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Modeles non-lineaires Changements de Regime Modelisation.

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1 Modeles non-lineaires Changements de Regime Modelisation

2 Probleme Les marches financiers peuvent se trouver dans des regimes differents: –Bull and bear markets –Volatilite forte ou faible –Changement dans les correlations Probleme de definition dun regime Spurious Regimes Modelisation et test Exemple: Contagion Financiere

3 Modelisation Modele lineaire pour chaque regime Les parametres varient entre regime 1 et 2 Specifier les processus de changment de regime –Les regimes sont caracterises par variables observables: SETAR, STAR –Regimes non observables: Modele de Markov

4 SETAR Self-Exciting Threshold AutoRegressive Model Flexibilite: skewness, kurtosis,multi-modalite pour y

5 STAR Smooth Threshold AutoRegressive Model Transition graduelle entre plusieurs regimes

6 Markov-Switching Model Regime non observe: Markov: Le regime en t est uniquement fonction du regime en t-1 Transition: Probabilites inconditionelles:

7 Estimation Estimer: Phi, sigma, matrice de transition et estimation des probabilites a chaque periode Les probabilites de transition sont fixes La probabilites des regime varient par periode Algorithme EM (Hamilton 1994) Methode de maximisation de la fonction de log-vraisemblance Complique, recursif Details dans Kim et Nelson (1999) State Space Models with Regime Switching

8 Illustration

9 Danger Spurious Regime: Detection dun changement de regime meme lorsquil ny en a pas eu Correlation Breakdown: Les correlations sont plus fortes en periode de baisse de marches (bear markets) Implication: Les gains de diversification sont exageres si lon ne prend pas en compte le fait que les correlations augmentent en periode de crise Longin et Solnik (2001) Journal of Finance Ang et Chen (2002): les asymetries sont plus marquees pour les petites firmes, value stocks, et les perdants Forbes et Rigobon (1999)

10

11 U shape Boyer, Gibson, Loretan (1997)

12 Volatilite Ensemble des mois tels que le ratio de la variance mensuelle de x est superieure a la variance totale

13 Exceedance Correlations Longin et Solnik (2001)Ang et Chen (2002)

14 A Retenir Dangereux de detecter des changements de regime uniquement sur la base dune partition des rendements realises Necessaire davoir une idee de la distribution sous jacente des rendements pour tester si le changement observe > ce que lon attend

15 Methodes de Simulation Bootstrap, Jacknife

16 Introduction Econometrie: Un seul echantillon historique Impossible de repeter des donnees en construisant des experiences (physique) Efron (1979): considerer lechantillon observe comme population Re-echantilloner lechantillon

17 The Central Limit Theorem

18 Illustration CLT Choisir une distribution de probabilite Choisir nombre de groupes N Choisir R echantillons Histogramme des moyennes et ecarts type

19 Exemple Matlab n=[3,10,100]; mea=[]; for ni=1:1:3; si=n(ni); rn=[]; for z=1:1:500; rn=[rn,chi2rnd(2,si,1)]; end mea=[mea;mean(rn)]; end for z=1:1:3; subplot(3,1,z); hist(mea(z,:),40); axis( [min(mea(1,:)) max(mea(1,:)) 0 50] ) end Boucle sur N Boucle sur R

20 Application Distribution:chi-deux[2] Somme au carre de deux variables N(0,1) Z=X1 2 +X2 2 Vraie moyenne = 2, Varie variance = 4 Groupes:3, 10, 100 Echantillons:R = 500

21 Moyenne N=3 N=10 N=100

22 Variance N=3 N=10 N=100

23 N=3 N=10 N=100

24 Bootstrap – Efron (1979) Baron de Munchhausen: Pulling oneself up by ones bootstraps Approche non-parametrique dinference statistique Utiliser simulations plutot que des hypotheses sur la distribution sous-jacente Objctifs: Estimer les ecarts type, intervalle de confiance et formuler tests sur une distribution

25 Avantages Large applicabilite Gain de precision Cout informatique reduit

26 Objectifs

27 Procedure Standard 1. Population=echantillon 2. Tirer des echantillons aleatoires avec remplacement: taille m

28 Suite 3. Pour chaque pseudo-echantillon, calculer la statistique dinteret 4. Utiliser la distribution empirique de la statistique T pour examiner les caracteristiques de la distribution

29 Exemple Taux de rendement CAN/USD dpuis 1986 Quel est lecart type? Std(Returns)*sqrt(48)=4.43% Obtenir intervalle de confiance?

30 Matlab retu=diff(log(cana)); stat_boot=[]; boot=5000; nb=size(retu,1); Lo=5/100; Up=95/100; for b=1:1:boot; R = UNIDRND(nb,nb,1); boot_sample=retu(R,1); stat_boot=[stat_boot; std(boot_sample)*sqrt(48)]; end hist(stat_boot,40); sam_sort=sort(stat_boot); ind_conf=ceil([Lo; Up]*boot); Conf_int=sam_sort(ind_conf);

31 Histogramme Ecart Type des Rendements AnnualisesIntervalle de Confiance std(5%)=4.22% std(95%)=4.64%

32 Block Bootstrap Si dependence dans le temps entre observations Tirer des echantillons individuels avec remplacement detruit la structure temporelle Solution: Block Bootstrap de Kunsch Tirer des echantillons de taille k {1,2,3}, {6,7,8}, {3,4,5}

33 Sieve Bootstrap Si le modele statistique sous-jacent est connu: X=ARMA(p,q) Estimer le modele pour obtenir residus Re-echantilloner les residus Generer pseudo-donnees X* recursivement Re-estimer le modele

34 Simulation AR(1) % % Generer une serie AR(1) n=500; y(1,1)=0; for i=2:1:n; y(i,1)= *y(i-1,1)+normrnd(0,1); end plot(y); % % Premiere etape: Estimation du coefficient xx=[ones(500,1), lag(y)]; y_reg=ols(y,xx); prt(y_reg); Reg_prem=y_reg.beta; % Coefficient Reg_resid=y_reg.resid; % Residus Simulation de la serie Estimation sur lechantillon entier

35 Simulation AR(1) % Simulations nboot=1000; ar_coff=[]; for nb=1:1:nboot; nb new_samp=y(1,1); R=unidrnd(n,n,1); resid_resamp=Reg_resid(R,1); for ii=2:1:n; new_samp(ii)=Reg_prem(1)+Reg_prem(2)*new_samp(ii-1)+resid_resamp(ii,1); end; new_samp1=new_samp'; xx1=[ones(500,1), lag(new_samp1)]; boot_reg=ols(new_samp1,xx1); Boot_coeff=boot_reg.beta; % Coefficient ar_coff=[ar_coff; Boot_coeff(2)]; end Boucle Bootstrap Pseudo-echantillon

36 Resultats Coefficient AR(1) Moyenne=0.655 Ecart Type= Coefficient Observe 0.66

37 Stationary Bootstrap Les donnees re-echantillonnees ne sont pas stationaires Solution: Politis et Romano (1994): Stationary bootstrap Block bootstrap avec des blocs de taille aleatoire Donnees resultantes sont stationaires

38 Probleme 4 Quelle taille? La taille de lechantillon doit augmenter avec n pour rendre lestimation fiable Hall (1995)

39 Cas Pratique Modelisation ECM de AUD/EUR 200 observations seulement

40 Exemple - Suite Objectifs: Comparer performance du modele ECM avec modele monetaires Meese et Rogoff (1983): Les modeles monetaires narrivent pas a battre le modele Random Walk Statistique dinteret Mesure de predictabilite relative

41 Application

42 Predictabilite des Taux de Change

43 Intervalles de Confiance Distribution Normale Deciles Exemple –Intervalle a 95% : trier les donnees par ordre croissant –Bas = x statistiques bootstrapees –Haut = x statistiques bootstrapees

44 Variations Modele de Regression Lineaire: Statistique dinteret beta1 1) Premiere Regression pour obtenir residus 2A) BOOTSTRAP NON-PARAMETRIQUE Re-Echantilloner les residus –Fixer les X, Y*=Y+U** est la nouvelle variable dependente –Regresser Y* et X –Sauver le coefficient 2B) BOOTSTRAP PARAMETRIQUE Tirage de U** a partir de la distribution Normale –Meme procedure

45 Autres Methodes Jackknife (take one out) S={X1,X2,...Xn} Tirer un echantillon de taille n-1 S(i)=S-{X i } Estimer Calculer


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