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1 Courbes de Bézier. 2 Définition dune courbe de Bézier Soient P i (x i, y i, z i ), i = 0, 1, 2,..., N, P(u) ( x(u), y(u), z(u)) (p x (u), p y (u), p.

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1 1 Courbes de Bézier

2 2 Définition dune courbe de Bézier Soient P i (x i, y i, z i ), i = 0, 1, 2,..., N, P(u) ( x(u), y(u), z(u)) (p x (u), p y (u), p z (u))u [0,1] oùp x (u) = i=0,1,2,..., N f i,N (u) x i p y (u) = i=0,1,2,..., N f i,N (u) y i p z (u) = i=0,1,2,..., N f i,N (u) z i P représente une courbe de Bézier de degré N dans l'espace à 3 dimensions. Pour déterminer les fonctions f i,N (u), Bézier a exigé les propriétés suivantes : (1)La courbe de Bézier doit passer par P 0 et P N pour contrôler parfaitement la position des deux extrémités de la courbe. (2)La tangente à la courbe en P 0 est définie par P 1 - P 0 et la tangente à la courbe en P N est définie par P N – P N-1 pour contrôler la tangente aux deux extrémités.

3 3 f i,N (u) = N u i (1-u) N-i est une distribution binomiale de paramètre u et N. i (3)La propriété précédente peut être généralisée à des dérivées dordre plus élevé.Ex. : la dérivée dordre 2 à P 0 est définie par P 0, P 1 et P 2. En général, la dérivée dordre r à P 0 est définie par {P i, i = 0, 1, 2,..., r}. Nous obtenons un résultat semblable pour lautre extrémité P N. (4)Les fonctions f i,N (u), i = 0, 1, 2,..., N sont symétriques par rapport à u et 1 – u cest-à-dire,f i,N (u) = f N-i,N (1 - u). Cela signifie que nous pouvons inverser la suite de points de contrôle définissant la courbe sans changer la forme de celle-ci. Cela modifie seulement le sens de parcours dans lespace paramétrique u [0,1]. Bézier a choisi la famille de fonctions suivantes :

4 4 P 0 P 1 P2P3P2P3 N = 3 P(u) = (1 – u) 3 P 0 + 3u (1 – u) 2 P 1 + 3u 2 (1 – u) P 2 + u 3 P 3.

5 5 Propriétés des courbes de Bézier Quelques propriétés des courbes de Bézier dans l'espace à 3 dimensions : 1)P(0) = P 0 P(1) = P N 2) i=0,1,2,..., N f i,N (u) = 1 pour tout u [0,1] P(u) conv(P 0, P 1, P 2,...,P N )pour tout u [0,1] 3)P'(u) à u = 0 = N (P 1 - P 0 ) le segment est tangent à la courbe en P 0. P'(u) à u = 1 = N (P N - P N-1 ) le segment est tangent à la courbe en P N.

6 6 Propriétés des courbes de Bézier 4)Une transformation affine T aux points de la courbe revient à appliquer T aux points de contrôle de celle-ci. i=0,1,2,..., N f i,N (u) (T P i ) T i=0,1,2,..., N f i,N (u) P i Cette propriété nest pas satisfaite pour des transformations en perspective. 5)Ne permet pas des modifications locales à la courbe. 6)P(u) est un polynôme en u de degré N. 7)Le poids de P i est :N u i (1-u) N-i i le poids maximum de P i est telle que f' i,N (u) = 0 i.e. u = i/N.

7 7 Propriétés des courbes de Bézier 8) En augmentant la multiplicité d'un point, le poids associé à ce point est augmenté. P i = P i+1 =>f i,N (u) + f i+1,N (u) = f i,N (u) (1 + (N-i)u/[(i+1)(1-u)]) > 0

8 8 Propriétés des courbes de Bézier 9)Augmentation du degré de la courbe But : obtenir une plus grande flexibilité i.e. un plus grand potentiel de modélisation. Soient V 0, V 1, V 2,..., V N les points de contrôle d'une courbe de degré N, alors P 0 = V 0 P i = [i / (N+1)] V i-1 + [1 - i / (N+1)]V i, i = 1, 2,..., N etP N+1 = V N sont les points de contrôle de la même courbe (mais de degré N + 1).

9 9 Propriétés des courbes de Bézier Courbe de Bézier fermée P 4 P 3 Une courbe de Bézier de degré N est fermée lorsque les premier et dernier points de contrôle coïncident. Celle-ci est continue dordre 1 si P 0, P 1, P N-1 et P N = P 0 sont colinéaires. P 1 P 2 (a)P 0 = P 5 (b) 10)

10 10 Propriétés des courbes de Bézier Calcul du vecteur tangent à une courbe de Bézier 11) du SoientC 0,N (u) :une courbe de Bézier de degré N avec comme points de contrôle P 0, P 1, P 2,...,P N, C 0,N-1 (u) : une courbe de Bézier de degré N-1 avec comme points de contrôle P 0, P 1, P 2,...,P N-1, C 1,N (u) :une courbe de Bézier de degré N-1 avec comme points de contrôle P 1, P 2,...,P N, alors d C 0,N (u) = N {C 1,N (u) - C 0,N-1 (u)},u [0,1].

11 11 Propriétés des courbes de Bézier 12)Courbes de Bézier par morceaux. L'objectif est de permettre un contrôle local sur la courbe. Continuité d'ordre 0:V 3 = V' 0 Continuité d'ordre 1:V 2, V 3 = V' 0 et V' 1 sont colinéaires, |V 3 - V 2 | = |V' 1 - V' 0 |.

12 12 Propriétés des courbes de Bézier 13)Représentation dune courbe de Bézier de degré N à partir de 2 courbes de Bézier de degré N - 1 Soit la notation suivante: P jk (u)= polynôme de Bézier où P j, P j+1,..., P k sont les points de contrôle = i=0,1,2,..., k-j f i,N (u) P i où P i = P i+j nous avons le résultat récursif suivant : P 0,N (u) = (1 - u) P 0,N-1 (u) + u P 1,N (u)où P 0,0 P 0,..., P N,N P N. Le calcul dun point de la courbe de Bézier de degré N nous amène à construire larbre récursif suivant :

13 13 Propriétés des courbes de Bézier Les sommets P 0,i, i = 0, 1, …, N représentent les points de contrôle du tronçon de courbe entre u = 0 et u = u tandis que les sommets P N-i,N, i = 0, 1, …, N représentent les points de contrôle du tronçon de courbe entre u = u et u = 1.

14 14 Construction de de Casteljau 1- t t t t t t t

15 15 Propriétés des courbes de Bézier 14)Subdivision d'une courbe de Bézier en 2 courbes de Bézier. Pour déterminer les points de contrôle dun morceau dune courbe de Bézier de degré N, lapproche la plus simple est dutiliser le résultat énoncé à la propriété 13 des courbes de Bézier et la procédure qui en découle. Les 2 nouveaux polygones de contrôle sont plus près de la courbe que le polygone de contrôle initial.

16 16 Génération dune courbe de Bézier Il existe plusieurs méthodes pour visualiser une courbe de Bézier. i=0,1,2,..., N f i,N (u) P i, u = 0, u, 2 u,..., 1. La précision dépend de la valeur de u. Cela peut exiger le calcul (coût important) d'un grand nombre de points. APPROCHE A Il s'agit d'approximer cette courbe par une suite d'arêtes consécutives dont les sommets sont :

17 17 Génération dune courbe de Bézier On peut remarquer que cette approche n'est pas une méthode approximative car, les 2 nouvelles courbes de Bézier de degré d sont une représentation exacte de la courbe originale. Toutefois, la méthode approximative A est souvent utilisée lorsque le critère de précision est satisfait pour un segment de courbe. Plusieurs critères de précision peuvent être envisagés; ils cherchent souvent à évaluer la proximité du segment de courbe de Bézier avec le polygone de contrôle associé. APPROCHE B - Subdiviser une courbe de Bézier de degré d en 2 courbes de Bézier de degré d. - Répéter le processus sur chaque segment de courbe jusqu'à ce qu'un critère de précision soit satisfait.

18 18 Génération dune courbe de Bézier Soit la notation suivante: P jk (u)= polynôme de Bézier où P j, P j+1,..., P k sont les points de contrôle = i=0,1,2,..., k-j f i,N (u) P i où P i = P j + i Théorème 1. P 0,N (u) = (1 - u) P 0,N-1 (u) + u P 1,N (u)où P 0,0 P 0,..., P N,N P N. APPROCHE C

19 19 Génération dune courbe de Bézier Algorithme C FOR u := 0 TO 1 BY u DO FOR I := 0 TO N DO R i := P i ; M := N; WHILE M > 0 DO FOR I := 0 TO (M-1) DO Q i := R i + u (R i+1 - R i ); M := M - 1; FOR I := 0 TO M DO R i := Q i ; Afficher le point P 0,N (u) de la courbe, i.e. R 0. La complexité de l'algorithme est O(N 2 / u).

20 20 Génération dune courbe de Bézier APPROCHE D P(u) i=0,1,2,..., N C i,N u i (1-u) N-i P i (1 - u) N i=0,1,2,..., N C i,N [u / 1-u] i P i (1 - u) N {P 0 + u/(1-u)[ i=1,2,..., N C i,N [u / 1-u] i-1 P i ]} (1 - u) N {P 0 + u/(1-u)[C 1,N P 1 + u/(1-u) i=2, 3,..., N C i,N [u / 1-u] i-2 P i ]}... supposons connus (1 - u) N, u / (1 - u), pour tout i, P(u) (1 - u) N {P 0 + u/(1-u){C 1,N P 1 + u/(1-u){C 2,N P C N-3,N P N-3 + u/(1-u){C N-2,N P N-2 + u/(1-u){C N-1,N P N-1 + u/(1-u)P N }}....}.

21 21 Génération dune courbe de Bézier Algorithme D : Calcul de P(u). FOR u := 0 TO 0.5 BY u DO Q 0 := P N ; FOR I := 1 TO N DO Q i := [u/(1-u)] Q i-1 + N P N-i ; N - i P(u) := (1 - u) N Q N.

22 22 Cas particulier dune courbe de Bézier de degré 3 P(u) = (1 – u) 3 P 0 + 3u (1 – u) 2 P 1 + 3u 2 (1 – u) P 2 + u 3 P 3. P'(u) à u = 0 = 3 (P 1 - P 0 ) P'(u) à u = 1 = 3 (P 3 – P 2 ) d P(u) = 3 {C 1,3 (u) - C 0,2 (u)},u [0,1]. du = -3(1 – u) 2 P 0 + (9u 2 – 12u + 3)P 1 + (6u – 9u 2 ) P 2 + 3u 2 P 3.

23 23 Courbe de Bézier de degré 3 agissant comme courbe dinterpolation pour les sommets V 0, V 1, V 2 et V 3 Il sagit de déterminer les points de contrôle P 0, P 1, P 2 et P 3. P 0 = V 0 P 3 = V 3 V 1 = P(1/3) = 8 V P P V V 2 = P(2/3) = 1 V P P V P 1 = -5 V V V V P 2 = 1 V V V V


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