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Émergence du calcul des probabilités (I bis) De lespérance pascalienne à la théorie laplacienne.

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1 Émergence du calcul des probabilités (I bis) De lespérance pascalienne à la théorie laplacienne

2 2 - Les inventeurs Le problème des partis : espérance de Pascal et combinatoire de Fermat Le premier manuel et les 5 premiers exercices Les attentes du Maître de recherches

3 Blaise Pascal

4 Correspondance de Pascal et Fermat de 1654 sur le problème des partis: « Je vois bien que la vérité est la même à Toulouse et à Paris » Pierre Fermat ( )

5 Lettre de Pascal à Fermat, juillet 1654 (Jeu de « pile ou face », le gagnant est celui qui atteint le premier le nombre de parties convenu). « Voici à peu pr è s comme je fais pour savoir la valeur de chacune des parties, quand deux joueurs jouent, par exemple, en trois parties, et chacun a mis 32 pistoles au jeu : Posons que le premier en ait deux et l'autre une ; ils jouent maintenant une partie, dont le sort est tel que, si le premier la gagne, il gagne tout l'argent qui est au jeu, savoir, 64 pistoles ; si l'autre la gagne, ils sont deux parties à deux parties, et par cons é quent, s'ils veulent se s é parer, il faut qu'ils retirent chacun leur mise, savoir, chacun 32 pistoles … … Consid é rez donc, Monsieur, que si le premier gagne, il lui appartient 64 ; s'il perd, il lui appartient 32. Donc s'ils veulent ne point hasarder cette partie et se s é parer sans la jouer, le premier doit dire : « Je suis s û r d'avoir 32 pistoles, car la perte même me les donne ; mais pour les 32 autres, peut-être je les aurai, peut-être vous les aurez ; le hasard est é gal ; partageons donc ces 32 pistoles par la moiti é et me donnez, outre cela, mes 32 qui me sont s û res ». Il aura donc 48 pistoles et l'autre 16. »

6 Lettre de Fermat à Pascal, septembre 1654 « Cette fiction d' é tendre le jeu à un certain nombre de parties, ne sert qu à faciliter la r è gle, et (suivant mon sentiment) à rendre tous les hasards é gaux, ou bien, plus intelligiblement, à r é duire toutes les fractions à une même d é nomination ». Cas de trois joueurs jouant en trois parties gagnantes : « Mais parce que M. Roberval sera peut-être bien aise de voir une solution sans rien feindre, et qu'elle peut quelquefois produire des abr é g é s en beaucoup de cas, la voici en l'exemple propos é : le premier peut gagner, ou en une seule partie, ou en deux, ou en trois. Sil gagne en une seule partie, il faut qu'avec un d é qui a trois faces il rencontre la favorable du coup. Un seul d é produit 3 hasards ; ce joueur a donc pour lui 1/3 des hasards, lorsqu'on ne joue qu'une partie. Si on en joue deux, il peut gagner de deux fa ç ons. Or, deux d é s produisent 9 hasards : ce joueur a donc pour lui 2/9 des hasards lorsqu'on joue deux parties. Si on en joue trois, il ne peut gagner que de deux fa ç ons. Or, trois d é s ont 27 hasards ; donc ce premier joueur a 2/27 de hasards lorsqu'on joue trois parties. La somme des hasards qui font gagner ce premier joueur, est par cons é quent 1/3, 2/9 et 2/27 ce qui fait en tout 17/27 »,

7 Adresse de Pascal À L ILLUSTRE ACAD É MIE PARISIENNE DE MATH É MATIQUES « … Une recherche toute nouvelle et portant sur une mati è re enti è rement inexplor é e, savoir sur les combinaisons du hasard dans les jeux qui lui sont soumis, ce qu on appelle dans notre langue fran ç aise faire les parfis des jeux, o ù l incertitude de la fortune est si bien domin é e par la rigueur du calcul que, de deux joueurs, chacun se voit toujours assign é exactement ce qui lui revient en justice. Il faut le chercher d'autant plus vigoureusement par la raison que les possibilit é s sont moindres d'être renseign é par l'exp é rience. En effet, les r é sultats ambigus du sort sont à juste titre attribu é s plutôt au hasard de la contingence qu' à une n é cessit é de nature. C'est pourquoi la question a err é incertaine jusqu' à ce jour ; mais maintenant, si elle a é t é rebelle à l'exp é rience, elle n'a pu é chapper à l'empire de la raison. Car nous l'avons r é duite en art avec une telle s û ret é, grâce à la g é om é trie, qu'ayant re ç u part à la certitude de celle-ci, elle progresse d é sormais avec audace, et que, par l'union ainsi r é alis é e entre les d é monstrations des math é matiques et l'incertitude du hasard, et par la conciliation entre les contraires apparents, elle peut tirer son nom de part et d'autre et s'arroger à bon droit ce titre é tonnant : G é om é trie du hasard. … » Donn é à Paris, B. Pascal

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9 Antoine Arnauld ( ) dit le Grand Arnauld Exclu de la Sorbonne en 1656 pour ses thèses jansénistes, proche de Pascal, il sest retiré à Port Royal puis sest exilé en Flandres et aux Pays-Bas Avec Pierre Nicole: La logique ou lart de penser (1662)

10 Antoine Arnauld et Pierre Nicole La Logique ou l Art de Penser (1662), chap. XVI « … c'est ce qui attire tant de gens aux loteries : gagner, disent-ils, vingt mille é cus pour un é cu, n'est-ce pas une chose bien avantageuse ? Chacun croit être cet heureux à qui le gros lot arrivera ; et personne ne fait r é flexion que s'il est, par exemple, de vingt mille é cus, il sera peut-être trente mille fois plus probable pour chaque particulier qu'il ne l'obtiendra pas, que non pas qu'il l'obtiendra. Le d é faut de ces raisonnements est que, pour juger de ce que l'on doit faire pour obtenir un bien, ou pour é viter un mal, il ne faut pas seulement consid é rer le bien et le mal en soi, mais aussi la probabilit é qu'il arrive ou n'arrive pas, et regarder g é om é triquement la proportion que toutes ces choses ont ensemble, ce qui peut être é clairci par cet exemple. Il y a des jeux o ù dix personnes mettant chacune un é cu, il n'y en a qu'une qui gagne le tout, et toutes les autres perdent ; ainsi chacun des joueurs n'est au hasard que de perdre un é cu, et peut en gagner neuf … … Ainsi, chacun a pour soi neuf é cus à esp é rer, un é cu à perdre, neuf degr é s de probabilit é de perdre un é cu, et un seul de gagner les neuf é cus ; ce qui met la chose dans une parfaite é galit é. »

11 Christiaan Huygens ( ) Sest intéressé aux jeux de hasard et a suscité une reprise des échanges entre Pascal et Fermat en Publia en 1657: De Ratiociniis in ludo aleae Du calcul dans les jeux de hasard

12 Christiaan Huygens (1657) De Ratiociniis in ludo aleae : du calcul dans les jeux de hasard : « Quoique dans les jeux de hasard pur les r é sultats soient incertains, la chance qu un joueur a de gagner ou de perdre a cependant une valeur d é termin é e ». Huygens d é finit l esp é rance math é matique « Avoir p chances d obtenir a et q chances d obtenir b, les chances é tant é quivalentes, me vaut ».

13 Pour ponctuer son manuel, Huygens propose 5 exercices à la sagacité du lecteur, et donne ses réponses. Exemple : le 5 è me probl è me de Huygens "Ayant pris chacun 12 jetons, A et B jouent avec trois d é s à cette condition qu' à chaque coup de 11 points, A doit donner un jeton à B et que B en doit donner un à A à chaque coup de 14 points, et que celui l à gagnera qui sera le premier en possession de tous les jetons. On trouve dans ce cas que la chance de A est à celle de B comme est à " Le premier nombre est é gal à 5 12 et le second à La probabilit é de 11 est à celle de 14 comme 3 3 est à 15 (rapport du nombre de triplets r é alisant une somme de 11 à celui des triplets r é alisant une somme de 14). Le rapport donn é par Huygens est r = = 8, – 4 Lélève Bernoulli résout les exercices et fait des commentaire qui formeront la première partie de son chef dœuvre: Ars Conjectandi.

14 Gottfried Wilhelm Leibniz ( ) Les nouveaux essais sur l entendement humain,, 1704 : "J'ai dit plus d'une fois qu 'il faudrait une nouvelle esp è ce de logique, qui traiterait des degr é s de probabilit é. Il serait bon que celui qui voudrait traiter cette mati è re poursuiv î t l'examen des jeux de hasard ; et g é n é ralement je souhaiterais qu'un habile math é maticien voul û t faire un ample ouvrage bien circonstanci é et bien raisonn é sur toute sorte de jeux, ce serait de grand usage pour perfectionner l'art d'inventer, l esprit humain paraissant mieux dans les jeux que dans les mati è res plus s é rieuses." Pierre Raymond de Montmort ( ) Essay d analyse sur les jeux de hasard, 1708: « Le sort de Pierre est le rapport de tous les coups qui lui sont favorables au nombre de tous les coups possibles. … Dans une gageure é gale, les mises des deux joueurs doivent avoir le même rapport que les divers degr é s de probabilit é ou d esp é rance que chacun des joueurs a de gagner ».


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