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

24 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
PLAN DU COURS F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

25 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Plan du cours (1) Préalable : Notions de base sur les tenseurs Convention de notation Tenseurs : définition et propriétés Changements de base des tenseurs d’ordre 1 et 2 Notion de base propre et d’invariants Deux opérateurs utiles Cinématique : Notion de déformation Généralités Transformation d’un vecteur Déformations : changements de longueur et d’angles Interprétation du tenseur des déformations Notion de rotation solide Notion de mouvement de corps rigide F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

26 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Plan du cours (2) Cinématique : Notion de déformation Conditions de compatibilité Déformations principales, directions principales Quelques états de déformation particuliers Variation de volume Cercle de Mohr Notion de contrainte Vecteur contrainte et tenseur des contraintes Relations d’équilibre Écriture de l’équilibre d’une section d’un solide Conditions de bords libres Quelques états de contrainte particuliers F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

27 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Plan du cours (3) Loi de comportement : Élasticité linéaire isotrope Bilan Poser le problème Les conditions aux limites Énergie de déformation élastique F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

28 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
1. PREALABLE : Notions de base sur les tenseurs F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

29 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Conventions de notation (1) Convention de l’indice muet répété (IMR ou convention d’Einstein) Notation habituelle Exemple 1 : produit scalaire Notation avec convention IMR Notation habituelle Exemple 2 : divergence d’un vecteur Notation avec convention IMR F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

30 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Conventions de notation (2) Indice franc, indice muet Notation habituelle i,k : indices francs j : indice muet Notation avec convention IMR Notation habituelle Simplification des notations ! Notation avec convention IMR i,j,k,l : indices francs m,n,o,p : indices muets F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

31 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Conventions de notation (3) Notation avec virgule (dérivation) Exemple 1 : Exemple 2 : En combinant les deux conventions F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

32 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Qu’est-ce qu’un tenseur ? (1) Ensemble de composantes Tenseur d’ordre 0 : scalaire Tenseur d’ordre (ou de rang) 1 : représenté par un vecteur Vecteur : ensemble de scalaires Tenseur d’ordre (ou de rang) 2 : représenté par une matrice Matrice : ensemble de vecteur Tenseur d’ordre (ou de rang) n : représenté par un tableau en n dimensions Ensemble de tenseurs de rang n-1 Tenseur de rang 4 composantes dans l’espace à 3 dimensions F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

33 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Qu’est-ce qu’un tenseur ? (2) Tenseur d’ordre 1 vecteur x y 1 2 x y Deux vecteurs mais un seul tenseur !! Tenseur d’ordre 2 matrice F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

34 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Changements de base des tenseurs d’ordre 1 et 2 (1) Matrice de passage (changement de base) pour un tenseur d’ordre 1 Ancienne base : Nouvelle base : Changement quelconque F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

35 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Changements de base des tenseurs d’ordre 1 et 2 (2) Matrice de passage (changement de base) pour un tenseur d’ordre 2 On applique deux fois la matrice de passage (trois fois pour un tenseur d’ordre 3, 4 fois pour un tenseur d’ordre 4 etc…) Propriété de la matrice de passage dans le cas des bases orthonormées : Changement de base Tenseur exprimé dans la nouvelle base F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

36 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Changements de base des tenseurs d’ordre 1 et 2 (3) Cas d’une rotation dans un plan pour un tenseur d’ordre 2 symétrique F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

37 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Notion de base propre et d’invariants (1) Notion d’invariant d’un tenseur symétrique réél d’ordre 2 Tout tenseur symétrique réél est diagonalisable. Il existera donc toujours une base dans laquelle le tenseur pourra s’écrire : li : valeurs propres du tenseur Cette base est appelée base principale Recherche des valeurs propres et de la base propre F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

38 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Notion de base propre et d’invariants (2) On cherche les valeurs l telles que : F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

39 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Notion de base propre et d’invariants (3) Les valeurs propres sont une propriétés intrinsèque du tenseur On trouvera donc les mêmes quelle que soit la base dans laquelle on a représenté le tenseur Les coefficients I1, I2 et I3 de l’équation caractéristique : sont donc les mêmes quelle que soit la base sont appelés « invariants » du tenseur d’ordre 2 considéré invariant d’ordre 3 trace du tenseur invariant d’ordre 2 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

40 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Notion de base propre et d’invariants (4) L’équation caractéristique admet 3 racines réélles, ce sont les valeurs propres du tenseur. Si deux matrices symétriques réélles différentes ont les mêmes invariants, alors elles sont la représentation d’un même tenseur dans deux bases différentes. Invariants dans la base propre Si un tenseur a un déterminant nul, cela signifie qu’au moins une de ses valeurs propres est nulle F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

41 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Notion de base propre et d’invariants (5) Directions principales : ce sont les vecteurs qui forment la base propre Base propre On cherche donc les vecteurs tels que 3 système linéaire de 3 équations chacun F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

42 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Notion de base propre et d’invariants (6) Comme, par définition, admet une infinité de solutions (équations liées) Ensemble de vecteurs colinéaires On choisi par exemple et on détermine les autres composantes, ceci pour chacun des trois vecteurs de la base propre En dimension 2 Exemple F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

43 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Notion de base propre et d’invariants (7) Direction propre 1 Direction propre 2 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

44 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Deux opérateurs utiles Gradient d’un tenseur de rang 1 (vecteur) Divergence d’un tenseur de rang 2 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

45 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
2. CINÉMATIQUE : notion de déformation F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

46 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Généralités (1) Rotation d’ensemble (corps rigide) Déformation Translation d’ensemble (corps rigide) F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

47 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Généralités (2) M M0 2 1 3 Configuration initiale ou “lagrangienne” Configuration déformée ou “eulérienne” F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

48 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Généralités (3) Leonhard Euler Mathématicien et physicien suisse Bâle 1707 – St-Petersbourg 1783 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

49 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Généralités (4) Joseph Louis, Comte de Lagrange Mathématicien franco-italien Turin 1736 – Paris 1813 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

50 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Généralités (6) Notion de champ tensoriel Champ tensoriel : ensemble de tenseurs variables en chaque point de l’espace F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

51 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Généralités (6) Champ (vectoriel) de déplacement Champ vectoriel : vecteur variable en chaque point de l’espace et du temps Décrit la transformation de chaque point matériel au cours du temps 1 2 e1 e2 M0 P0 M P F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

52 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Généralités (7) Hypothèse n° 1 : on assimile la configuration déformée à la configuration initiale Hypothèse des « petits déplacements » Plus qu’un seul système de coordonées : xi Pour les développements en grands déplacements : * Jean Coirier, « Mécanique des milieux continus », Dunod (médiathèque) * François Sidoroff, « Cours sur les grandes déformations », Rapport GRECO 51/1982 (X:\Enseignants\PierronF\MSD1a\CoursGD_Sidoroff.pdf) F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

53 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Transformation d’un vecteur (1) Augustin Louis, Baron de Cauchy Mathématicien français Paris 1789 – Sceaux 1857 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

54 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Transformation d’un vecteur (2) Soient deux points M0 et P0 infiniment proches Modèle : le segment de droite M0P0 est transformé en un segment de droite (MP) Transformation du vecteur M P M0 P0 e1 e2 O F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

55 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Transformation d’un vecteur (3) Idée : écriture du développement limité de au voisinage de M0 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

56 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Transformation d’un vecteur (4) P M tenseur unité ou identité e1 e2 O M0 P0 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

57 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Transformation d’un vecteur (5) Tenseur gradient de déplacement u est continue et dérivable (notion de milieu continu) F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

58 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Déformations : changements de longueur et d’angles (1) Produit scalaire ! On connaît (configuration initiale) : On cherche (configuration finale) : Implique longueurs et d’angle Calculer en fonction de M P Q a M0 P0 e1 e2 O Q0 a0 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

59 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Déformations : changements de longueur et d’angles (2) Commutation de produit (1) tenseur transposé de A F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

60 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Déformations : changements de longueur et d’angles (3) Commutation de produit (2) ? F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

61 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Déformations : changements de longueur et d’angles (4) Hypothèse n° 2 : les déformations restent petites devant 1 est un infiniment petit d’ordre 2 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

62 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Déformations : changements de longueur et d’angles (5) Tenseur des déformations linéarisé F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

63 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Déformations : changements de longueur et d’angles (6) Expression explicite (tenseur symétrique) Expression indicielle F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

64 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Interprétation du tenseur des déformations (1) Déformation dans une direction : allongement relatif M0 P0 M P e1 e2 O F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

65 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Interprétation du tenseur des déformations (2) F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

66 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Interprétation du tenseur des déformations (3) Hypothèse des petites déformations On assimile à F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

67 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Interprétation du tenseur des déformations (4) Pour les autres directions unitaires Les termes diagonaux du tenseur des déformations représentent les allongement relatifs dans les trois directions de la base dans laquelle il est exprimé F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

68 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Interprétation du tenseur des déformations (5) Déformation angulaire M P Q a g M0 P0 Q0 e1 e2 O F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

69 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Interprétation du tenseur des déformations (6) F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

70 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Interprétation du tenseur des déformations (7) Q g P a Q0 M e1 e2 O M0 P0 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

71 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Interprétation du tenseur des déformations (8) Petites déformations On appelle le glissement (ou déformation angulaire) Q a P Q0 M e1 e2 O M0 P0 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

72 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Notion de rotation solide (1) Transforme longueurs et angles (déformation) ? Comment ce tenseur transforme-t-il un vecteur? F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

73 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Notion de rotation solide (2) Tenseur antisymétrique F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

74 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Notion de rotation solide (3) équivalent à avec F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

75 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Notion de rotation solide (4) Infiniment petit d’ordre 2 Longueurs conservées e1 e2 O P0 P M0, M tenseur de rotation solide F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

76 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Notion de rotation solide (5) Attention : les composantes de ce tenseur sont variables d’un point à l’autre du solide Interprétation des termes rotation dans le plan (2,3) ou autour de l’axe 1 rotation dans le plan (1,3) ou autour de l’axe 2 rotation dans le plan (1,2) ou autour de l’axe 3 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

77 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Notion de rotation solide (6) Interprétation physique du tenseur de rotation solide P a e1 e2 O M0, M P0 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

78 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Notion de rotation solide (8) M0, M P0 e1 e2 O Q0 P1 Q1 P Q F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

79 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Notion de rotation solide (7) Q0 Q P e1 e2 O M0, M P0 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

80 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Notion de mouvements de corps rigide (1) On prend un point comme référence (A) car ne dépend pas des variables d’espace Translation de corps rigide (ou translation rigidifiante) F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

81 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Notion de mouvements de corps rigide (2) Rotation solide uniforme Mouvement de rotation d’ensemble du solide Pas de déformation Rotation de corps rigide (ou rotation rigidifiante) A un état de déformation correspond une infinité de champs de déplacement déduits les un des autres par translation et rotation de corps rigide F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

82 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Notion de mouvements de corps rigide (3) Translation de corps rigide : trois composantes vectorielles Rotation de corps rigide : trois composantes vectorielles Les mouvements de corps rigides sont déterminés par 6 constantes dans l’espace à trois dimensions (3 dans le plan). On parle parfois de degré de liberté de corps rigide. F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

83 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Illustration finale Rotation rigide Rotation solide Translation rigide Déformation e1 e2 O F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

84 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Conditions de compatibilité Soit un tenseur d’ordre 2 réél et symétrique Est-ce un tenseur de déformation ? Conditions (dites de « compatibilité cinématique ») Pas nécessairement ! 6 équations F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

85 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Déformations principales, directions principales Le tenseur des déformations est symétrique réél, il est donc diagonalisable déformations principales base principale M0, M P0 e1 e2 O Q0 P Q Dans la base propre, il n’y a pas de cisaillement ! Les angles sont conservés. O F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

86 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Quelques états de déformation particuliers (1) Etat uniaxial de déformation Le tenseur est déjà dans sa base propre Etat de déformation plane Etat de déformation isotrope F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

87 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Quelques états de déformation particuliers (2) Etat de cisaillement pur Valeurs propres Directions propres F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

88 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Quelques états de déformation particuliers (3) Directions propres (suite) Etat de cisaillement pur F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

89 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Quelques états de déformation particuliers (4) Etat de cisaillement pur N Q0 N0 Q e’1 e’2 O P e1 e2 O P0 M0, M F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

90 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Variation de volume (1) Soit un volume élémentaire (base propre) Volume initial (avant déformation) O Après déformation O F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

91 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Variation de volume (2) Volume final (après déformation) Variation relative de volume F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

92 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Variation de volume (3) Etat de cisaillement pur Autre cas F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

93 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Cercle de Mohr (1) Etat de déformation plane Changement de base F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

94 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Cercle de Mohr (2) Linéarisation F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

95 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Cercle de Mohr (3) Si la base de départ est la base propre F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

96 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Cercle de Mohr (4) Interprétation graphique t n F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

97 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Cercle de Mohr (5) Interprétation graphique t n F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

98 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Cercle de Mohr (6) Interprétation graphique t n F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

99 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Cercle de Mohr (7) Interprétation graphique t n F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

100 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Cercle de Mohr (8) Cercle de Mohr Centre Rayon t n F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

101 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Cercle de Mohr (9) Construction du cercle de Mohr t n F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

102 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Cercle de Mohr (10) Construction du cercle de Mohr t n R F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

103 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Cercle de Mohr (11) Construction du cercle de Mohr F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

104 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Cercle de Mohr (12) Obtention des valeurs propres t n F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

105 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Cercle de Mohr (13) Sens de rotation Par convention t n F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

106 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Cercle de Mohr (14) Sens de rotation Rotation de q dans la base physique Rotation de -2q dans le cercle de Mohr F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

107 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Cercle de Mohr (14) Directions propres t n R F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

108 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Cercle de Mohr (15) Notion de cisaillement maximal t n Rotation de ±45 par rapport à la base propre F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

109 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Cercle de Mohr (16) Quelques cercles de Mohr particuliers Etat uniaxial de déformation t n F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

110 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Cercle de Mohr (17) Quelques cercles de Mohr particuliers Etat de cisaillement pur t n Base propre (tournée à 45°) F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

111 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Cercle de Mohr (18) Rotation de 90° t n Base tournée à 90° F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

112 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Cercle de Mohr (19) Rotation de 45° t n F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

113 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
3. NOTION DE CONTRAINTE F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

114 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Mise en évidence F1 F2 F3 A S1 S2 Le solide S (S1  S2) est à l’équilibre A1 F1 A2 Forces exercées par A2 sur A1 Forces exercées par A1 sur A2 Forces de cohésion: le solide conserve son intégrité F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

115 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Notion de vecteur contrainte (1) A2 dS M Vecteur contrainte Le vecteur contrainte est homogène à une pression. Il s’exprime en Pascal (Pa). On utilise souvent des multiples MPa (MégaPascal) ou GPa (GigaPascal) F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

116 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Notion de vecteur contrainte (2) Considérons maintenant une facette orientée selon l’axe 1 de la base orthogonale e1 e3 e2 Décomposition du vecteur contrainte selon des trois directions d’espace F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

117 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Notion de vecteur contrainte (3) e1 e3 e2 Nécessité de deux indices: un qui décrit l’orientation de la facette et l’autre, la direction de projection F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

118 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Notion de vecteur contrainte (4) On peut faire ça pour des facettes orientées selon les deux autres directions d’espace. Au total: On peut introduire le tenseur d’ordre 2 suivant: F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

119 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Notion de vecteur contrainte (5) Cas d’une normale quelconque F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

120 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Tenseur des contraintes (1) Tenseur des contraintes (de Cauchy) Changement de base F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

121 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Tenseur des contraintes (2) Changement de base est un tenseur d’ordre 2 Tenseur des contraintes (de Cauchy) F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

122 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Équations d’équilibre (1) e2 e1 e3 Chaque facette des cubes applique un vecteur contrainte sur la facette en regard du cube voisin Le cube central est en équilibre : application de la seconde loi de Newton F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

123 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Équations d’équilibre (2) e2 e1 e3 O A F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

124 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Équations d’équilibre (3) e2 e1 e3 O Développement limité au 1er ordre F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

125 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Équations d’équilibre (4) O e2 e1 e3 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

126 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Équations d’équilibre (5) e2 e1 e3 O Effort volumique (résultante en O) Principe fondamental de la statique (deuxième principe de Newton) F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

127 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Équations d’équilibre (6) e2 e1 e3 O Résultante dans la direction 1 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

128 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Équations d’équilibre (7) Équation 1 Équation 3 Équation 2 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

129 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Équations d’équilibre (8) ou O Moment résultant par rapport à O autour de e3 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

130 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Équations d’équilibre (9) e2 e1 e3 O Moment résultant par rapport à O autour de e3 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

131 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Équations d’équilibre (10) De même Finalement De même pour les deux autres composantes Le tenseur des contraintes est symétrique F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

132 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Équations d’équilibre (11) Trois équations F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

133 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Équations d’équilibre (12) Écriture en composantes F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

134 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Quelques éléments complémentaires Le tenseur des contraintes est symétrique réel, comme celui des déformations : il est diagonalisable il admet des invariants on peut le représenter en 2D par un cercle de Mohr A noter qu’en dynamique champ vectoriel d’accélération F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

135 Condition de bord libre (1)
Soit une facette sur la frontière du solide où aucune force n’est appliquée : c’est un ‘bord libre’ x1 x2 x3 M Vecteur contrainte F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

136 Condition de bord libre (2)
Facette en regard : pression atmosphérique ! x1 x2 x3 M Attention : les autres composantes n’ont aucune raison d’être nulles! F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

137 Condition de bord libre (3)
Autres facettes x1 x2 x3 N Facette de normale e1 P Facette de normale e2 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

138 Condition de bord libre (4)
Facette de normale quelconque Exemple : facette à 45° e1 e2 O F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

139 Équilibre d’une section (1)
Lame encastrée-libre soumise à un effort à son extrémité x1 x2 x3 P Encastrement Conditions sur le tenseur des contraintes pour traduire l’équilibre d’une section ? F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

140 Équilibre d’une section (2)
Coupe virtuelle x3 x2 P A2 S2 S1 x1 A1 Efforts exercés par S1 sur la surface A2 = - Efforts exercés par S2 sur la surface A1 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

141 Équilibre d’une section (3)
P x1 x2 x3 S1 A1 Second principe de Newton F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

142 Équilibre d’une section (4)
P x1 x2 x3 S1 A1 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

143 Équilibre d’une section (5)
x3 x2 P A2 S2 S1 x1 A1 Résultante des efforts internes sur la surface A2 = Résultante des efforts extérieurs appliquées en S1 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

144 Équilibre d’une section (6)
x3 x2 x1 P S1 A1 L A2 M S2 O x1 Idem pour les moments (par rapport à O, par exemple) Moment de la force P F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

145 Équilibre d’une section (8)
x3 x2 x1 P S1 A1 L A2 M S2 O Efforts intérieurs (A2) F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

146 Équilibre d’une section (9)
x3 x2 x1 P S1 A1 L A2 S2 O Moment résultant Équilibre F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

147 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Bilan équilibre Equation d’équilibre T Conditions aux limites sur sur F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

148 T Principe des travaux virtuels (1) Equation d’équilibre Soit
une fonction vectorielle quelconque continue et dérivable Intégration par partie F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

149 Principe des travaux virtuels (2)
Théorème de la divergence (Green-Ostrogradski) Vecteur contrainte F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

150 Principe des travaux virtuels (3)
F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

151 T Principe des travaux virtuels (4)
Forme globale (ou intégrale) de l’équation d’équilibre T vecteur champ de déplacement virtuel (fonction continue et dérivable) sur car inconnu Champ « cinématiquement admissible » tenseur de déformation virtuelle efforts extérieurs surfaciques sur la frontière du solide efforts extérieurs volumiques sur le solide tenseur des contraintes F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

152 T Principe des travaux virtuels (5)
Forme globale (ou intégrale) de l’équation d’équilibre T Valable pour tout choix de déplacement virtuel « cinématiquement admissible » fonction continue et dérivable F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

153 Principe des travaux virtuels (6)
Cette équation est rigoureusement équivalente à Soit une fonction vectorielle quelconque continue et dérivable Intégration par partie F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

154 Principe des travaux virtuels (7)
Théorème de la divergence (Green-Ostrogradski) Vecteur contrainte F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

155 Principe des travaux virtuels (8)
F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

156 Deux manières d’écrire l’équilibre dans un solide déformé
Principe des travaux virtuels (9) Deux manières d’écrire l’équilibre dans un solide déformé Équations d’équilibre local (forme forte) Conditions aux limites Équations d’équilibre global (forme faible ou intégrale): Principe des travaux virtuels F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

157 Équilibre d’une section : le retour (1)
x3 x2 P A2 S2 S1 x1 A1 Eq. 5 Eq. 4 Eq. 6 Eq. 1 Eq. 2 Eq. 3 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

158 Équilibre d’une section : le retour (2)
x3 x2 P A2 S2 S1 x1 A1 On néglige les forces volumiques F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

159 Équilibre d’une section : le retour (3)
x3 x2 P A2 S2 S1 x1 A1 Écrivons un champ virtuel: F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

160 Équilibre d’une section : le retour (4)
x3 x2 P A2 M S2 S1 x1 A1 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

161 Équilibre d’une section : le retour (5)
x3 x2 P A2 M S2 S1 x1 A1 Finalement Première relation issue de l’équilibre « à la main » On intègre sur x1 Eq. 1 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

162 Équilibre d’une section : le retour (6)
x3 x2 P A2 S2 S1 x1 A1 Écrivons un autre champ virtuel: Eq. 2 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

163 Équilibre d’une section : le retour (7)
x3 x2 P A2 S2 S1 M x1 A1 Écrivons un autre champ virtuel: F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

164 Équilibre d’une section : le retour (8)
x3 x2 P A2 S2 S1 M x1 A1 On intègre sur x1 Eq. 3 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

165 Équilibre d’une section : le retour (9)
x3 x2 P A2 S2 S1 x1 A1 Écrivons un autre champ virtuel: F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

166 Équilibre d’une section : le retour (10)
x3 x2 P A2 S2 S1 M x1 A1 On intègre sur x1 Eq. 5 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

167 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
4. Loi de comportement : Élasticité linéaire isotrope F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

168 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Premier bilan (1) Inconnues Champ de déplacement 3 fonctions inconnues Tenseur des déformations linéarisées 6 fonctions inconnues Tenseur des contraintes (de Cauchy) 6 fonctions inconnues F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

169 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Premier bilan (2) Équations 6 équations Cinématique Équilibre 3 équations 15 inconnues – 9 équations : il manque 6 équations F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

170 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Premier bilan (3) Grandeur extensive Grandeur intensive Loi de comportement Porte la physique du comportement mécanique du matériau F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

171 On double la longueur : pas d’incidence
Phénoménologie (1) S0 L0 F -F L F L-L0 On double la longueur : pas d’incidence On double la section : pente double Dépend du matériau F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

172 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Phénoménologie (2) Structure cristalline (métaux) Développement limité autour de l’équilibre Analogie du ressort F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

173 Loi de comportement isotrope linéaire élastique (1)
Loi de Hooke généralisée tenseur des rigidités 34 = 81 coefficients ! Symétrie des tenseurs de contrainte et déformation, et considération sur l’énergie 21 coefficients Changement de base F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

174 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Robert Hooke Physicien expérimentateur anglais 18 juillet 1635 (Freshwater, Isle of Wight) – 3 mars 1703 (Londres) F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

175 Loi de comportement isotrope linéaire élastique (2)
Tenseur des souplesses Comportement isotrope élastique linéaire : 2 paramètres Relations de Lamé coefficients de Lamé F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

176 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Gabriel Lamé Mathématicien français, professeur à l’école polytechnique 22 juillet 1795 (Tours) – 1er mai 1870 (Paris) F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

177 Loi de comportement isotrope linéaire élastique (3)
Relations inverses : loi de Hooke F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

178 Loi de comportement isotrope linéaire élastique (4)
Loi de Hooke : autre écriture E : module d’Young n : coefficient de Poisson G : Module de cisaillement F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

179 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Thomas Young Physicien, médecin et égyptologue anglais 13 juin 1773 (Milverton) – 10 mai 1829 (Londres) F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

180 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Siméon Denis Poisson Mathématicien, physicien et géomètre français 21 juin 1781 (Pithiviers) – 25 avril 1840 (Sceaux) F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

181 Loi de comportement isotrope linéaire élastique (5)
Loi de Hooke : écriture explicite Bord libre de normale e1 ou e2 alors Ce n’est pas vrai pour les contraintes et déformations normales ! F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

182 Loi de comportement isotrope linéaire élastique (6)
Découplage de la loi : partie isotrope et déviatrice d’un tenseur partie sphérique ou isotrope du tenseur des contraintes partie déviatrice du tenseur des contraintes (ou déviateur) De même pour le tenseur des déformations La partie déviatrice conserve le volume ! F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

183 Loi de comportement isotrope linéaire élastique (7)
Relation entre les partie isotropes Relation entre les partie déviatrices Module de compressibilité F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

184 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
5. Énergie potentielle de déformation élastique F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

185 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Analogie : ressorts (1) F = 0 x k x x F -F F = kx x F x+dx F = kx+kdx  kx -F Travail élémentaire de l’effort extérieur Travail de l’effort extérieur F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

186 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Analogie : ressorts (2) x F F x F=kx x We F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

187 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Analogie : ressorts (3) x F x T T = -F F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

188 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Solide déformable (1) Matériau élastique, isotrope et homogène x1 x2 x3 dx3 dx1 dx2 -F1 F1 Effort exercé par la facette extérieure en regard F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

189 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Solide déformable (2) x1 x2 de22dx2 -F1 F1 (1+e22)dx2 de11dx1 (1+e11)dx1 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

190 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Solide déformable (3) F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

191 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Solide déformable (4) dx1 dx2 x1 x2 F12 -F12 F21 -F21 2e12=g12 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

192 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Solide déformable (4) dx1 2e12 dx2 x1 x2 F12 -F12 F21 -F21 2de12 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

193 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Solide déformable (5) F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

194 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Solide déformable (6) F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

195 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
pour un élément de volume Énergie de déformation ou énergie potentielle élastique Travail des efforts intérieurs F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

196 Retour sur la loi de comportement (1)
Conditions sur les coefficients d’élasticité (thermodynamique) État de contrainte uniaxial E doit être strictement positif ! F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

197 Retour sur la loi de comportement (2)
Conditions sur les coefficients d’élasticité (thermodynamique) État de contrainte de cisaillement pur m doit être strictement positif ! n doit être strictement supérieur à -1 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

198 Retour sur la loi de comportement (3)
Conditions sur les coefficients d’élasticité (thermodynamique) État de contrainte isotrope n doit être strictement inférieur à 0,5 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

199 Quelques ordres de grandeur
Module d’Young Acier : E = 210 GPa ; n = 0,30 Aluminium : E = 70 GPa ; n = 0,34 Cuivre : E = 130 GPa ; n = 0,33 Mousse polymère BD : E = GPa ; n = 0,35 Titane : E = 105 GPa ; n = 0,34 Granite : E = 80 GPa ; n = 0,27 Caoutchouc : E = 0,02 GPa ; n = 0,499 très grand : matériau incompressible F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

200 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
6. Bilan : poser un problème de mécanique F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

201 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Bilan final Inconnues Équations Champ de déplacement (3 inconnues) Cinématique (6 équations) Tenseur des déformations (6 inconnues) Équilibre (3 équations) Tenseur des contraintes (6 inconnues) Loi de comportement (6 équations) 15 inconnues 15 équations F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

202 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Problème complet T + conditions aux limites !! Conditions en déplacement sur Si CL sur toute la frontière du solide, ce problème admet une solution et une seule Conditions en contrainte sur Conditions de bords libres sur F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

203 Conditions aux limites (1)
Description mathématique des liaisons d’un solide avec son environnement Elles s’expriment soit sur les déplacements, soit sur les contraintes, très rarement sur les déformations Conditions très importantes, difficultés de modélisation Exemple : contact d’un solide sur le sol Zones de contact initiales Frottement Déformation du solide Déformation du sol ! Nouvelle zone de contact F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

204 Conditions aux limites (2)
Quelques modèles standards Appui simple (contact glissant) x2 Symbole x1 x3 Contact sur une surface glissante, par exemple F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

205 Conditions aux limites (3)
Quelques modèles standards Appui simple (contact glissant) x2 x1 x3 Conséquence : effort de réaction normal Condition mixte F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

206 Conditions aux limites (4)
Quelques modèles standards Encastrement x2 Symbole x1 x3 Poutre noyée dans un bloc de béton, par exemple F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

207 Conditions aux limites (5)
Quelques modèles standards Contact élastique Déformation du massif en contact x2 F x1 x3 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

208 Conditions aux limites (6)
Quelques modèles standards Pression hydrostatique Solide immergé Pression P x2 x1 x3 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

209 Quelques solutions analytiques (1)
Traction ou compression sur barreau prismatique x2 -P P x1 x3 Système découplé +CL en contraintes F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

210 Quelques solutions analytiques (2)
Traction ou compression sur barreau prismatique x2 -P P x1 x3 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

211 Quelques solutions analytiques (3)
Champ de déplacement x2 -P P x1 x3 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

212 Quelques solutions analytiques (4)
Champ de déplacement x2 -P P x1 x3 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

213 Quelques solutions analytiques (5)
Champ de déplacement x2 -P P x1 x3 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

214 Quelques solutions analytiques (6)
Champ de déplacement x2 -P P x1 x3 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

215 Quelques solutions analytiques (7)
Champ de déplacement x2 -P P x1 x3 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

216 Quelques solutions analytiques (8)
Champ connu à 6 constantes près Translation de corps rigide Rotation de corps rigide F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

217 Quelques solutions analytiques (9)
Cylindre mince en torsion uniforme x1 x2 x3 État de cisaillement pur et uniforme F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

218 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Et maintenant ? F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

219 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Et maintenant ? (1) + conditions aux limites !! T Très peu de solutions analytiques Stratégies de résolution ? F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

220 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Et maintenant ? (2) I. Diminution du nombre d’inconnues Exemple Contraintes planes Solides minces chargés dans leur plan Déformations planes Solides très épais chargés dans leur plan F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

221 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Et maintenant ? (3) II. Paramétrage des fonctions inconnues Exemple : plaque mince 3 fonctions de 3 variables 3 fonctions de 2 variables F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

222 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
Et maintenant ? (4) I + II Deuxième partie du cours (R. Rotinat) « RDM » (théorie des poutres) Théorie des plaques minces III. Solutions approchées Paramétrage global : coefficients ai inconnus, fonctions qi choisies Méthode de Ritz Troisième partie du cours (R. Moulart) Locales : méthode des éléments finis F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)

223 F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1)
MECANIQUE DES SOLIDES DEFORMABLES Fin de la partie I Bonne chance pour la suite F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1)