La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1) 1/223 MECANIQUE DES SOLIDES DEFORMABLES Fabrice PIERRON, René ROTINAT, Raphaël MOULART.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1) 1/223 MECANIQUE DES SOLIDES DEFORMABLES Fabrice PIERRON, René ROTINAT, Raphaël MOULART."— Transcription de la présentation:

1 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 1/223 MECANIQUE DES SOLIDES DEFORMABLES Fabrice PIERRON, René ROTINAT, Raphaël MOULART

2 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 2/223 PREAMBULE

3 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 3/223 Préambule (1) Acquisition de compétences Obtention dun diplôme = Capacités danalyse Connaissance de solutions = Curiosité Rigueur Exigence = Travail pour lexamen Quelques notions indispensables… Vous nêtes plus au lycée !

4 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 4/223 Hiérarchie Concepts Méthodes Outils Mécanique des milieux continus Méthode des éléments finis Codes de calculs Critère de hiérarchie : Pérennité (et degré dimportance) Exemple Préambule (2)

5 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 5/223 Méthode de travail (1) Cours (3 séances de 2h) : cœur de la formation pour cet enseignement Assimilation du cours (acquisition de la compétence) : travail personnel (environ 40 mn par heure de cours) Fiches dauto-évaluation Réponse aux questions: dans mon bureau Présence dans les créneaux affichés à lemploi du temps TP (4h)

6 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 6/223 Méthode de travail (2)

7 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 7/223 - Je travaille pour avoir une note Méthode de travail (3) Documents de cours : fichiers PowerPoint (polycopié électronique) Idées à évacuer - On a pas besoin de recopier donc on peut glander (ou discuter, ou finir sa nuit etc…) - Même si je ne veux rien faire, je dois venir en cours

8 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 8/223 INTRODUCTION

9 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 9/223 Théories physiques A léchelle macroscopique Mécanique newtonienne des solides Mécanique intuitive, adaptée à notre monde usuel, fin XVII éme siècle Mécanique relativiste Généralisation de la théorie newtonienne, vitesses proches de la vitesse de la lumière, début XX ème siècle Mécanique quantique Description à léchelle de quelques atomes au maximum, début XX ème siècle A léchelle atomique

10 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 10/223 Sir Isaac Newton Mathématicien, physicien et philosophe anglais Woolsthorpe 1642 – Londres 1727 Principes mathématiques de la philosophie naturelle, 1687

11 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 11/223 Mécanique newtonienne des solides Principe fondamentale de la dynamique (PFD, ou deuxième loi de Newton, 1687) Autre forme : théorème de la quantité de mouvement Choc entre deux solides sans efforts extérieurs : conservation de la quantité de mouvement

12 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 12/223 Modélisation Description mathématique simplifiée de la réalité

13 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 13/223 Principaux modèles en mécanique des solides (1) I. Mécanique du point matériel Description de trajectoires (ballistique, mouvement des planètes etc.) On assimile le solide à un point où est concentrée sa masse Grandeurs descriptives : Extensive Intensive Vecteur position Vecteur force Principe fondamentale de la dynamique (PFD, ou deuxième loi de Newton)

14 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 14/223 II. Mécanique du solide indéformable Principaux modèles en mécanique des solides (2) Description de trajectoires complexes On assimile le solide à un ensemble de points massiques Les distances entre les points sont conservées

15 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 15/223 II. Mécanique du solide indéformable Grandeurs descriptives : Extensive Intensive Vecteur position Vecteur force Vecteur rotation Vecteur moment Principaux modèles en mécanique des solides (3) Principe fondamentale de la dynamique (PFD, ou deuxième loi de Newton) Théorème de la résultante dynamique (mouvement du centre de gravité) Théorème du moment dynamique (mouvements de rotation)

16 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 16/223 III. Mécanique du solide déformable Principaux modèles en mécanique des solides (4) On assimile le solide à un ensemble de points massiques Les distances entre les points ne sont plus conservées Cest lobjet de ce cours !

17 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 17/223 III. Mécanique du solide déformable Principaux modèles en mécanique des solides (5) Modèle de solide déformable simple : le ressort x x F F = kx F = 0 x k Il existe dautres modèles de ressorts (en rotation, non linéaire etc…)

18 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 18/223 III. Mécanique du solide déformable Principaux modèles en mécanique des solides (6) Modèle de solide déformable discret : assemblages de masses et de ressorts Très utilisé en mécanique des vibrations (2 ème année)

19 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 19/223 III. Mécanique du solide déformable Principaux modèles en mécanique des solides (7) Modèle de solide déformable continu Application principale : dimensionnement des structures

20 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 20/223 Statique Principaux modèles en mécanique des solides (8) Principe fondamentale de la statique (PFS, cas particulier du PFD) Approximation associée : phénomènes lents Lente succession détats déquilibres : quasi-statique mais Objet de ce cours

21 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 21/223 Principaux modèles en mécanique des solides (9) Dynamique Vibrations : petits mouvements autour dune position déquilibre Importance : acoustique, résonance Cours de 2 ème année Dynamique avec grands mouvements

22 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 22/223 Objet de ce cours Solides déformables Statique ; Dynamique. Milieux continus - Tenseur des déformations ; - Tenseur des contraintes ; - Equilibre local ; - Loi de comportement ; … Période 1 F. Pierron Méthodes approchées :Poutres, plaques, coques. (Hyp. Cinématiques) Période 2, R. Rotinat Méthodes approchées numériques :Méthode des éléments finis, … (Approx. des solutions) Période 3, R. Moulart Lois de comportement - Elasticité linéaire, non-lin. ; - Viscoélasticité ; - Plasticité ; … - Petites transformations - Grandes déformations - Grands déplacements

23 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 23/223 MECANIQUE DES SOLIDES DEFORMABLES Fabrice PIERRON Période 1 : bases du modèle de solide déformable continu

24 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 24/223 PLAN DU COURS

25 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 25/223 Plan du cours (1) 1.Préalable : Notions de base sur les tenseurs a.Convention de notation b.Tenseurs : définition et propriétés c.Changements de base des tenseurs dordre 1 et 2 d.Notion de base propre et dinvariants e.Deux opérateurs utiles 2.Cinématique : Notion de déformation a.Généralités b.Transformation dun vecteur c.Déformations : changements de longueur et dangles d.Interprétation du tenseur des déformations e.Notion de rotation solide f.Notion de mouvement de corps rigide

26 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 26/223 Plan du cours (2) 2.Cinématique : Notion de déformation g.Conditions de compatibilité h.Déformations principales, directions principales i.Quelques états de déformation particuliers j.Variation de volume k.Cercle de Mohr 3.Notion de contrainte a.Vecteur contrainte et tenseur des contraintes b.Relations déquilibre c.Écriture de léquilibre dune section dun solide d.Conditions de bords libres e.Quelques états de contrainte particuliers f.Cercle de Mohr

27 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 27/223 Plan du cours (3) 4.Loi de comportement : Élasticité linéaire isotrope 5.Bilan a.Poser le problème b.Les conditions aux limites 6.Énergie de déformation élastique

28 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 28/ PREALABLE : Notions de base sur les tenseurs

29 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 29/223 Conventions de notation (1) Convention de lindice muet répété (IMR ou convention dEinstein) Notation avec convention IMR Notation habituelle Exemple 1 : produit scalaire Notation habituelle Exemple 2 : divergence dun vecteur Notation avec convention IMR

30 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 30/223 Conventions de notation (2) Indice franc, indice muet Notation habituelle i,k : indices francs j : indice muet Notation avec convention IMR Notation habituelle Simplification des notations ! Notation avec convention IMR i,j,k,l : indices francs m,n,o,p : indices muets

31 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 31/223 Conventions de notation (3) Exemple 1 : Exemple 2 : En combinant les deux conventions Notation avec virgule (dérivation)

32 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 32/223 Quest-ce quun tenseur ? (1) Ensemble de composantes Tenseur dordre 0 : scalaire Tenseur dordre (ou de rang) 1 : représenté par un vecteur Vecteur : ensemble de scalaires Tenseur dordre (ou de rang) 2 : représenté par une matrice Matrice : ensemble de vecteur Tenseur dordre (ou de rang) n : représenté par un tableau en n dimensions Ensemble de tenseurs de rang n-1 Tenseur de rang 4 composantes dans lespace à 3 dimensions

33 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 33/223 x y x y 1 2 Deux vecteurs mais un seul tenseur !! Tenseur dordre 1 vecteur Tenseur dordre 2 matrice Quest-ce quun tenseur ? (2)

34 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 34/223 Matrice de passage (changement de base) pour un tenseur dordre 1 Ancienne base : Nouvelle base : Changement quelconque Changements de base des tenseurs dordre 1 et 2 (1)

35 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 35/223 On applique deux fois la matrice de passage (trois fois pour un tenseur dordre 3, 4 fois pour un tenseur dordre 4 etc…) Propriété de la matrice de passage dans le cas des bases orthonormées : Changement de base Tenseur exprimé dans la nouvelle base Changements de base des tenseurs dordre 1 et 2 (2) Matrice de passage (changement de base) pour un tenseur dordre 2

36 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 36/223 Cas dune rotation dans un plan pour un tenseur dordre 2 symétrique Changements de base des tenseurs dordre 1 et 2 (3)

37 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 37/223 Notion dinvariant dun tenseur symétrique réél dordre 2 Notion de base propre et dinvariants (1) Tout tenseur symétrique réél est diagonalisable. Il existera donc toujours une base dans laquelle le tenseur pourra sécrire : i : valeurs propres du tenseur Cette base est appelée base principale Recherche des valeurs propres et de la base propre

38 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 38/223 Notion de base propre et dinvariants (2) On cherche les valeurs telles que :

39 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 39/223 Les valeurs propres sont une propriétés intrinsèque du tenseur Notion de base propre et dinvariants (3) On trouvera donc les mêmes quelle que soit la base dans laquelle on a représenté le tenseur Les coefficients I 1, I 2 et I 3 de léquation caractéristique : sont donc les mêmes quelle que soit la base sont appelés « invariants » du tenseur dordre 2 considéré trace du tenseur invariant dordre 2 invariant dordre 3

40 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 40/223 Notion de base propre et dinvariants (4) Léquation caractéristique admet 3 racines réélles, ce sont les valeurs propres du tenseur. Si deux matrices symétriques réélles différentes ont les mêmes invariants, alors elles sont la représentation dun même tenseur dans deux bases différentes. Invariants dans la base propre Si un tenseur a un déterminant nul, cela signifie quau moins une de ses valeurs propres est nulle

41 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 41/223 Notion de base propre et dinvariants (5) Directions principales : ce sont les vecteurs qui forment la base propre Base propre On cherche donc les vecteurs tels que 3 système linéaire de 3 équations chacun

42 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 42/223 Notion de base propre et dinvariants (6) Comme, par définition, Ensemble de vecteurs colinéaires admet une infinité de solutions (équations liées) On choisi par exemple et on détermine les autres composantes, ceci pour chacun des trois vecteurs de la base propre Exemple En dimension 2

43 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 43/223 Notion de base propre et dinvariants (7) Direction propre 1 Direction propre 2

44 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 44/223 Deux opérateurs utiles Gradient dun tenseur de rang 1 (vecteur) Divergence dun tenseur de rang 2

45 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 45/ CINÉMATIQUE : notion de déformation

46 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 46/223 Translation densemble (corps rigide) Rotation densemble (corps rigide) Déformation Généralités (1)

47 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 47/ M0M0 M Configuration initiale ou lagrangienne Configuration déformée ou eulérienne Généralités (2)

48 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 48/223 Leonhard Euler Mathématicien et physicien suisse Bâle 1707 – St-Petersbourg 1783 Généralités (3)

49 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 49/223 Joseph Louis, Comte de Lagrange Mathématicien franco-italien Turin 1736 – Paris 1813 Généralités (4)

50 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 50/223 Notion de champ tensoriel Champ tensoriel : ensemble de tenseurs variables en chaque point de lespace Généralités (6)

51 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 51/223 Champ (vectoriel) de déplacement Champ vectoriel : vecteur variable en chaque point de lespace et du temps Décrit la transformation de chaque point matériel au cours du temps 1 2 e1e1 e2e2 M0M0 P0P0 M P Généralités (6)

52 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 52/223 Pour les développements en grands déplacements : * Jean Coirier, « Mécanique des milieux continus », Dunod (médiathèque) * François Sidoroff, « Cours sur les grandes déformations », Rapport GRECO 51/1982 (X:\Enseignants\PierronF\MSD1a\CoursGD_Sidoroff.pdf) Hypothèse n° 1 : on assimile la configuration déformée à la configuration initiale Hypothèse des « petits déplacements » Plus quun seul système de coordonées : x i Généralités (7)

53 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 53/223 Augustin Louis, Baron de Cauchy Mathématicien français Paris 1789 – Sceaux 1857 Transformation dun vecteur (1)

54 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 54/223 M P Soient deux points M 0 et P 0 infiniment proches Modèle : le segment de droite M 0 P 0 est transformé en un segment de droite (MP) Transformation du vecteur M0M0 P0P0 e1e1 e2e2 O Transformation dun vecteur (2)

55 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 55/223 Transformation dun vecteur (3) Idée : écriture du développement limité de au voisinage de M 0

56 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 56/223 M0M0 P0P0 M P Transformation dun vecteur (4) e1e1 e2e2 O tenseur unité ou identité

57 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 57/223 Tenseur gradient de déplacement u est continue et dérivable (notion de milieu continu) Transformation dun vecteur (5)

58 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 58/223 Déformations : changements de longueur et dangles (1) Produit scalaire ! On connaît (configuration initiale) : M0M0 P0P0 e1e1 e2e2 O Q0Q0 0 On cherche (configuration finale) : M P Q Implique longueurs et dangle Calculer en fonction de

59 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 59/223 Commutation de produit (1) tenseur transposé de A Déformations : changements de longueur et dangles (2)

60 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 60/223 Commutation de produit (2) ? Déformations : changements de longueur et dangles (3)

61 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 61/223 est un infiniment petit dordre 2 Déformations : changements de longueur et dangles (4) Hypothèse n° 2 : les déformations restent petites devant 1

62 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 62/223 Tenseur des déformations linéarisé Déformations : changements de longueur et dangles (5)

63 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 63/223 Expression explicite (tenseur symétrique) Déformations : changements de longueur et dangles (6) Expression indicielle

64 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 64/223 Interprétation du tenseur des déformations (1) Déformation dans une direction : allongement relatif M0M0 P0P0 M P e1e1 e2e2 O

65 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 65/223 Interprétation du tenseur des déformations (2)

66 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 66/223 Interprétation du tenseur des déformations (3) Hypothèse des petites déformations On assimile à

67 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 67/223 Interprétation du tenseur des déformations (4) Pour les autres directions unitaires Les termes diagonaux du tenseur des déformations représentent les allongement relatifs dans les trois directions de la base dans laquelle il est exprimé

68 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 68/223 M0M0 P0P0 Q0Q0 e1e1 e2e2 O Déformation angulaire Interprétation du tenseur des déformations (5) M P Q

69 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 69/223 Interprétation du tenseur des déformations (6)

70 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 70/223 M0M0 P0P0 M P Q0Q0 Q Interprétation du tenseur des déformations (7) e1e1 e2e2 O

71 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 71/223 Interprétation du tenseur des déformations (8) e1e1 e2e2 O Petites déformations M0M0 P0P0 M P Q0Q0 Q On appelle le glissement (ou déformation angulaire)

72 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 72/223 Notion de rotation solide (1) Transforme longueurs et angles (déformation) ? Comment ce tenseur transforme-t-il un vecteur?

73 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 73/223 Notion de rotation solide (2) Tenseur antisymétrique

74 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 74/223 Notion de rotation solide (3) équivalent à avec

75 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 75/223 Notion de rotation solide (4) tenseur de rotation solide Infiniment petit dordre 2 Longueurs conservées e1e1 e2e2 O P0P0 P M 0, M

76 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 76/223 Notion de rotation solide (5) Interprétation des termes Attention : les composantes de ce tenseur sont variables dun point à lautre du solide rotation dans le plan (2,3) ou autour de laxe 1 rotation dans le plan (1,3) ou autour de laxe 2 rotation dans le plan (1,2) ou autour de laxe 3

77 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 77/223 Notion de rotation solide (6) Interprétation physique du tenseur de rotation solide P0P0 e1e1 e2e2 O M 0, M P

78 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 78/223 Notion de rotation solide (8) M 0, M P0P0 e1e1 e2e2 O Q0Q0 P1P1 Q1Q1 P Q

79 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 79/223 Notion de rotation solide (7) M 0, M P0P0 e1e1 e2e2 O Q0Q0 Q P

80 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 80/223 Notion de mouvements de corps rigide (1) On prend un point comme référence (A) Translation de corps rigide (ou translation rigidifiante) car ne dépend pas des variables despace

81 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 81/223 Notion de mouvements de corps rigide (2) Rotation solide uniforme Mouvement de rotation densemble du solide Pas de déformation Rotation de corps rigide (ou rotation rigidifiante) A un état de déformation correspond une infinité de champs de déplacement déduits les un des autres par translation et rotation de corps rigide

82 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 82/223 Notion de mouvements de corps rigide (3) Translation de corps rigide : trois composantes vectorielles Rotation de corps rigide : trois composantes vectorielles Les mouvements de corps rigides sont déterminés par 6 constantes dans lespace à trois dimensions (3 dans le plan). On parle parfois de degré de liberté de corps rigide.

83 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 83/223 Illustration finale e1e1 e2e2 O Translation rigide Rotation rigide Rotation solide Déformation

84 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 84/223 Conditions de compatibilité Soit un tenseur dordre 2 réél et symétrique Est-ce un tenseur de déformation ? Conditions (dites de « compatibilité cinématique ») Pas nécessairement ! 6 équations

85 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 85/223 Déformations principales, directions principales Le tenseur des déformations est symétrique réél, il est donc diagonalisable déformations principales base principale M 0, M P0P0 e1e1 e2e2 O Q0Q0 P Q Dans la base propre, il ny a pas de cisaillement ! Les angles sont conservés. O

86 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 86/223 Quelques états de déformation particuliers (1) Etat uniaxial de déformation Le tenseur est déjà dans sa base propre Etat de déformation plane Etat de déformation isotrope

87 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 87/223 Quelques états de déformation particuliers (2) Etat de cisaillement pur Valeurs propres Directions propres

88 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 88/223 Quelques états de déformation particuliers (3) Directions propres (suite) Etat de cisaillement pur

89 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 89/223 Quelques états de déformation particuliers (4) Etat de cisaillement pur M 0, M P0P0 e1e1 e2e2 O Q0Q0 Q P N0N0 N e1e1 e2e2 O

90 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 90/223 Variation de volume (1) Soit un volume élémentaire (base propre) Volume initial (avant déformation) O Après déformation O

91 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 91/223 Variation de volume (2) Volume final (après déformation) Variation relative de volume

92 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 92/223 Variation de volume (3) Etat de cisaillement pur Autre cas

93 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 93/223 Cercle de Mohr (1) Etat de déformation plane Changement de base

94 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 94/223 Cercle de Mohr (2) Linéarisation

95 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 95/223 Cercle de Mohr (3) Si la base de départ est la base propre

96 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 96/223 Cercle de Mohr (4) Interprétation graphique t n

97 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 97/223 Cercle de Mohr (5) Interprétation graphique t n

98 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 98/223 Cercle de Mohr (6) Interprétation graphique t n

99 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 99/223 Cercle de Mohr (7) Interprétation graphique t n

100 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 100/223 Cercle de Mohr (8) t n Cercle de Mohr Centre Rayon

101 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 101/223 Cercle de Mohr (9) Construction du cercle de Mohr t n

102 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 102/223 Cercle de Mohr (10) Construction du cercle de Mohr t n R

103 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 103/223 Cercle de Mohr (11) Construction du cercle de Mohr

104 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 104/223 Cercle de Mohr (12) Obtention des valeurs propres t n

105 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 105/223 Cercle de Mohr (13) Sens de rotation Par convention t n

106 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 106/223 Cercle de Mohr (14) Sens de rotation Rotation de dans la base physique Rotation de -2 dans le cercle de Mohr

107 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 107/223 Cercle de Mohr (14) Directions propres t n R

108 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 108/223 Cercle de Mohr (15) Notion de cisaillement maximal t n Rotation de ±45 par rapport à la base propre

109 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 109/223 Cercle de Mohr (16) Quelques cercles de Mohr particuliers t n Etat uniaxial de déformation

110 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 110/223 Cercle de Mohr (17) Quelques cercles de Mohr particuliers Etat de cisaillement pur t n Base propre (tournée à 45°)

111 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 111/223 Cercle de Mohr (18) Rotation de 90° Base tournée à 90° t n

112 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 112/223 Cercle de Mohr (19) Rotation de 45° t n

113 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 113/ NOTION DE CONTRAINTE

114 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 114/223 Mise en évidence S1S1 S2S2 A F1F1 F2F2 F3F3 Le solide S (S 1 S 2 ) est à léquilibre A1A1 F1F1 Forces de cohésion: le solide conserve son intégrité A2A2 Forces exercées par A 2 sur A 1 Forces exercées par A 1 sur A 2

115 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 115/223 Notion de vecteur contrainte (1) A2A2 dS M Le vecteur contrainte est homogène à une pression. Il sexprime en Pascal (Pa). On utilise souvent des multiples MPa (MégaPascal) ou GPa (GigaPascal) Vecteur contrainte

116 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 116/223 Notion de vecteur contrainte (2) Considérons maintenant une facette orientée selon laxe 1 de la base orthogonale e1e1 e3e3 e2e2 Décomposition du vecteur contrainte selon des trois directions despace

117 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 117/223 Notion de vecteur contrainte (3) e1e1 e3e3 e2e2 Nécessité de deux indices: un qui décrit lorientation de la facette et lautre, la direction de projection

118 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 118/223 Notion de vecteur contrainte (4) On peut faire ça pour des facettes orientées selon les deux autres directions despace. Au total: On peut introduire le tenseur dordre 2 suivant:

119 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 119/223 Notion de vecteur contrainte (5) Cas dune normale quelconque

120 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 120/223 Tenseur des contraintes (1) Tenseur des contraintes (de Cauchy) Changement de base

121 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 121/223 Tenseur des contraintes (2) Changement de base est un tenseur dordre 2 Tenseur des contraintes (de Cauchy)

122 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 122/223 Équations déquilibre (1) e2e2 e1e1 e3e3 Le cube central est en équilibre : application de la seconde loi de Newton Chaque facette des cubes applique un vecteur contrainte sur la facette en regard du cube voisin

123 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 123/223 Équations déquilibre (2) e2e2 e1e1 e3e3 O A

124 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 124/223 Équations déquilibre (3) e2e2 e1e1 e3e3 O Développement limité au 1 er ordre

125 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 125/223 Équations déquilibre (4) e2e2 e1e1 e3e3 O

126 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 126/223 Équations déquilibre (5) e2e2 e1e1 e3e3 Effort volumique (résultante en O) Principe fondamental de la statique (deuxième principe de Newton) O

127 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 127/223 O Résultante dans la direction 1 Équations déquilibre (6) e2e2 e1e1 e3e3

128 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 128/223 Équations déquilibre (7) Équation 1Équation 2Équation 3

129 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 129/223 O Équations déquilibre (8) ou Moment résultant par rapport à O autour de e 3

130 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 130/223 Équations déquilibre (9) e2e2 e1e1 e3e3 Moment résultant par rapport à O autour de e 3 O

131 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 131/223 De même Finalement De même pour les deux autres composantes Le tenseur des contraintes est symétrique Équations déquilibre (10)

132 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 132/223 Équations déquilibre (11) Trois équations

133 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 133/223 Équations déquilibre (12) Écriture en composantes

134 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 134/223 Quelques éléments complémentaires Le tenseur des contraintes est symétrique réel, comme celui des déformations : il est diagonalisable il admet des invariants on peut le représenter en 2D par un cercle de Mohr A noter quen dynamique champ vectoriel daccélération

135 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 135/223 Condition de bord libre (1) Soit une facette sur la frontière du solide où aucune force nest appliquée : cest un bord libre x1x1 x2x2 x3x3 Vecteur contrainte M

136 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 136/223 Condition de bord libre (2) Facette en regard : pression atmosphérique ! x1x1 x2x2 x3x3 M Attention : les autres composantes nont aucune raison dêtre nulles!

137 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 137/223 Condition de bord libre (3) Autres facettes x1x1 x2x2 x3x3 N Facette de normale e 1 P Facette de normale e 2

138 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 138/223 Condition de bord libre (4) Facette de normale quelconque Exemple : facette à 45° e1e1 e2e2 O

139 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 139/223 Équilibre dune section (1) Lame encastrée-libre soumise à un effort à son extrémité x1x1 x2x2 x3x3 P Encastrement Conditions sur le tenseur des contraintes pour traduire léquilibre dune section ?

140 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 140/223 Équilibre dune section (2) Coupe virtuelle x1x1 x2x2 x3x3 P S2S2 S1S1 A2A2 Efforts exercés par S 1 sur la surface A 2 = - Efforts exercés par S 2 sur la surface A 1 A1A1

141 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 141/223 Équilibre dune section (3) P x1x1 x2x2 x3x3 S1S1 A1A1 Second principe de Newton

142 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 142/223 Équilibre dune section (4) P x1x1 x2x2 x3x3 S1S1 A1A1

143 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 143/223 Équilibre dune section (5) x1x1 x2x2 x3x3 P S2S2 S1S1 A2A2 A1A1 Résultante des efforts internes sur la surface A 2 = Résultante des efforts extérieurs appliquées en S 1

144 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 144/223 Équilibre dune section (6) x2x2 x3x3 S2S2 A2A2 x1x1 P S1S1 A1A1 Idem pour les moments (par rapport à O, par exemple) Moment de la force P O L M x1x1

145 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 145/223 Équilibre dune section (8) x2x2 x3x3 S2S2 A2A2 x1x1 P S1S1 A1A1 O Efforts intérieurs (A 2 ) L M

146 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 146/223 Équilibre dune section (9) x2x2 x3x3 S2S2 A2A2 x1x1 P S1S1 A1A1 O L Moment résultant Équilibre

147 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 147/223 Bilan équilibre Equation déquilibre Conditions aux limites T sur

148 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 148/223 Principe des travaux virtuels (1) Soit une fonction vectorielle quelconque Intégration par partie continue et dérivable Equation déquilibre T

149 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 149/223 Principe des travaux virtuels (2) Théorème de la divergence (Green-Ostrogradski) Vecteur contrainte

150 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 150/223 Principe des travaux virtuels (3)

151 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 151/223 Principe des travaux virtuels (4) Forme globale (ou intégrale) de léquation déquilibre vecteur champ de déplacement virtuel (fonction continue et dérivable) tenseur de déformation virtuelle T efforts extérieurs volumiques sur le solide tenseur des contraintes efforts extérieurs surfaciques sur la frontière du solide sur car inconnu Champ « cinématiquement admissible »

152 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 152/223 Principe des travaux virtuels (5) Forme globale (ou intégrale) de léquation déquilibre T Valable pour tout choix de déplacement virtuel « cinématiquement admissible » fonction continue et dérivable

153 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 153/223 Principe des travaux virtuels (6) Cette équation est rigoureusement équivalente à Soit une fonction vectorielle quelconque Intégration par partie continue et dérivable

154 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 154/223 Principe des travaux virtuels (7) Théorème de la divergence (Green-Ostrogradski) Vecteur contrainte

155 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 155/223 Principe des travaux virtuels (8)

156 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 156/223 Principe des travaux virtuels (9) Deux manières décrire léquilibre dans un solide déformé Équations déquilibre local (forme forte) Conditions aux limites Équations déquilibre global (forme faible ou intégrale): Principe des travaux virtuels

157 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 157/223 Équilibre dune section : le retour (1) x1x1 x2x2 x3x3 P S2S2 S1S1 A2A2 A1A1 Eq. 2 Eq. 1 Eq. 3 Eq. 5 Eq. 4 Eq. 6

158 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 158/223 Équilibre dune section : le retour (2) x1x1 x2x2 x3x3 P S2S2 S1S1 A2A2 A1A1 On néglige les forces volumiques

159 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 159/223 Équilibre dune section : le retour (3) x1x1 x2x2 x3x3 P S2S2 S1S1 A2A2 A1A1 Écrivons un champ virtuel:

160 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 160/223 Équilibre dune section : le retour (4) x1x1 x2x2 x3x3 P S2S2 S1S1 A2A2 A1A1 M

161 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 161/223 Équilibre dune section : le retour (5) x1x1 x2x2 x3x3 P S2S2 S1S1 A2A2 A1A1 M Première relation issue de léquilibre « à la main » Finalement On intègre sur x 1 Eq. 1

162 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 162/223 Équilibre dune section : le retour (6) x1x1 x2x2 x3x3 P S2S2 S1S1 A2A2 A1A1 Écrivons un autre champ virtuel: Eq. 2

163 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 163/223 Équilibre dune section : le retour (7) x1x1 x2x2 x3x3 P S2S2 S1S1 A2A2 A1A1 Écrivons un autre champ virtuel: M

164 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 164/223 Équilibre dune section : le retour (8) x1x1 x2x2 x3x3 P S2S2 S1S1 A2A2 A1A1 M On intègre sur x 1 Eq. 3

165 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 165/223 Équilibre dune section : le retour (9) x1x1 x2x2 x3x3 P S2S2 S1S1 A2A2 A1A1 Écrivons un autre champ virtuel:

166 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 166/223 Équilibre dune section : le retour (10) x1x1 x2x2 x3x3 P S2S2 S1S1 A2A2 A1A1 M On intègre sur x 1 Eq. 5

167 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 167/ Loi de comportement : Élasticité linéaire isotrope

168 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 168/223 Premier bilan (1) Inconnues Tenseur des contraintes (de Cauchy) 6 fonctions inconnues Tenseur des déformations linéarisées 6 fonctions inconnues Champ de déplacement 3 fonctions inconnues

169 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 169/223 Premier bilan (2) Équations 6 équations Cinématique Équilibre 3 équations 15 inconnues – 9 équations : il manque 6 équations

170 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 170/223 Premier bilan (3) Grandeur intensive Grandeur extensive Loi de comportement Porte la physique du comportement mécanique du matériau

171 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 171/223 Phénoménologie (1) L S0S0 L0L0 F -F F L-L 0 On double la longueur : pas dincidence On double la section : pente double Dépend du matériau

172 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 172/223 Phénoménologie (2) Structure cristalline (métaux) Développement limité autour de léquilibre Analogie du ressort

173 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 173/223 Loi de comportement isotrope linéaire élastique (1) Loi de Hooke généralisée 3 4 = 81 coefficients ! Symétrie des tenseurs de contrainte et déformation, et considération sur lénergie 21 coefficients Changement de base tenseur des rigidités

174 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 174/223 Robert Hooke Physicien expérimentateur anglais 18 juillet 1635 (Freshwater, Isle of Wight) – 3 mars 1703 (Londres)

175 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 175/223 Tenseur des souplesses Comportement isotrope élastique linéaire : 2 paramètres coefficients de Lamé Relations de Lamé Loi de comportement isotrope linéaire élastique (2)

176 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 176/223 Gabriel Lamé Mathématicien français, professeur à lécole polytechnique 22 juillet 1795 (Tours) – 1 er mai 1870 (Paris)

177 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 177/223 Relations inverses : loi de Hooke Loi de comportement isotrope linéaire élastique (3)

178 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 178/223 Loi de Hooke : autre écriture E : module dYoung : coefficient de Poisson G : Module de cisaillement Loi de comportement isotrope linéaire élastique (4)

179 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 179/223 Thomas Young Physicien, médecin et égyptologue anglais 13 juin 1773 (Milverton) – 10 mai 1829 (Londres)

180 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 180/223 Siméon Denis Poisson Mathématicien, physicien et géomètre français 21 juin 1781 (Pithiviers) – 25 avril 1840 (Sceaux)

181 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 181/223 Loi de Hooke : écriture explicite Bord libre de normale e 1 ou e 2 alors Ce nest pas vrai pour les contraintes et déformations normales ! Loi de comportement isotrope linéaire élastique (5)

182 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 182/223 Découplage de la loi : partie isotrope et déviatrice dun tenseur Loi de comportement isotrope linéaire élastique (6) partie sphérique ou isotrope du tenseur des contraintes partie déviatrice du tenseur des contraintes (ou déviateur) De même pour le tenseur des déformations La partie déviatrice conserve le volume !

183 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 183/223 Relation entre les partie isotropes Loi de comportement isotrope linéaire élastique (7) Module de compressibilité Relation entre les partie déviatrices

184 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 184/ Énergie potentielle de déformation élastique

185 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 185/223 F = 0 x k Travail élémentaire de leffort extérieur Travail de leffort extérieur x F = kx x F -F x F x+dx F = kx+kdx kx -F Analogie : ressorts (1)

186 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 186/223 x x F F=kx x We Analogie : ressorts (2) x F

187 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 187/223 x x F T T = -F Analogie : ressorts (3)

188 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 188/223 -F 1 F1F1 x1x1 x2x2 x3x3 dx 3 dx 1 dx 2 Effort exercé par la facette extérieure en regard Matériau élastique, isotrope et homogène Solide déformable (1)

189 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 189/223 -F 1 F1F1 (1+ 11 )dx1 22 )dx 2 x1x1 x2x2 d 11 dx 1 d 22 dx 2 Solide déformable (2)

190 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 190/223 Solide déformable (3)

191 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 191/ = 12 F 12 -F 12 F 21 -F 21 dx 1 dx 2 x1x1 x2x2 Solide déformable (4)

192 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 192/223 2d 12 dx dx 2 x1x1 x2x2 F 12 -F 12 F 21 -F 21 Solide déformable (4)

193 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 193/223 Solide déformable (5)

194 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 194/223 Solide déformable (6)

195 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 195/223 pour un élément de volume Énergie de déformation ou énergie potentielle élastique Travail des efforts intérieurs

196 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 196/223 Conditions sur les coefficients délasticité (thermodynamique) Retour sur la loi de comportement (1) État de contrainte uniaxial E doit être strictement positif !

197 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 197/223 Conditions sur les coefficients délasticité (thermodynamique) Retour sur la loi de comportement (2) État de contrainte de cisaillement pur doit être strictement positif ! doit être strictement supérieur à -1

198 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 198/223 Conditions sur les coefficients délasticité (thermodynamique) Retour sur la loi de comportement (3) État de contrainte isotrope doit être strictement inférieur à 0,5

199 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 199/223 Module dYoung Quelques ordres de grandeur Acier : E = 210 GPa ; = 0,30 Aluminium : E = 70 GPa ; = 0,34 Cuivre : E = 130 GPa ; = 0,33 Mousse polymère BD : E = GPa ; = 0,35 Titane : E = 105 GPa ; = 0,34 Granite : E = 80 GPa ; = 0,27 Caoutchouc : E = 0,02 GPa ; = 0,499 très grand : matériau incompressible

200 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 200/ Bilan : poser un problème de mécanique

201 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 201/223 Équations Cinématique (6 équations) Équilibre (3 équations) 15 équations Bilan final Inconnues Tenseur des contraintes (6 inconnues) Champ de déplacement (3 inconnues) Tenseur des déformations (6 inconnues) 15 inconnues Loi de comportement (6 équations)

202 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 202/223 Problème complet T + conditions aux limites !! Conditions en déplacement sur Conditions en contrainte sur Conditions de bords libres sur Si CL sur toute la frontière du solide, ce problème admet une solution et une seule

203 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 203/223 Conditions aux limites (1) Description mathématique des liaisons dun solide avec son environnement Elles sexpriment soit sur les déplacements, soit sur les contraintes, très rarement sur les déformations Conditions très importantes, difficultés de modélisation Exemple : contact dun solide sur le sol Zones de contact initiales Frottement Déformation du solide Déformation du sol ! Nouvelle zone de contact

204 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 204/223 Conditions aux limites (2) Quelques modèles standards Appui simple (contact glissant) x1x1 x2x2 x3x3 Contact sur une surface glissante, par exemple Symbole

205 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 205/223 Conditions aux limites (3) Quelques modèles standards Appui simple (contact glissant) x1x1 x2x2 x3x3 Conséquence : effort de réaction normal Condition mixte

206 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 206/223 Conditions aux limites (4) Quelques modèles standards Encastrement x1x1 x2x2 x3x3 Poutre noyée dans un bloc de béton, par exemple Symbole

207 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 207/223 Conditions aux limites (5) Quelques modèles standards Contact élastique x1x1 x2x2 x3x3 F Déformation du massif en contact

208 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 208/223 Conditions aux limites (6) Quelques modèles standards Pression hydrostatique x1x1 x2x2 x3x3 Solide immergé Pression P

209 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 209/223 Quelques solutions analytiques (1) Traction ou compression sur barreau prismatique x1x1 x2x2 x3x3 -P P Système découplé +CL en contraintes

210 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 210/223 Quelques solutions analytiques (2) Traction ou compression sur barreau prismatique x1x1 x2x2 x3x3 -P P

211 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 211/223 Quelques solutions analytiques (3) Champ de déplacement x1x1 x2x2 x3x3 -P P

212 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 212/223 Quelques solutions analytiques (4) Champ de déplacement x1x1 x2x2 x3x3 -P P

213 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 213/223 Quelques solutions analytiques (5) Champ de déplacement x1x1 x2x2 x3x3 -P P

214 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 214/223 Quelques solutions analytiques (6) Champ de déplacement x1x1 x2x2 x3x3 -P P

215 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 215/223 Quelques solutions analytiques (7) Champ de déplacement x1x1 x2x2 x3x3 -P P

216 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 216/223 Quelques solutions analytiques (8) Champ connu à 6 constantes près Translation de corps rigide Rotation de corps rigide

217 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 217/223 Quelques solutions analytiques (9) Cylindre mince en torsion uniforme x1x1 x2x2 x3x3 État de cisaillement pur et uniforme

218 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 218/223 Et maintenant ?

219 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 219/223 Et maintenant ? (1) T + conditions aux limites !! Très peu de solutions analytiques Stratégies de résolution ?

220 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 220/223 Et maintenant ? (2) I. Diminution du nombre dinconnues Contraintes planes Solides minces chargés dans leur plan Déformations planes Solides très épais chargés dans leur plan Exemple

221 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 221/223 Et maintenant ? (3) II. Paramétrage des fonctions inconnues Exemple : plaque mince 3 fonctions de 3 variables 3 fonctions de 2 variables

222 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 222/223 Et maintenant ? (4) I + II « RDM » (théorie des poutres) Théorie des plaques minces III. Solutions approchées Paramétrage global : coefficients a i inconnus, fonctions i choisies Méthode de Ritz Locales : méthode des éléments finis Deuxième partie du cours (R. Rotinat) Troisième partie du cours (R. Moulart)

223 F. Pierron, Mécanique des solides déformables (1) 223/223 MECANIQUE DES SOLIDES DEFORMABLES Fin de la partie I Bonne chance pour la suite


Télécharger ppt "F. Pierron, 2011-2012 - Mécanique des solides déformables (1) 1/223 MECANIQUE DES SOLIDES DEFORMABLES Fabrice PIERRON, René ROTINAT, Raphaël MOULART."

Présentations similaires


Annonces Google