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Un siècle autour du théorème de Morley Commission Inter-Irem Epistémologie - 11 mars 2006 « Ce faisant, je najouterai aucun résultat positif à ceux déjà.

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1 Un siècle autour du théorème de Morley Commission Inter-Irem Epistémologie - 11 mars 2006 « Ce faisant, je najouterai aucun résultat positif à ceux déjà connus ; peut-être cependant les réflexions qui suivent intéresseront-elles ceux qui ne se contentent pas de collectionner les faits mathématiques mais aiment à les retourner en tous sens pour les mieux comprendre… » Henri Lebesgue

2 Frank MORLEY ( ) A B C P Q R

3

4 A B C C A B

5 A B C D

6 A B C C A B

7 A B C C A B

8 A B C C A B

9 A B C C A B

10 A B C C A B

11 A B C C A B

12 A B C C A B

13 A B C C A B

14 A B C P Q R

15 1. Approches géométriques 2. La découverte de Morley 3. Géométrie et « calculs »…

16 A B C P Q R

17 Un peu de Synthèse…

18 A B C P Q R

19 A B C P Q R P

20 A B C P P 3 3

21 A B C Q 3 3 Q

22 Un peu dAnalyse…

23 A B C P Q R

24 P P

25 P P

26 P Q R P Q R

27 P Q R P Q R A B C

28 P Q R P A B C

29 P Q R P A B C

30 P A B C

31 P A B C

32

33 P Q R P Q R A B C les segments rouges font toujours des angles de π/3 SI le résultat est vrai, alors les segments rouges sont concourants… SI le résultat est vrai, alors les angles des triangles isocèles valent …

34 Raoul Bricard (1922)

35 P Q R

36 P Q R A B C

37 P Q R A B C ? ? ? ? ? ?

38 P Q R A B C

39 P Q R B C

40 P B C P

41 P B C P

42 v + w)/2 U V W I

43 W V U ?

44 W V U

45 W V I U

46 Q R A B C P

47 Q R A B C P

48 Q R A B C P

49 P Q R A B C

50 John Horton Conway (1995)

51 P Q R A B C

52 A B C

53

54

55

56

57 Démonstration directe …

58 A B C P Q R P Q R π/3 les droites PP, QQ et RR font entre elles des angles de π/3 SI LA CONCLUSION EST VRAIE, alors les droites PP, QQ et RR sont concourantes.

59 P Q R P Q R A B C 1°) supposons que les segments rouges (qui font toujours des angles de π/3) soient concourants …

60 A B C P Q R 2°) il reste à prouver que les segments rouges sont concourants …

61 A B C P Q R P Q R

62 A B C C A B

63 A B C P Q R A B C C A B

64 A B C P Q R

65 A B C P Q R

66 A B C P Q R

67 A B C P Q R

68 A B C P Q R P Q R

69 A B C P Q R P Q R

70 P Q R P Q R

71 1. Approches géométriques 2. La découverte de Morley 3. Géométrie et « calculs »…

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85 1 u u 2 z = (u 2 + 2u) / 3 z + u 3 z – (u 2 + u) / 3 = 0 z + z + = 0 ] – 3 + 2

86 O N M

87 O N M

88 O u v w 1 u 3 u 2 + u 1 v 3 v 2 + v 1 uvw 0 1 u 3 u 2 + u 1 v 3 v 2 + v 1 w 3 w 2 + w

89 … / …

90 A B C

91 A B C

92 A B C

93 A B C

94 A B C

95

96 A B C

97 A B C

98 A B C

99 A B C

100 A B C Triangle fixe Triangle mobile Semblable à lui-même Lieu géométrique du centre ?

101 A B C

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105

106

107

108 O N M

109

110 Pourquoi 60° ?…

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113 O

114 … / …

115 1. Approches géométriques 2. La découverte de Morley 3. Géométrie et « calculs »…

116 Le calcul dAlain Connes B C P Q R A V(2 ) U(2 ) W(2 )

117 B C P Q R A U(2 ) ° U(2 ) ° U(2 )

118 B C P Q R A V(2 ) ° V(2 ) ° V(2 ) U(2 ) ° U(2 ) ° U(2 ) W(2 ) ° W(2 ) ° W(2 ) W 3 ° V 3 ° U 3 = Identité

119 B C P Q R A V(2 ) ° U(2 )

120 B C P Q R A W(2 ) ° V(2 ) V(2 ) ° U(2 ) U(2 ) ° W(2 ) 4 1 centre P centre R centre Q

121 si W 3 ° V 3 ° U 3 = Identité alors les centres de V ° U, W ° V et U ° W forment un triangle équilatéral B C P Q R A

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123 B C P Q R A

124 A B C P Q R P Q R

125 P Q R P Q R

126 B C P Q R A V(2 ) U(2 ) W(2 ) U : z u.z + a.(1 – u) U 3 : z u 3.z + a.(1 – u 3 ) V ° U : z vu.z + r.(1 – vu)

127 Q : z u.z + q.(1 – u) P : z u.z + p.(1 – u) avec u 3 = 1 P ° Q : z u 2.z + (uq + p)(1 – u) Q 2 1 P 3 4 P ° Q : z v.z + r.(1 – v) si Q 3 = Id et P 3 = Id alors, si P ° Q a un point fixe, (P ° Q) 3 = Id v = u 2, donc v 3 = 1 uq + p = r.(1 + u), …

128 […] Au lieu de faire appel aux aires visuelles du cerveau [lalgèbre] fait appel aux aires du langage. Dun côté, vous avez un résultat géométrique qui est simple à appréhender, de lautre côté vous avez un résultat algébrique qui fait appel à des manipulations élémentaires. « On peut en donner une démonstration géométrique simple qui consiste à partir dun triangle équilatère PQR et à reconstruire un triangle quelconque ABC, mais cette démonstration reste artificielle. » « Ce résultat géométrique se perçoit directement par les aires visuelles du cerveau et même si lon nen connaît pas la démonstration, on peut en comprendre lénoncé de manière directe grâce à la richesse de la perception visuelle. » B C P Q R A

129 « Nous ne pouvons pas nous contenter de formules simplement juxtaposées et qui ne saccorderaient que par un hasard heureux ; il faut que ces formules arrivent pour ainsi dire à se pénétrer mutuellement. Lesprit ne sera satisfait que quand il croira apercevoir la raison de cet accord, au point davoir lillusion quil aurait pu le prévoir. » Henri Poincaré (1905) … / …

130 [Au début du XIXème siècle, la géométrie analytique] se renouvelait […] par une révolution en quelque sorte inverse de la réforme cartésienne. Mais une méthode purement mécanique, qui ne demande à lesprit dinvention aucun effort, ne peut être réellement féconde. Une nouvelle réforme était donc nécessaire : Poncelet et Chasles en furent les initiateurs. Grâce à eux, ce nest plus ni à un hasard heureux, ni à une longue patience que nous devons demander la solution dun problème, mais à une connaissance approfondie des faits mathématiques et de leurs rapports intimes. Les longs calculs dautrefois sont devenus inutiles, car on peut le plus souvent en prévoir le résultat. Avant Descartes, le hasard seul, ou le génie, permettait de résoudre une question géométrique ; après Descartes, on a pour arriver au résultat des règles infaillibles ; pour être géomètre, il suffit dêtre patient.

131 Les théorèmes de Miquel et le théorème de Clifford

132 1er Théorème de Miquel (1838)

133

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135 Démonstrations…

136 Démonstration synthétique…

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140 La démonstration de Clifford (1870)

141 I J F

142 2ème Théorème de Miquel (1838)

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150 La démonstration de Clifford (1870) I J F

151 I J F

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153 Cas de 6 droites (Clifford 1870)

154 Le théorème de « de Longchamps »

155 Miquel

156 de Longchamps (1877)

157

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159 Programme de Leibniz (1679) : « Il nous faut encore une autre analyse géométrique ou linéaire, qui nous exprime directement situm comme lalgèbre exprime magnitudinem. […] » « Lalgèbre nest autre chose que la caractéristique des nombres indéterminés, ou des grandeurs. Mais elle nexprime pas directement la situation, les angles et le mouvement. Doù vient quil est souvent difficile denfermer dans le calcul les conditions de la figure et quil est encore plus difficile de trouver des démonstrations et des constructions géométriques assez commodes, alors même que le calcul dalgèbre est tout fait. »

160 « Faire comprendre un résultat, cest essentiellement lintégrer dans un tout cohérent dont certaines parties sont déjà bien familières. » Henri Lebesgue (1939)

161 … / …

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