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Coloration gap sommet identifiante de graphes 12 èmes journée Journées Graphes et Algorithmes (JGA10), Marseille France. Mohammed Amin Tahraoui Eric Duchêne.

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1 Coloration gap sommet identifiante de graphes 12 èmes journée Journées Graphes et Algorithmes (JGA10), Marseille France. Mohammed Amin Tahraoui Eric Duchêne Hamamache Kheddouci Université de Lyon 1

2 Plan Coloration de graphe Coloration arêtes Étiquetage des sommets Coloration sommet identifiante Définition Variantes du problème Coloration Gap sommet-identifiante Formalisation Résultats Perspectives 2

3 Colorations de graphe Coloration arêtes Affecter à toutes les arêtes de graphe G=(V,E) une couleur de telle sorte que deux arêtes adjacentes naient jamais la même couleur. c :E {0,1,…,k-1} (G) : Le nombre minimum de couleurs à utiliser pour obtenir une coloration arête. Théorème de Vizings : Δ (G) Δ (G) =

4 Colorations de graphe Etiquetage des sommets Sommet-identifiante (Vertex-distinguishing ) Létiquetage des sommets est appelé sommet-identifiant si chaque sommet de G est déterminé uniquement par son étiquette. Sommet adjacent -identifiante (Adjacent vertex-distinguishing ) Létiquetage des sommets est appelé sommet adjacent-identifiant si deux sommets adjacents ne portent pas la même couleur. Une coloration des arêtes peut induire une coloration sommet- identifiante ou une coloration sommet adjacent -identifiante Coloration Sommet-Identifiante (Vertex-Distinguishing Edge Colorings) 4

5 Coloration sommet-identifiante Définition Irregular weighting (Chartrand et al,86) Coloration des arêtes qui permette de distinguer via une fonction de codage c propre impropre Tous Les sommets Sommets adjacents Somme Union set Union multi-set vertex-distinguishing edge-colorings (Burris & Schelp, 97) {1,2} {2,4} {1,4} {1,5} {1,2,3} {1,3} {3,5}

6 Coloration sommet-identifiante Variantes de problème PropreimpropreTous Les sommets Sommets adjacents SumSetMulti-setReference Irregular weighting xxx Chartrand et al,86 vertex- colouring edge- weighting xxx Karonski et al, 04 VD-coloring xxx Burris & Schelp, 97 Adjacent strong edge coloring xxx Zhang et al,02 point distinguishing edge-coloring xxx Harary & Pltholtan, 85 detectable coloring xxx Chartrand et al,06 vertex- colouring edge- partition xxx Addario-Berry et al 04 General neighbour- distinguishing xxx Ervin et al, 05 Coloration arête Identifiante Fonction de codage

7 Coloration Gap sommet-identifiante Définition via une fonction de codage c. Somme Union set Union multi-set 7 Gap Coloration des arêtes qui permette de distinguer proper Non proper Tous Les sommets Sommets adjacents

8 Coloration Gap sommet-identifiante Formalisation Définition 1 Soit un graphe G=(V, E) Soit f : E {1,……k} Pour chaque sommet v de G : Définition 1 Soit un graphe G=(V, E) Soit f : E {1,……k} Pour chaque sommet v de G : Max Min Nombre chromatique gap (G): Le plus petit k tel que G admette une coloration Gap-sommet-identifiante Max f(e) v e - Min f(e) v e si d(v)>1 f(e) si d(v)=1 c(v)=

9 Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Bornes inférieures Théorème 1 Soit G un graphe de n sommets tel que G ne contient aucune composante isomorphe à K 1 ou K 2 gap(G) n si (i) δ(G) 2 ou (ii) Tout sommet de degré au moins égale à 2 possède au moins deux sommets adjacents de degré 1 gap (G) n 1 Sinon Théorème 1 Soit G un graphe de n sommets tel que G ne contient aucune composante isomorphe à K 1 ou K 2 gap(G) n si (i) δ(G) 2 ou (ii) Tout sommet de degré au moins égale à 2 possède au moins deux sommets adjacents de degré 1 gap (G) n 1 Sinon

10 Bornes supérieures Conjecture: Pour tout graph connexe G dordre n>2 gap(G) n+1 Conjecture: Pour tout graph connexe G dordre n>2 gap(G) n+1 Nous avons prouvé cette conjecture Larges ensembles de graphes de degré minimum δ (G) 2. Classes spéciales de graphes de degré minimum δ (G) =1: 1. Chaines. 2. Arbres ayant au moins deux feuilles à une distance égale à Arbre binaire complet. Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

11 Graphe de degré minimum δ (G) 2 Théorème 2 (Résultat principal) Pour tout graphe k-arête-connexe dordre n tel que k 2, gap(G) = n, si G nest pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4) (a) gap(G) = n+1 sinon (b) Théorème 2 (Résultat principal) Pour tout graphe k-arête-connexe dordre n tel que k 2, gap(G) = n, si G nest pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4) (a) gap(G) = n+1 sinon (b) Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

12 Théorème 3 : gap(C n ) = n, si n=0, 1(mod 4) (a) gap(C n ) = n+1 si n=2, 3(mod 4) (b) Théorème 3 : gap(C n ) = n, si n=0, 1(mod 4) (a) gap(C n ) = n+1 si n=2, 3(mod 4) (b) Cycle Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

13 Coloration Gap sommet-identifiante (a) : gap(C n ) = n Si n=0, 1(mod 4) gap(C n ) n gap(C n ) n ? ? ? Case (a).1 : n mod 4 =0 n/2 i mod 4=2 f(e i ) = (i+1)/2 i impaire n i mod 4=0 c(v i ) = n-(i+1)/2 i mod 4=1 (n-i)/2 i mod 4=2 (n –i-1)/2 i mod 4=3 n-(i/2) i mod 4=0 f(e1)=

14 gapC n ) n ? Case a.2 : n mod 4 =1 n-1 i mod 4=2 f(e i ) = i i paire n i mod 4=0 f(e 1 )= gap(C n ) =n c(v i ) = n-1 i mod 4=2 n-i+1 i mod 4=0 n –i-1 i mod 4=3 n-i i mod 4=1 Coloration Gap sommet-identifiante (a) : gap(C n ) = n Si n=0, 1(mod 4)

15 gap(C n ) > n ? ? ? Chaque terme f(e i ) apparaît deux fois avec le même signe (ou par deux signes différents) Contradiction !!!!(n (n-1)/2 est impaire Si n=2, 3(mod 4) ) gap(C n ) > n Coloration Gap sommet-identifiante (b) : gap(C n ) = n+1 Si n=2, 3(mod 4)

16 o gap(C n ) n+1 o gap(C n ) n+1 ? ? ? Case (b).1 : n mod 4 =3 n+1 mod 4= 0 (gap(C n+1 ) = n+1) C n+1 doit contenir deux bords successifs de mêmes couleurs gap(C n ) = n Coloration Gap sommet-identifiante (b) : gap(C n ) = n+1 Si n=2, 3(mod 4) 4

17 gap(C n ) n+1 ? Case (b).2 : n mod 4 =2 f(e n )= f(e n-1 )=2, f(e n-2 )=3 et 1 i mod 4=2 Pour 1 i n-3, f(e i ) = n+2-i i paire 2 i mod 4=0 f(e 1 )= gap(C n ) =n+1 Coloration Gap sommet-identifiante (a) : gap(C n ) = n+1 Si n=2, 3(mod 4) 3

18 Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Coloration arête équilibrée Définition 2 Pour chaque sommet v de G=(V, E): Soit un intervalle I(v)=[Min f(e) v e, Max f(e) v e ] Une coloration arête f de G est une coloration équilibrée si seulement si : Pour toute pair u,v de V : I(u) I(v) Ø Définition 2 Pour chaque sommet v de G=(V, E): Soit un intervalle I(v)=[Min f(e) v e, Max f(e) v e ] Une coloration arête f de G est une coloration équilibrée si seulement si : Pour toute pair u,v de V : I(u) I(v) Ø I(v 1 )=[1,6] v1v v2v2 v3v3 v4v4 I(v 1 ) I(v 2 ) I(v 3 ) I(v 4 ) ={5}

19 Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Théorème 4 : Soit G un graphe avec δ(G) 2. 1.S'il existe un sous-graphe couvrant H de G tel que δ(H) 2 2.Sil existe une coloration arête équilibrée de H tel que gap(H) k. gap(G) k. Théorème 4 : Soit G un graphe avec δ(G) 2. 1.S'il existe un sous-graphe couvrant H de G tel que δ(H) 2 2.Sil existe une coloration arête équilibrée de H tel que gap(H) k. gap(G) k. Preuve gap(H) k. Pour toute (u,v) de V: c(u)c(v) et f : coloration équilibrée : x I(u) I(v) Pour toute (u,v) E(G)/E(H), f(e)=x, gap(G) k I(v 1 ) I(v 2 ) I(v 3 ) I(v 4 ) ={2} 2

20 Théorème 5 Pour tout graphe 2-arête-connexe G dordre n tel que G nest pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4), nous avons gap(G) = n Théorème 5 Pour tout graphe 2-arête-connexe G dordre n tel que G nest pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4), nous avons gap(G) = n Idée de preuve Proposer une coloration arête équilibrée dun sous-graphe couvrant G de G. Algorithme Polynomial Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

21 Notations Au cours de l'algorithme: Soit Sc lensemble courant des sommets codés. Initialement Sc= Ø. Un sommet v est inséré dans Sc si et seulement si il est incident à au moins deux arêtes colorées (e 1,e 2 ). On fixe c(v) à |f(e 1 )-f(e 2 )|. Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

22 1 8 7 Sc N(Sc) P(u) v u Notations Une fonction N(Sc) retourne l'ensemble des sommets voisins de Sc et non encore inclus dans lensemble Sc. Pour chaque sommet u de N(Sc), soit la fonction P(u) qui renvoie une chaine entre deux sommets de Sc qui passe forcément par le sommet u. Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

23 Algorithme Input: un graphe 2-arête-connexe G = (V, E) d'ordre n, différent d'un cycle de longueur 1, 2 ou 3 (mod 4). Output: une coloration gap sommet-identifiante de G avec n couleurs. Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

24 Etape 1: Prendre un sous-graphe H de G tel que H est isomorphe à : Cycle de longueur multiple de 4. Deux cycles distincts ayant au moins un sommet commun. Observation Par hypothése, si G est différent d'un cycle de longueur multiple de 4, Alors Δ(G) 3, le sous-graphe H peut être toujours obtenu à partir de G. Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

25 Etape 2: Coloration de sous-graphe H (10 fonctions de coloration) Par exemple : H est un cycle de longueur multiple de 4 Sc=V(H) 1 i mod 4=2 f(e i ) = n-i+1 i impaire 2 i mod 4= Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Principe 1.Pour tout sommet v de H : 2 I(v) 2.Pour toute paire de sommets (u,v) de H, c(u)c(v)

26 Etape 3: Choisir un sommet u N(Sc), Soit une chaine R=P(u) dordre k Quatre fonctions sont proposées pour la la coloration arête de R selon la valeur k mod 4=0,1,2,3. Sc= Sc U V(R) Si |Sc|<|V| u Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Principe 1.Pour tout sommet v de Sc : 2 I(v) 2.Pour toute paire de sommets (u,v) de Sc, c(u)c(v)

27 Etape 3: Choisir un sommet u N(Sc), Soit une chaine R=P(u) dordre k Quatre fonctions sont proposées pour la la coloration arête de R selon la valeur k mod 4=0,1,2,3. Sc= Sc U V(R) u Principe 1.Pour tout sommet v de Sc : 2 I(v) 2.Pour toute paire de sommets (u,v) de Sc, c(u)c(v) Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

28 Etape 4: Pour chaque sommet v de G : 2 I(v) Pour toute paire de sommets (u,v) de G, c(u)c(v) Pour chaque arête non-colorée: f(e) =2 Fin de lalgorithme gap(G)=n Coloration Gap sommet-identifiante Résultats

29 Corollaire 6 Pour tout graphe k-arête-connexe dordre n tel que k>2, nous avons gap(G)=n Corollaire 6 Pour tout graphe k-arête-connexe dordre n tel que k>2, nous avons gap(G)=n Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Pour tout entier k>2, tout graphe k-arête-connexe contient un sous- graphe 2-arête connexe couvrant G différent d'un cycle. Selon lalgorithme précédent, G admet une coloration Gap sommet identifiante équilibrée

30 Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Nous pouvons maintenant conclure que le résultat du Théorème 2 est une conséquence directe du Théorème 3 et le Corollaire 6. Théorème 2 (Résultat principal) Pour tout graphe k-arête-connexe dordre n tel que k 2, gap(G) = n, si G nest pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4) (a) gap(G) = n+1 sinon (b) Théorème 2 (Résultat principal) Pour tout graphe k-arête-connexe dordre n tel que k 2, gap(G) = n, si G nest pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4) (a) gap(G) = n+1 sinon (b)

31 Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Graphe de degré minimum δ (G) = 1 Théorème 7 : gap(P n ) = n, si n=2, 3(mod 4) (a) gap(P n ) = n-1 si n=0, 1(mod 4) (b) Théorème 7 : gap(P n ) = n, si n=2, 3(mod 4) (a) gap(P n ) = n-1 si n=0, 1(mod 4) (b)

32 Coloration Gap sommet-identifiante Résultats Théorème 8 Pour tout arbre binaire complet BT dordre n > 3, nous avons gap(BT) = n 1. Théorème 8 Pour tout arbre binaire complet BT dordre n > 3, nous avons gap(BT) = n 1. Théorème 9 Soit T un arbre de n sommets tel que T a au moins deux feuilles à une distance égale à 2, nous avons gap(T) n. Théorème 9 Soit T un arbre de n sommets tel que T a au moins deux feuilles à une distance égale à 2, nous avons gap(T) n. Graphe de degré minimum δ (G) = 1

33 Coloration Gap sommet-identifiante Perspective Conjecture 2 (Graphe de degré minimum δ (G) 2) Pour tout graphe G dordre n avec un degré minimum δ (G) 2, gap(G) = n, si G nest pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4) (a) gap(G) = n+1 sinon (b) Conjecture 2 (Graphe de degré minimum δ (G) 2) Pour tout graphe G dordre n avec un degré minimum δ (G) 2, gap(G) = n, si G nest pas un cycle de longueur =2, 3(mod 4) (a) gap(G) = n+1 sinon (b) Conjecture 3 (Arbre ) Pour tout arbre T dordre n 3, gap(T) = n, si la condition (ii) du Théorème 1 est remplie (a) gap(T) = n-1 sinon (b) Conjecture 3 (Arbre ) Pour tout arbre T dordre n 3, gap(T) = n, si la condition (ii) du Théorème 1 est remplie (a) gap(T) = n-1 sinon (b)

34 34 Merci pour votre attention


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