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Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 15 4ème année du Département Génie Électrique.

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1 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 15 4ème année du Département Génie Électrique

2 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 16 Premier état des lieux Deux points importants : la plupart des antennes sont métalliques la grande majorité est de type antennes résonantes Dans un métal, les électrons libres se déplacent par défaut de façon erratique. Quand on crée une différence de potentiel (sinusoïdale par exemple), le champ interne commande alors la répartition de ces charges. Les courants et charges créés sont alors autant de sources élémentaires de champ électromagnétique. Mais selon leur répartition et leurs phases relatives, le champ global délivré par un élément métallique est la somme de toutes les contributions de ces sources élémentaires.

3 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 17 Mécanisme de rayonnement Des charges transitant sur un métal droit à vitesse constante ne produisent pas de rayonnement. +++ Si les charges rencontrent une discontinuité (rupture, courbure...) leur vitesse change, il y a alors rayonnement. +++ pas de rayonnement rayonnement +++ rayonnement Dans une structure en résonance, les charges oscillent en permanence, créant un flux de rayonnement continu.

4 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 18 La ligne bifilaire sur une charge Zr Rappels sur les lignes de transmission : x Ligne bifilaire fermée sur une charge superposition dune onde incidente et dune onde réfléchie ligne sans pertes

5 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 19 La ligne bifilaire ouverte Ligne en circuit ouvert : y Ligne en circuit ouvertphénomène dondes stationnaires C.O.

6 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 20 Ligne en résonance Ligne en circuit ouvertphénomène dondes stationnaires C.O. En pratique, quand les brins sont relativement proches, les courants étant en opposition de phase, le champ global rayonné est pratiquement nul (heureusement dailleurs).

7 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 21 Écartement des brins Lapproximation classique considère que si on écarte les brins de la ligne, la répartition du courant reste la même.

8 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 22 Le dipôle rayonnant On se retrouve alors avec des courants en phase permettant un rayonnement efficace : principe de lantenne dipôle Pb : en pratique, il y a désadaptation. On cherchera alors une antenne résonante présentant une impédance dentrée adaptée à une ligne en onde progressive.

9 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 23 Rappels sur le champ EM Pour létude de phénomènes de propagation des ondes électromagnétiques, un milieu sera définit par : Sa permittivité électrique complexe Sa perméabilité magnétique complexe Sa conductivité (F/m) (S/m)pertes ohmiques Caractéristiques du milieu :

10 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 24 Sources de rayonnement Des courants et des charges présents dans ce milieu sont appelés sources primaires : Densité surfacique de courants Densité volumique de charges Ces sources créent : Des champs électrique et magnétique Dautres courants et charges (A/m²) (Cb/m 3 ) (V/m) (A/m) et phénomènes dinduction

11 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 25 Equations de Maxwell Dans le cas de milieux homogènes et isotropes on obtient les équations suivantes : Les sources peuvent présenter des densités linéiques, surfaciques ou même volumiques.

12 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 26 Domaine de résolution On considère deux domaines distincts de résolution de ces équations : en présence de charges et courants ou hors de toute charge ou courant. La résolution en présence de charges et courants permet de déterminer le champ produit par une répartition linéique, surfacique ou volumique de charges et courants (ce qui conduit au diagramme de rayonnement de lantenne). Le second type de résolution permet de calculer les ondes électromagnétiques propagées en espace libre.

13 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 27 Régime sinusoïdal Toujours dans le cas de milieux homogènes, isotropes en régime harmonique on obtient les équations suivantes : On peut alors résoudre ces équations pour déterminer le champ produit par les charges et courants présents sur un conducteur.

14 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 28 Relation à la surface Le champ électrique est toujours perpendiculaire au conducteur. Le champ magnétique est toujours tangent au conducteur. Le champ électrique est proportionnel aux charges à la surface. Le champ magnétique est proportionnel aux courants à la surface. Interface avec un conducteur parfait 1, 1, 1

15 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 29 Potentiels électromagnétiques Pour évaluer les effets dune source isotrope en un point P de lespace on peut introduire les potentiels vecteur et scalaire : Puisqueon peut écrire o x y z P r Le vecteur A est donc défini à un gradient près, il existe alors une fonction V vérifiant :

16 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 30 Potentiels électromagnétiques En exprimant les équations de Maxwell en fonction des potentiels, on obtient les équations dondes : potentiel scalaire potentiel vecteur La résolution (complexe basée sur les fonctions de Green) donne pour une répartition linéique :

17 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 31 Source élémentaire Le doublet électrique élémentaire est un élément conducteur de taille négligeable dl où lon peut supposer le courant constant sur la longueur (vitesse infinie). +q -q i(t) r P z x r0r0 r1r1 Cest un outil théorique qui permet de déduire le comportement de toute antenne comme la somme de sources élémentaires.

18 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 32 Calcul du champ rayonné Le problème apparaît à symétrie de révolution par rapport à Oz. Le potentiel vecteur na quune composante Az : Champ magnétique à une seule composante On obtient alors :

19 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 33 Calcul du champ électrique On peut déduire par la suite le champ électrique produit : Champ électrique à deux composantes et On se retrouve donc finalement avec 3 composantes de champ rayonné. Suivant la distance du point dobservation P par rapport à la source, on va faire des approximations différentes pour simplifier les expressions.

20 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 34 Approximations en fonction de r Les termes en 1/r représentent le champ rayonné (prédominant quand r grand), les termes en 1/r 2 donnent les champs induits et les termes en 1/r 3 le champ électrostatique.

21 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 35 Les zones de rayonnement

22 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 36 Les zones de rayonnement

23 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 37 Rayonnement du doublet Approximation en champ lointain : dans le vide i(t)

24 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 38 Propagation champ lointain En revenant aux équations dans le cas de milieux homogènes, isotropes et ne contenant pas les sources primaires, en régime harmonique on obtient les équations suivantes : Rq : Dans ce cas, on constate que les équations en E et H sont presque symétriques, la seule différence étant labsence de charges et courants magnétiques. On peut alors introduire des sources magnétiques fictives pour symétriser ces équations. La solution du problème électrique donne alors celle du problème magnétique et inversement.

25 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 39 Equations de propagation Les équations de propagation pour les champs et (exprimés en valeurs instantanées complexes) sécrivent sous la forme suivante : Elles deviennent dans le cas où la propagation se fait selon la direction Oz : et Le rapport représente la vitesse de propagation de londe. Sachant que généralement on considère que (sauf milieux ionisés et magnétiques) on écrit :

26 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 40 Solutions En régime sinusoïdal, ces équations admettent des solutions de la forme : et avec : (paramètre de phase de londe) Le rapport des modules de et exprime limpédance donde du milieu considéré (en W) : cest une quantité réelle. Valeur dans lair : 377 ohms On a alors la relation fondamentale :

27 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 41 Onde sphérique - onde plane Une source ponctuelle (charge Q) produit le rayonnement dune onde sphérique. En effet la résolution des équations de potentiels dans le cas dune source ponctuelle est à symétrie de révolution sphérique, et donne pour solution : En champ lointain, cela donne : La surface donde est une sphère centrée sur la source

28 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 42 Approximation donde plane Sens de propagation front donde E H l Les solutions des équations de Maxwell sont nombreuses (dépendant des conditions initiales). Toutes peuvent sexprimer comme la somme dondes planes.

29 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 43 Puissance transportée Quand la condition de champ lointain est respectée, la surface donde peut être assimilée à un front donde plane. La puissance transportée par londe est traduite par le vecteur de Poynting : x y z E

30 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 44 Polarisation de londe On sait quen champ lointain E et H sont perpendiculaires entre eux et perpendiculaires à la direction de propagation. Par contre, suivant le type de source utilisé, lorientation de ces vecteurs dans le plan donde peut varier. En se basant sur les variations de lorientation du champ E au cours du temps, on définit la polarisation de londe. En repère sphérique, le champ E dune onde plane est décrit par ses composantes : avecet

31 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 45 Polarisation rectiligne Première hypothèse : les composantes vibrent en phase Plusieurs possibilités : polarisation horizontale, verticale ou oblique animation

32 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 46 i(t) Polarisation rectiligne verticale Exemple dun doublet

33 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 47 i(t) Polarisation rectiligne horizontale

34 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 48 i(t) Polarisation rectiligne oblique Exemple de 2 doublets en phase

35 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 49 Polarisation circulaire Deuxième hypothèse : les composantes vibrent en quadrature de phase et leurs modules sont égaux

36 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 50 i(t) Polarisation circulaire par dé-synchronisation

37 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 51 3 modes de polarisation –polarisation rectiligne verticale, horizontale (plan H ou E) –polarisation circulaire droite ou gauche –polarisation elliptique droite ou gauche Polarisation elliptique animations

38 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 52 Les grands théorèmes Pour létude du fonctionnement des antennes, quatre grands théorèmes fondamentaux sont à connaître : le théorème de réciprocité de Lorentz le théorème de Huygens-Fresnel la théorie des images le principe de Babinet

39 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 53 Réciprocité de Lorentz Si on considère deux distributions de courants I1 et I2 qui sont à lorigine de champs E1 et E2, on montre daprès les équations de Maxwell : les systèmes rayonnants sont réciproques (attention seulement dans le cadre des antennes passives). PfPr PfPr

40 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 54 Principe de Huyghens-Fresnel Principe permettant de calculer le rayonnement à linfini de nimporte quel type de source sources surface arbitraire champs nuls sources superficielles équivalentes (électriques et magnétiques)

41 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 55 Application radar Principe permettant de calculer le rayonnement à linfini de nimporte quel type de source cible Le champ reçu en P est la somme du champ que lon recevrait sans obstacle (connu) et du champ diffracté par lobstacle. On peut alors à linverse calculer la surface constituée de sources fournissant un tel champ. onde plane point dobservation

42 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 56 Théorème des images Au niveau dun point dobservation, le champ créé par une source +q placée au-dessus dun plan réflecteur parfait de dimensions infini est équivalent au champ créé par lassociation de cette charge avec son image par symétrie par rapport au plan de charge –q. +q P x P x -q

43 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 57 Images en courant Le même principe sapplique pour les sources de courants. Limage sera formée de la symétrie de la répartition de courant de signe opposé (opposition de phase). P x P x II I à la base de très nombreuses applications en antennes

44 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 58 Principe de Babinet Le théorème de Babinet reprend laspect symétrique des équations de Maxwell. E H cas 1 cas 2 Le champ total du cas 1 va être égal au champ diffracté du cas 2 et inversement.

45 Guillaume VILLEMAUD – Cours dAntennes 59 Application aux antennes Toute fente pratiquée dans un plan de masse de grande dimension aura le même comportement en rayonnement que lantenne métallique complémentaire à ceci près que les champs E et H sont inversés. E H


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