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Enseignement de spécialité en Terminale S à compter de la rentrée 2012 Académie de Créteil.

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1 Enseignement de spécialité en Terminale S à compter de la rentrée 2012 Académie de Créteil

2 Extraits du nouveau programme : Introduction de « Matrices et suites » « Il sagit détudier des exemples de processus discrets, déterministes ou stochastiques, à laide de suites ou de matrices. On introduit le calcul matriciel sur des matrices d'ordre 2. Les calculs sur des matrices d'ordre 3 ou plus sont essentiellement effectués à l'aide d'une calculatrice ou d'un logiciel ».

3 Extraits du nouveau programme

4 Perspective de la présentation Une entrée spécifique par la résolution de problèmes : les matrices comme outil, une liste dexemples phares dans le libellé du programme (liste non exhaustive). Phénomènes stochastiques et marches aléatoires sur un graphe probabiliste : des ressorts communs et des variantes.

5 Un exemple contextualisé Une petite station de ski dispose de 3 remontées mécaniques (1), (2) et (3). Pour un skieur adoptant un comportement aléatoire, on note X n la variable aléatoire donnant le numéro de la remontée utilisée après n descentes. On note L n la matrice ligne représentant la loi de X n : L n = (P(X n = 1), P(X n = 2), P(X n = 3)) L n est appelé létat probabiliste à linstant n.

6 Données numériques

7 Arbre de probabilités conditionnelles

8 Graphe probabiliste La transition de n à n+1 (indépendante de n) peut se visualiser sur un graphe probabiliste. La somme des poids des arêtes orientées issues de chaque sommet est égale à 1.

9 Matrice de transition A partir de larbre : - On note x 1, x 2, x 3 les probabilités respectives que le skieur emprunte la remontée (1), (2), (3) à lissue de sa nième descente. - On note y 1, y 2, y 3 les probabilités pour quil se dirige vers la remontée (1), (2), (3) après la descente suivante. - On a alors : y 1 = 0.3 x x x 3 … Et les deux autres relations analogues.

10 Matrice de transition Ces relations se traduisent matriciellement par : L n+1 = L n. T Où la matrice T = se lit directement sur le tableau :

11 Interprétation de T 2 Puisque L n+2 = L n. T 2 les coefficients de T 2 sinterprètent comme les probabilités de passer dune remontée à une autre en 2 descentes. De même pour T k.

12 Etat probabiliste après n descentes Il est alors facile de montrer par récurrence que : L n = L 0. T n (L 0 représente les probabilités de se diriger vers les remontées (1), (2) et (3) en début de séjour).

13 Calculs de T n sur logiciel Sur tableur : Ski T puissance n.xlsxSki T puissance n.xlsx [Syntaxe : PRODUITMAT(plage;plage) puis sélectionner plage de réponse, puis f2, puis ctrl+maj+entrée]. Avec Xcas, en mode calcul approché, on observe une stabilisation à partir de n=15 environ sur la matrice :

14 Une CS de convergence de T n Une condition suffisante pour que ( T n ) converge : On peut démontrer que, dans le cas des matrices stochastiques, si T (ou une puissance de T) a tous ses coefficients non nuls, alors (T n ) converge vers une matrice stochastique T dont toutes les lignes sont égales entre elles [et égales à un état stable de T (état alors unique)].

15 Convergence de ( L n ) En admettant la convergence de ( T n ) vers une matrice dont toutes les lignes sont égales entre elles : - Par passage à la limite dans L n = L 0. T n, ( L n ) converge vers L. - Par passage à la limite dans L n+1 = L n. T, L est stable pour T (autrement dit, L est un vecteur propre associé à la valeur propre 1 ). - On peut montrer que, dans ce cas, L ne dépend pas de L 0.

16 Convergence de L n

17 Lessence de la démarche

18 Lessence de la démarche Etude asymptotique Rappel : une CS pour que ( T n ) converge. - Avec la CS : pas de zéro (qui exige en particulier que la probabilité de stationner sur un sommet du graphe soit non nulle), on a la convergence vers une matrice aux lignes égales entre elles. - Une condition suffisante moins restrictive : matrice « régulière » : il existe une puissance de T dont tous les coefficients sont non nuls. Et sil ny a pas convergence ? Rôle des états stables.

19 Cas où ( T n ) converge L. T = L signifie que L est vecteur propre de T associé à la valeur propre 1. Si lespace propre est de dim 1, L est lunique vecteur propre stochastique. Pour déterminer L, on cherche donc à résoudre léquation V. T = V, soit V. (T – Id) = 0. Autrement dit, on sintéresse au noyau de la transposée de (T – Id) en gardant en tête que lon cherche des vecteurs stochastiques. Note : le document ressource évoque la diagonalisation éventuelle des matrices dordre 2.

20 Des cas où ( T n ) ne converge pas La condition suffisante de convergence de ( T n ) portant sur labsence de 0 ne se rencontre pas très souvent dans la pratique mais nous allons voir que même labsence de convergence de ( T n ) nempêche pas dexplorer le comportement asymptotique de ( L n ).

21 Des cas où ( T n ) ne converge pas Dans ce cas : - Lexistence dun état stable reste possible, ce qui autorise la convergence occasionnelle de ( L n ), cest-à-dire pour certaines valeurs de L 0. - On peut rencontrer des cas de convergence de suites extraites de ( T n ).

22 Multiples applications de la démarche Les marches aléatoires sur un graphe probabiliste peuvent être déclinées dans une multitude de contextes : Marche aléatoire dans un labyrinthe Surf aléatoire sur un mini-réseau intranet Le problème du collectionneur Le modèle des urnes dEhrenfest …

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24 La situation

25 Les hypothèses Un cochon dinde est lâché dans le labyrinthe. Il se déplace en changeant de compartiment et, pour un déplacement donné, on note n le nombre de franchissements de porte quil a effectué depuis son point de départ. Pour changer de compartiment, on considère que le cobaye choisit sa porte au hasard parmi celles qui lui sont accessibles, indépendamment de son parcours antérieur.

26 Traduction sur un graphe

27 Traduction matricielle De nombreux zéros …

28 Calcul de puissances de T Avec Xcas :

29 Calcul de puissances de T En mode approché pour n grand :

30 Ici ( T n ) ne converge pas, mais … Si on pose : L 0 = ( ) On a : L 0. T = L 0, autrement dit L 0 est stable et la suite ( L n ) constante pour ce L 0. Ici, L 0 est obtenu en cherchant un état tel que la probabilité de présence est proportionnelle au nombre de porte(s) de chaque case.

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32 Un mini réseau intranet Surf aléatoire sur un micro-réseau… de 4 pages. Ranger intuitivement ces 4 pages par ordre décroissant de fréquentation…

33 Graphe probabiliste et matrice de transition associée On pondère les arrêtes orientées en supposant léquiprobabilité de choix des liens présents sur chaque page. On obtient comme matrice de transition :

34 Ici, ( T n ) converge, malgré les 0 En calcul approché avec Xcas, on obtient une stabilisation sur :

35 Recherche de létat limite

36 Interprétation La page 4 est donc plus fréquentée que la page 2 par notre surfeur aléatoire. Ce modèle fournit une quantification possible de la pertinence de chacune des pages web du réseau. (Il est aisé de comprendre que cette pertinence ne peut pas être mesurée par le nombre de liens pointant vers chaque page).

37 Cas du surf « avec saut » Pour pallier la déshérence de la page 1, on va maintenant autoriser notre surfeur aléatoire à interrompre à nimporte quel moment sa navigation précédente pour la reprendre sur une page aléatoirement choisie. (On intercale une épreuve de Bernoulli à chaque étape). Avec saut, on se ramène à létude dune récurrence matricielle du type : U n+1 = U n. A + B

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39 Collection des figurines dune équipe de Volley-Ball Une marque de céréales propose à ses clients de constituer une collection de figurines de léquipe nationale Volley-Ball. La collection complète consiste en 6 figurines à leffigie de chaque titulaire de léquipe. On a mis en place une stratégie pour éviter tout échange de figurines. On souhaite déterminer le nombre dachats moyen de produits à effectuer pour espérer constituer une collection complète.

40 Ici, on cherche une espérance On se ramène à une marche aléatoire sur un graphe probabiliste à 7 états (nombre de figurines différentes déjà obtenues après n achats) du type : La matrice de transition (7 × 7) est triangulaire. On sintéresse ensuite au premier instant où on obtient un nouvelle figurine. On calcule enfin lespérance de compléter la collection.

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42 La situation à n = 0

43 Objectifs de modélisation Le modèle à construire demande de respecter les propriétés suivantes : - la probabilité pour une particule donnée de passer de A à B (ou de B à A) est la même, égale à 1/N. - cette probabilité ne dépend pas du temps. - le comportement dune particule est indépendant de celui des autres particules.

44 Modèle stochastique On considère deux urnes A et B, ainsi que N boules, numérotées de 1 à N. Initialement, toutes les boules se trouvent dans l'urne A. Le processus stochastique associé consiste à répéter de façon indépendante l'opération suivante : Tirer au hasard un numéro i compris entre 1 et N, transférer la boule n°i dans l'urne où elle n'était pas. La VAR observée est X n, effectif de lurne A.

45 Une simulation pour N = 10

46 Un autre résultat pour N = 10

47 Début détude pour N = 3 Graphe probabiliste : les probabilités figurant sur les flèches représentent les probabilités conditionnelles de passage dune valeur de X à une autre (indépendamment de n).

48 Sur un arbre pour N = 3 (avec les probabilités conditionnelles précédentes)

49 Loi de chaque X n pour N = 3 Pour tout n, on note L n létat probabiliste : L n = (P(X n = 0), P(X n = 1), P(X n = 2), P(X n = 3)) On note t ij = P(X n+1 = j | X n = i) indépendante de n. Ces relations se traduisent par : L n+1 = L n. T Où T est la matrice de transition : T = Par récurrence, L n = L 0. T n La suite (L n ) ne dépend que de T et de létat initial L 0

50 Rôle de la parité Ici, (T n ) ne converge pas. Cas N = 2

51 Rôle de la parité Pour N = 2, on a : - pour tout k impair, L k = (0 1 0) - pour tout k pair différent de 0, L k+1 = (0,5 0 0,5) (Deux suites extraites constantes distinctes) Limpact de la parité de k nest pas lié à la parité de N. Dans le cas N = 3, on voyait bien sur larbre que : - P(X k = 0) = P(X k = 2) = 0 pour k pair - P(X k = 1) = P(X k = 3) = 0 pour k impair

52 Cas N = 6 avec le logiciel Xcas Même pour N petit, il nest pas raisonnable deffectuer les calculs à la main dès que n grandit. Aisé : L 0 = ( ) L 1 = ( ) L 2 = ( /6 0 1/6) L 3 = ( / /36 0) Mais pour de plus grandes valeurs de n, Xcas donne : (Xcas fournit les valeurs exactes).

53 Première exploration asymptotique Matrice utile B = T 2 Suite des B k = T 2k L 2k = L 0. B k ; L 2k+1 = L 0. T. B k B = En mode calcul approché, B k semble se stabiliser vers Binf :

54 Première exploration asymptotique On admet que (B n ) converge vers Binf. = L0. Binf = L0. T. Binf B. Binf = B donc Z stable pour B T. Binf est la matrice obtenue en décalant les lignes de Binf ; U est stable pour T. Binf On passe à la limite dans L 2k = L 0. B k et on obtient la convergence de L 2k vers Z. De même L 2k+1 CV vers U.


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