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MASTER 1 Reconstruction tomographique Patrick Bourguet Rennes Support de cours adapté dIrène Buvat octobre 2003 Traitement et analyse.

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1 MASTER 1 Reconstruction tomographique Patrick Bourguet Rennes Support de cours adapté dIrène Buvat octobre 2003 Traitement et analyse dimages

2 Plan du cours A- Introduction - Problème de reconstruction tomographique - Tomographie en transmission - Tomographie en émission - Spécificité du problème de reconstruction tomographique B- Notions de base - Projection - Transformée de Radon - Sinogramme - Rétroprojection C- Méthodes de reconstruction analytique - Principe - Théorème de la coupe centrale - Rétroprojection filtrée - Filtres D- Méthodes de reconstruction itérative - Principe - Opérateur de projection R - Méthodes ART - Méthodes SIRT - Méthodes de descente - Méthodes statistiques - Caractéristiques des méthodes itératives - Régularisation - Interprétation probabiliste E- Discussion - Reconstruction analytique ou itérative ? - Historique - Quelle méthode pour quelle application ?

3 RX Découvrir lintérieur…

4 Tomographie axiale X

5 A - Introduction : la reconstruction tomographique projections 2D sous différentes incidences angulaires coupes dorientation quelconque : imagerie 3D sagittaletransversecoronale Reconstruction tomographique Reconstruction tomographique = problème inverse : estimer la distribution 3D à partir des projections 2D mesurées

6 Introduction : tomographie de transmission scanner X (tomodensitométrie) SPECTPET Source (X ou ) externe au patient Mesures : projection du rayonnement ayant traversé le patient intégrale des coefficients datténuation Objet à reconstruire : cartographie 3D des coefficients datténuation du milieu traversé X N0N0 N0N0 N0N0 NNN ln (l) dl N0N0 N 0 d N = N 0 exp(- (l) dl) 0 d

7 Source ou + interne au patient Mesures idéales (sans atténuation) : intégrale de lactivité le long des raies de projections Objet à reconstruire : cartographie 3D de la distribution dactivité n dans lorganisme Introduction : tomographie démission x y z * * * détecteur SPECT PET * * N = n(l) dl 0 d

8 Factorisation du problème de reconstruction Un ensemble de projections 2D reconstruction dun objet 3D Un ensemble de projections 1D reconstruction dun objet 2D (coupe z i ) ensemble de coupes z i = volume dintérêt détecteur en position une projection volume 3D étudié x z x y z détecteur en position une ligne de projection coupe axiale z i x z N(x,z) N(x) x

9 Reconstruction : non unicité de la solution Pas de solution unique : toujours plusieurs objets compatibles avec un ensemble fini de projections Unicité de la solution pour une infinité de projections seulement 1 projection : plusieurs solutions possibles direction de projection 2 projections : plusieurs solutions possibles directions de projection

10 Reconstruction : problème inverse mal posé Pas de solution du fait du bruit entachant les données Non unicité de la solution du fait du manque dinformations (nombre de projections fini) typiquement, 64 ou 128 projections << Instabilité de la solution : petite différence sur les projections peut provoquer des écarts importants sur les coupes reconstruites projection idéaleprojection bruitée

11 B - Notions de base !

12 Opération de projection u projection x y u = x cos + y sin v = -x sin + y cos v p(u, ) = f(x,y) dv f(x,y) u

13 Transformée de Radon p(u, ) = f(x,y) dv ensemble des projections pour = [0, ] = transformée de Radon de f(x,y) R[f(x,y)] = p(u, ) d 0 f(x,y) domaine spatialespace de Radon p(u, ) Problème de reconstruction tomographique : inverser la transformée de Radon, i.e., estimer f(x,y) à partir de p(u, )

14 C - Méthodes de reconstruction analytique Inversion analytique de la transformée de Radon Expression continue du problème de reconstruction tomographique Méthode la plus courante : rétroprojection filtrée FBP : Filtered Back Projection Méthodes rapides Méthodes disponibles sur tous les dispositifs dacquisition commercialisés (scanner X, SPECT, PET) R[f(x,y)] = p(u, ) d 0

15 Opération de rétro-projection « simple » x y v u rétroprojection f*(x,y) = p(u, ) d u = x cos + y sin v = -x sin + y cos f(x,y) Attention : la rétroprojection simple nest pas linverse de la transformée de Radon u

16 Limites de la rétro-projection simple rétroprojection simple artefacts dépandage en étoile u f*(x,y) = p(u, ) d image originale nombre de projections La rétroprojection ninverse pas la transformée de Radon

17 Rétro-projection filtrée : principe rétroprojection simple u f*(x,y) = p(u, ) d rétroprojection filtrée réduction des artefacts inversion de la transformée de Radon u f*(x,y) = p(u, ) d projection filtrée

18 Théorème de la coupe centrale (TCC) x = cos y = sin du.dv = dx.dy p(u, ) = f(x,y) dv transformée de Fourier (TF) P(, ) = p(u, )e -i2 u du x y v P(, ) = f(x,y)e -i2 u du dv = f(x,y)e -i2 (x x y y ) dx dy TF monodimensionnelle dune projection par rapport à u = TF bidimensionnelle de la distribution à reconstruire changement de variable : (u,v) (x,y) u = x cos + y sin v = -x sin + y cos u

19 Rétro-projection filtrée P(, ) = F( x, y ) f(x,y) = F( x, y )e i2 (x x y y ) d x d y = P(, )e i2 (x x y y ) d x d y = P(, ) | |e i2 u d d = p(u, ) d avec p(u, ) = P(, ) | |e i2 u d TF -1 TCC changement de variable : ( x, y ) (, ) x = cos y = sin x 2 + y 2 ) 1/2 d x.d y =.d.d u = x cos + y sin objet f(x,y) à reconstruire = rétroprojection des projections filtrées projections filtréesfiltre rampe

20 Algorithme de rétro-projection filtrée p(u, ) f(x,y) projectionsimages reconstruites f(x,y) = p(u, ) d avec p(u, ) = P(, ) | |e i2 u d transformée de Fourier Transformée de Fourier inverse P(, ) filtrage rétroprojection p(u, )| | P(, )

21 Insuffisance du filtre rampe filtre rampe 0 0, / si c = w( ) = 0,5.(1+cos / c )si < c = 0 si c filtre rampe f(x,y) = p(u, ) d avec p(u, ) = P(, ) | |e i2 u d | | |w( ) fenêtre dapodisation | w( )| |w( ) ,8 1 0 fenêtre dapodisation de Hann filtre de Hann résultant Exemple : domaine fréquentiel domaine spatial

22 Filtres classiques : filtre de Hann Filtre rampe meilleure résolution spatiale mais forte amplification du bruit haute fréquence Filtre de Hann modifie les moyennes fréquences w( ) = 0,5.(1+cos / c )si < c = 0 si c fréquence de coupure c 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 plus faible est la fréquence de coupure, moins on préserve les détails haute fréquence, i.e., plus fort est le lissage

23 Filtres classiques : filtre de Hamming Filtre rampe Filtre de Hamming fréquence de coupure c 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 plus faible est la fréquence de coupure, moins on préserve les détails haute fréquence, i.e., plus fort est le lissage w( ) = 0,54+0,46(cos / c )si < c = 0 si c

24 Filtres classiques : filtre gaussien Filtre rampe Filtre gaussien (domaine spatial) FWHM = 2 2ln2 (pixel) plus grande est la dispersion du filtre gaussien (FWHM ou ), moins on préserve les détails haute fréquence, i.e., plus fort est le lissage c(x) = (1/ exp[-(x-x 0 ) 2 /2 2 ] si < c = 0 si c

25 Filtres classiques : filtre de Butterworth Filtre rampe Filtre de Butterworth ordre n, c =0, plus faible est lordre moins on préserve les détails haute fréquence, i.e., plus fort est le lissage w( ) = 1/[1+( / c ) 2n ]si < c = 0 si c 2 paramètres : fréquence de coupure c et ordre n

26 Implantation du filtrage Multiplication du filtre rampe par une fenêtre dapodisation filtrage 1D (direction x) Filtrage des projections puis reconstruction avec un filtre rampe filtrage 2D (directions x,z) Reconstruction avec un filtre rampe puis filtrage 2D des coupes reconstruites filtrage 2D (directions x,y) Reconstruction avec un filtre rampe puis filtrage 3D du volume reconstruit filtrage 3D (directions x,y,z) | | |w( ) coupe z i x z y

27 D - Méthodes de reconstruction itératives Expression discrète et matricielle du problème de reconstruction tomographique Problème de reconstruction : système déquations de grande taille 128 projections 128 x équations à autant dinconnues Inversion itérative du système déquations r 11 r 14 r 41 r 44 p1p2p3p4p1p2p3p4 f1f2f3f4f1f2f3f4 =

28 Expression discrète du problème de reconstruction p 1 = r 11 f 1 + r 12 f 2 + r 13 f 3 + r 14 f 4 p 2 = r 21 f 1 + r 22 f 2 + r 23 f 3 + r 24 f 4 p 3 = r 31 f 1 + r 32 f 2 + r 33 f 3 + r 34 f 4 p 4 = r 41 f 1 + r 42 f 2 + r 43 f 3 + r 44 f 4 p = R f pipi projection fkfk f1f1 f2f2 f3f3 f4f4 p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 r 11 r 14 r 41 r 44 p1p2p3p4p1p2p3p4 f1f2f3f4f1f2f3f4 = projections acquises objet à reconstruire opérateur de projection Problème : déterminer f connaissant p et R

29 Expression de lopérateur de projection R pipi projection fkfk Modélisation géométrique - choix dun modèle de distribution de lintensité des pixels - modélisation de la géométrie de détection Modélisation de la physique de détection * atténuation * diffusion * résolution limitée du détecteur p = R f

30 Modélisation géométrique de lopérateur R Modèle de distribution de lintensité des pixels : détermination de la contribution de chaque pixel i à une raie de projection k Modèle de la géométrie de détection modèle exact = modèle uniforme modèle de Dirac modèle de longueur de raies modèle du disque concave l parallèleen éventail bins de projection

31 Modélisation physique de lopérateur R Atténuation Diffusion Réponse du détecteur sans modélisation de la diffusion : p 1 = r 11 f 1 + r 13 f 3 avec modélisation de la diffusion : p 1 = r 11 f 1 + r 12 f 2 + r 13 f 3 + r 14 f 4 f1f1 f2f2 f3f3 f4f4 p1p1 p2p2 f1f1 f2f2 f3f3 f4f4 p1p1 p2p2 p3p3 p4p4 p 1 = r 11 f 1 exp(- 1 d 1 ) +r 13 f 3 exp(- 3 d 3 ) carte des f1f1 f2f2 f3f3 f4f4 p1p1 p2p2 sans modélisation de la fonction de réponse de la caméra : p 1 = r 11 f 1 + r 13 f 3 avec modélisation : p 1 = r 11 f 1 + r 12 f 2 + r 13 f 3 + r 14 f 4

32 Opérateurs de projection R et de rétroprojection pipi projection fkfk pipi rétroprojection fkfk f1f1 f2f2 f3f3 f4f4 p1p1 p2p2 p 1 = f 1 + f 3 p 2 = f 2 + f 4 p 3 = f 1 + f 2 p 4 = f 3 + f 4 f 1 = p 1 + p 3 f 2 = p 2 + p 3 f 3 = p 1 + p 4 f 4 = p 2 + p 4 = R p3p3 p4p = RtRt

33 Résolution du problème inverse f n=0 vs pf n+1 p = R f facteur de correction c n comparaison définit la méthode itérative : additive : f n+1 = f n + c n multiplicative : f n+1 = f n. c n p = R f pnpn ^ pnpn ^ estimée initiale de lobjet à reconstruire projection correspondant à l estimée f n Recherche dune solution f minimisant une distance d(p,Rf), p et R étant connus

34 Exemple Deux pixels et deux raies de projection système de deux équations à deux inconnues f1f1 f2f2 p1p1 p2p2 p 1 = 7/8 f 1 + 1/8 f 2 = 85/8 p 2 = 1/8 f 1 + 7/8 f 2 = 115/8 7/8 1/8 1/8 7/8 = R f 1 = 10 f 2 = 15 Opérateur de projection (connu) Valeurs de projection mesurées Inconnues à déterminer : f 1 et f 2

35 Approche ART (Algebric Reconstruction Technique) Utilisation dune seule équation de raie par itération, et mise à jour de chaque inconnue à partir de cette équation : itération 1 : estimation de f 1 à partir de léquation 1 slmt estimation de f 2 à partir de léquation 1 slmt itération 2 : estimation de f 1 à partir de léquation 2 slmt estimation de f 2 à partir de léquation 2 slmt itération 3 : estimation de f 1 à partir de léquation 1 slmt estimation de f 2 à partir de léquation 1 slmt etc… Modification à chaque itération proportionnelle à lerreur par rapport à la projection vraie ART additive (erreur = p k - p k n ) ou ART multiplicative (erreur = p k / p k n ) p 1 = 7/8 f 1 + 1/8 f 2 = 85/8(équation 1) p 2 = 1/8 f 1 + 7/8 f 2 = 115/8(équation 2)

36 ART additive Repose sur la méthode de Kaczmarz f i n+1 = f i n + (p k - p k n ) r ki / j r kj 2 Exemple (initialisation f 1 0 = f 2 0 = 0 p 1 0 = p 2 0 = 0 ) : itération n=1, raie k=1, estimation de f 1 et f 2 : f 1 1 = 0 + (85/8-0).(7/8)/(49/64+1/64) = 119/10 = 11,9 f 2 1 = 0 + (85/8-0).(1/8)/(49/64+1/64) = 17/10 = 1,7 p 2 1 = 119/40 = 3,0 itération n=2, raie k=2, estimation de f 1 et f 2 : f 1 2 = 11,9 + (115/8-119/40).(1/8)/(49/64+1/64) = 13,7 f 2 2 = 1,7 + (115/8-119/40).(7/8)/(49/64+1/64) = 14,5 p 1 1 = 13,8 itération12345 f 1 11,9 13,7 10,1 10,3 10,0 f 2 1,7 14,5 13,9 14,9 14,9 A chaque itération, mise à jour successive de toutes les inconnues (ici f 1 et f 2 ) à partir de léquation correspondant à une seule raie de projection p 1 = 7/8 f 1 + 1/8 f 2 = 85/8 = 10,6 p 2 = 1/8 f 1 + 7/8 f 2 = 115/8 = 14,4 écart entre valeurs du bin de projection estimée et observée contribution du pixel i à la raie de projection k

37 Approche SIRT (Simult. Iterative Reconst° Tech.) SIRT : Simultaneous Iterative Reconstruction Technique Utilisation de toutes les équations à chaque itération et mise à jour de chaque inconnue : itération 1 : estimation de f 1 en résolvant léquation 1 estimation de f 2 en résolvant léquation 2 itération 2 : estimation de f 1 en résolvant léquation 1 estimation de f 2 en résolvant léquation 2 itération 3 : estimation de f 1 en résolvant léquation 1 estimation de f 2 en résolvant léquation 2 etc… Modification à chaque itération proportionnelle à lerreur par rapport à la projection vraie Méthode de Jacobi Méthode de Gauss-Seidel Nombre ditérations réduit par rapport aux méthodes ART p 1 = 7/8 f 1 + 1/8 f 2 = 85/8(équation 1) p 2 = 1/8 f 1 + 7/8 f 2 = 115/8(équation 2)

38 SIRT : méthode de Jacobi f i n+1 = f i n + (p k - p k n ) / r ii Exemple (initialisation f 1 0 = f 2 0 = 0 p 1 0 = p 2 0 = 0 ) : itération n=1 : estimation de f 1 en résolvant léquation 1 f 1 1 = (85/8)/(7/8) = 85/7 = 12,1 estimation de f 2 en résolvant léquation 2 f 2 1 = (115/8)/(7/8) = 115/7 = 16,4 itération n=2 : estimation de f 1 en résolvant léquation 1 f 1 2 = [85/8-(1/8)*(115/7)]/(7/8) = 9,8 estimation de f 2 en résolvant léquation 2 f 2 2 = [115/8-(1/8)*(85/7)]/(7/8) = 14,7 itération123 f 1 12,1 9,8 10,0 f 2 16,4 14,7 15,0 p 1 = 7/8 f 1 + 1/8 f 2 = 85/8 = 10,6 p 2 = 1/8 f 1 + 7/8 f 2 = 115/8 = 14,4 écart entre valeurs du bin de projection estimée et observée contribution du pixel i à la raie de projection i

39 SIRT : méthode de Gauss-Seidel Identique à la méthode de Jacobi mais en tirant immédiatement parti des estimations obtenues aux itérations précédentes f i n+1 = f i n + (p k - p k n ou (n+1) ) / r ii Exemple (initialisation f 1 0 = f 2 0 = 0 p 1 0 = p 2 0 = 0 ) : itération n=1 : estimation de f 1 en résolvant léquation 1 f 1 1 = (85/8-0)/(7/8) = 85/7 = 12,1 estimation de f 2 en résolvant léquation 2 avec f 1 1 =85/7 f 2 1 = [115/8-(1/8)*(85/7)]/(7/8) = 14,7 itération n=2 : estimation de f 1 en résolvant léquation 1 avec f 2 1 =14,7 f 1 2 = (85/8-14,7/8)/(7/8) = 10,0 estimation de f 2 en résolvant léquation 2 avec f 1 2 =10,0 f 2 2 = (115/8-10,0/8)/(7/8) = 15,0 itération 1 2 f 1 12,1 10,0 f 2 14,7 15,0 p 1 = 7/8 f 1 + 1/8 f 2 = 85/8 = 10,6 p 2 = 1/8 f 1 + 7/8 f 2 = 115/8 = 14,4 estimé à partir de toutes les valeurs courantes des f i convergence plus rapide que Jacobi

40 Méthodes de descente Méthodes ART et SIRT : f i n+1 = f i n + (erreur n ) Méthodes de descente : f i n+1 = f i n + n (erreur n ) modification du coefficient de pondération à chaque itération Méthode du gradient : Iterative Least Squared Technique (ILST) Méthode du gradient conjugué : meilleure méthode de descente e.g., p k - p k n coefficient de pondération constant coefficient de pondération optimisé

41 Adaptée à la résolution dun système déquations dont la matrice est symétrique : p = R f R t p = R t R f Formule de mise à jour : f i n+1 = f i n + n d n Vitesse de descente optimisée à chaque itération : n = ||R t p - R t R f n || 2 / (R t p - R t R f n ) t R (R t p - R t R f n ) Direction de descente optimisée à chaque itération : itération 1 : d 1 = R t p - R t R f 0 itération n : d n = (R t p - R t R f n ) + b n d n-1 optimisation de la convergence convergence rapide méthode additive utilisée en SPECT matrice symétrique Méthodes de descente : gradient conjugué coefficient de pondération optimisé à chaque itération (vitesse de descente) direction de descente optimisée à chaque itération

42 Méthode statistique : MLEM MLEM = Max. Likelihood Expectation Maximization Utilise une formulation probabiliste du problème de reconstruction : - modèle probabiliste : Les p k sont des variables aléatoires de Poisson de paramètres p k, doù lexpression de la vraisemblance de f : prob(p|f) = exp(- p k ). p k / p k ! - détermine la solution f qui maximise la vraisemblance (ou log-vraisemblance), i.e., prob(p|f) par rapport au modèle probabiliste choisi. pkpk k

43 Deux étapes : - calcul de lespérance de la log-vraisemblance compte tenu des projections p k mesurées et de lestimation courante des f i. - maximisation de lespérance en annulant les dérivées partielles par rapport à f i. Formule de mise à jour : f i n+1 = f i n. [ r ki (p k / p k n )] / r ki f n+1 = f n. R t [ p / p n ] * méthode multiplicative * solution toujours positive ou nulle * nombre dévénements conservé au fil des itérations * convergence lente * méthode itérative la plus utilisée en SPECT (dans sa version accélérée OSEM) Algorithme MLEM opérateur de rétroprojection erreur kk

44 OSEM = Ordered Subset Expectation Maximisation Tri des P projections en sous-ensembles ordonnés Exemple : Application de MLEM sur les sous-ensembles : - itération 1 : estimation de f 1 à partir de linitialisation f 0 et des projections p 1 correspondant au sous-ensemble 1 f 1 = f 0. R t [ p / p 1 ] estimation de f 1 à partir de f 1 et des projections p 1 correspondant au sous-ensemble 2 f 1 = f 1. R t [ p / p 1 ] - itération 2 : estimation de f 2 à partir de f 1 et des projections p 2 correspondant au sous-ensemble 1 f 2 = f 1. R t [ p / p 2 ] estimation de f 2 à partir de f 2 et des projections p 2 correspondant au sous-ensemble 2 f 2 = f 2. R t [ p / p 2 ] etc. Version accélérée de MLEM : OSEM 8 projections2 sous-ensembles de 4 projections

45 OSEM avec S sous-ensembles et I iterations SI itérations de MLEM Facteur daccélération ~ nombre de sous-ensembles méthode itérative la plus utilisée en SPECT Caractéristiques de OSEM MLEM itér. OSEM itér. 4 ss-ens. OSEM ss-ens.

46 Plus élevé est le nombre ditérations, meilleure est la restitution des hautes fréquences Problème du choix du nombre ditérations - convergence vers la solution puis divergence de la procédure lors de la reconstruction des très hautes fréquences du fait de la présence de bruit (haute fréquence) nécessité de régulariser Caractéristiques des méthodes itératives OSEM ss-ens. gradient conjugué

47 Régularisation implicite : arrêt précoce des itérations Régularisation explicite : introduction dun a priori sur la solution : - solution non régularisée : minimisation de d(p,Rf) - solution régularisée : minimisation de d 1 (p,Rf) + d 2 (f,f a ) solution compromis entre la fidélité aux mesures et la priori Exemples da priori régularisants : - distribution de f connue (Poisson, Gauss) - image lisse - image présentant des discontinuités Importance de la régularisation a priori régularisant

48 Effet de la régularisation image idéale sans régularisation avec régularisation itérations : sans régularisation avec régularisation

49 Interprétation probabiliste Problème de reconstruction : Chercher f la plus probable compte tenu des projections p observées Interprétation probabiliste : Maximiser prob(f|p) : probabilité avoir limage f quand les projections valent p Théorème de Bayes : prob(f|p) = prob(p|f). prob(f) / prob(p) projections connues prob(p) = 1 pas dhypothèse a priori sur f prob(f) = 1 alors : prob(f|p) = prob(p|f) maximiser prob(f|p) = maximiser la vraisemblance prob(p|f) = minimiser lécart entre projections calculées et observées probabilité de mesurer les projections p pour une image f = vraisemblance des projections p probabilité a priori de limage f probabilité a priori des projections p

50 Algorithmes associés à linterprétation probabiliste maximiser prob(f|p) = maximiser la vraisemblance prob(p|f) = minimiser l écart entre projections calculées et observées p k ~ loi de Poisson algorithme MLEM p k ~ loi de Gauss algorithme gradient conjugué Régularisation prob(f|p) = prob(p|f). prob(f) méthodes MAP (maximum a posteriori) versions régularisées : MLEM MAP-EM Gradient Conjugué (GC) MAP-GC probabilité a priori de limage f 1 probabilité a posteriori de limage f

51 Algorithmes itératifs par rapport à rétroprojection filtrée (FBP) * réduction des artefacts de raies * temps de calculs accrus * possible compensation des phénomènes parasites via une modélisation adéquate dans le projecteur R (diffusion, atténuation, fonction de réponse du détecteur) * possible modélisation des caractéristiques statistiques des données E - Reconstruction analytique ou itérative ? Tomographie de transmission TEP rétroprojection filtréealgorithme ML Tomographie démission TEP FBP OSEM

52 Quelle méthode pour quelle application ? Scanner X * rétroprojection filtrée car excellent rapport signal-sur- bruit Tomographie démission monophotonique routine clinique : rétroprojection filtrée de plus en plus fréquemment : algorithmes itératifs, en particulier OSEM, du fait de : - la réduction des artefacts de raies - les plus grandes possibilités en terme de quantification - le traitement plus efficace de données présentant une faible statistique ( moins dévénements quen scanner X) - laugmentation de la puissance des calculateurs qui rend la mise en œuvre dalgorithmes itératifs compatible avec une utilisation clinique Tomographie démission de positons désormais algorithmes itératifs du fait de : - la possibilité de traiter totalement la nature 3D de la reconstruction sans factorisation et dexploiter au mieux les nouveaux dispositifs dacquisition - laugmentation de la puissance des calculateurs Scanner X Tomographie démission monophotonique Tomographie démission de positons

53 Pour en savoir plus... Analytic and iterative reconstruction algorithms in SPECT. Journal of Nuclear Medicine 2002, 43: Tomographie démission: reconstruction-corrections. Revue de lACOMEN, juillet 1998, vol 4, n°2 Avec nos remerciements à Irène BUVAT


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