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Introduction à La Démarche Scientifique Composition du module 8 heures de Cours / TD 4 séances de Travaux Pratiques de 3 heures Sommaire du cours/td Sciences.

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1 Introduction à La Démarche Scientifique Composition du module 8 heures de Cours / TD 4 séances de Travaux Pratiques de 3 heures Sommaire du cours/td Sciences et Méthodes Outils Métrologie Exploitation Travaux Pratiques (Les rapports sont à rendre au début de la séance suivante) Pendule simple Calorimétrie Lois de Kirchhoff Oscilloscope Remerciements: Olivier Durand-Drouhin, René Moreau, Robert Bouzerar, Annick Razet. La Démarche Scientifique1

2 Métrologie : Grandeur physique Grandeur physique = Propriété observable qui caractérise un objet, un ensemble dobjets ou un état physique. Exemples: masse, longueur, température, … James C. Maxwell ( ) « Lexpression dune grandeur est le produit de 2 facteurs dont lun, qui est une grandeur de même nature prise comme référence, sappelle unité, et dont lautre, qui est le nombre de fois que lunité est contenue dans la grandeur, sappelle sa valeur numérique » Toute mesure est nécessairement entachée d'erreurs pour différentes raisons. Une mesure expérimentale n'a donc de valeur que si on lui associe une estimation de l'erreur (ex : « la poutre mesure 1 m de long à 5 mm près »).

3 Métrologie : Dimensions du SI La dimension d'une grandeur physique est son unité exprimée par rapport aux 7 unités de base du Système International.

4 Métrologie: lincertitude dun point de vue statistique (à partir dun exemple) Un fabricant de voltmètres contrôle sa production en mesurant systématiquement la fem dune pile étalon de V avec chaque voltmètre fabriqué. La courbe donnant la densité de probabilité montre que : - 68% des résultats appartiennent à lintervalle : (5 0.1) V - 95% des mesures donnent une valeur appartenant à lintervalle (5 0.2) V Conventionnellement, cest ce dernier intervalle qui sera pris comme domaine dincertitude et précisé dans la notice dutilisation des voltmètres commercialisés Volts Nombre dobservations

5 Métrologie: Loi Normale loi de probabilité 95% des valeurs se trouvent dans ±2 Métrologie: Loi Normale loi de probabilité = écart type = valeur moyenne 68% des valeurs se trouvent dans ± 95% des valeurs se trouvent dans ±2 x

6 Métrologie : Ecrire un résultat * soit la valeur exacte (inconnue) = G * écrire le résultat dune mesure = (g ± Δ g) unité - g est une estimation de G - Δ g est lincertitude sur la mesure de G, elle est telle que la probabilité: P{G [g - Δ g, g + Δ g]} = 0,95 Intervalle de confiance niveau de confiance Incertitude absolue (>0)

7 Métrologie : quand estimer une incertitude ? Il existe 3 principales occasions destimer une incertitude: - Incertitude sur une mesure à partir dun appareil x (incertitude sur lintensité mesuré avec un ampèremètre) - Incertitude sur le résultat dun calcul f(x) où x a été mesuré: x x f (incertitude sur la résistance R=u/i où u et i ont été mesurés et R calculé) - Incertitude sur la pente a et lordonnée à lorigine b dune droite y = ax + b à partir dune collection de mesures où x varie a, b (par exemple, on trace la tension u mesurée aux bornes dune résistance R inconnue en fonction du courant i qui la traverse, u=Ri, la pente donne R et lincertitude sur la pente donne R) u i Remarque: une situation plus générale et plus fréquente est celle où la variable de sortie y ne dépend pas linéairement de la variable contrôlée x. On fait alors un changement de variable afin dobtenir une représentation linéaire ou, quand ce nest pas possible on utilise des méthodes issues des statistiques et de lanalyse numérique. De nombreux logiciels scientifiques les mettent en œuvre de façon conviviale et automatique

8 Une mesure directe à laide dun appareil (1/4) Bien comprendre comment fonctionne lappareil 3 questions de base Est-ce le bon appareil ? Est-il bien calibré ? (problème du 0) La gamme de mesure est elle en accord avec ce que je vais mesurer ? réglage du 0 ampèremètre voltmètre ohmmètre testeur de composant courant continu ou altenatif ? tarage dune balance

9 avoir une idée sur une mesure avant de la faire Cest particulièrement important quand on doit choisir le calibre dun appareil Exemple : ~10V dans ~1000 donne une intensité ~10 mA Si on a aucune idée des calibres, commencer par le plus grand (le moins risqué) et affiner ensuite. Une mesure directe à laide dun appareil (2/4) Ordre de grandeur :

10 g = r + d Résolution = ½ graduation (ou digit) Ex : un double-décimètre gradué en mm donnera une incertitude de résolution égale à ½ mm. Dispersion = 2 ( niveau de confiance à 95% ) Les constructeurs précisent la « classe » des appareils qui est égale en pourcentage du calibre à lincertitude de dispersion : Une mesure directe à laide dun appareil (3/4) Ne pas oublier que dans tous les cas, le calcul dincertitude est une estimation Aujourdhui, le plus souvent lincertitude totale est donnée par le constructeur sous la forme : g = { pourcentage de la valeur lue + n digits }. En labsence de la notice de lappareil, on prendra g = { ½ digit + 2% du calibre }.

11 Juste = proche valeur vraie Fidèle = dispersion faible Une mesure directe à laide dun appareil (4/4)

12 Relation entre dérivée et incertitude le résultat dun calcul (1/6): Dérivée partielle Soit x une grandeur physique mesurée et y une grandeur calculée à partir dune formule dépendant de x. On a y = f(x). Soit le point M de coordonnées (x, y). Si x a été mesurée avec une incertitude x, alors on donne à y lincertitude y = |f (x)| x Ex: On mesure le courant électrique i = (0.010 ± 0.002) A traversant une résistance étalon R=100. Quelle est la puissance P dissipée dans R ? P = Ui = Ri 2 P = 100x10 -4 = 0.01 W = 10 mW P = P(i) P(i) = 2Ri = 2x100x10 -2 = 2 W.A -1 = 2 V P = P x i = 2 x = W Finalement: P = (0.010 ± 0.004) W

13 Soit f=f(x) une fonction à une variable, sa dérivée au point (x) est rappelée ci-dessous par la relation (1). De manière similaire, soit maintenant g=g(x, y, z) une fonction à 3 variables indépendantes, on définit sa dérivée partielle par rapport à sa 2 ième variable au point (x, y, z) par la relation (2) quon peut aussi noter g y (x, y, z). le résultat dun calcul(2/6): Dérivée partielle le résultat dun calcul (2/6): Dérivée partielle

14 Exemple : f(x, y, z) = x²yz 3 - 2xz + 4xy² - 2xyz la fonction devient f(x) = ax² - bx + cx - dx avec a = yz 3, b = 2z, c = 4y², d = 2yz on dérive f(x) = 2ax – b + c - d = 2yz 3 x - 2z + 4y² - 2yz = 2yz 3 x - 2z + 4y² - 2yz dérivée partielle de f par rapport à x (y et z constants) dérivée partielle de f par rapport à y (x et z constants) dérivée partielle de f par rapport à z = a-0+2cy-d = x²z 3 + 8xy - 2xz = 3x²yz² - 2x - 2xy f(y)=ay-b+cy²-dy avec a=x²z 3, b=2xz, c=4y², d=2xz on dérive le résultat dun calcul (3/6): Dérivée partielle

15 le résultat dun calcul (4/6): Dérivée partielle

16 le résultat dun calcul (5/6): ISO= Organisation Internationale de Normalisation GUM= Guide pour lExpression de lincertitude de Mesure Ancienne méthode (avant 1995): On envisageait le pire, lincertitude était surévaluée : Nouvelle méthode (GUM 1995): On a un effet de compensation et on peut montrer que :

17 Une mesure à partir dautres mesures Soit f Xi la dérivée partielle de f par rapport à la variable X i, au point (X 1, X 2, ….X n ) On a: le résultat dun calcul (6/6): Dérivée partielle

18 Pente et ordonnée à lorigine dune droite (1/2) a) Utiliser une calculatrice scientifique ou un PC muni dun programme de régression et dévaluation des incertitudes sur a et b: y = ax + b Un programme Matlab est disponible ici:

19 b) Les points expérimentaux étant munis de leur rectangle dincertitude, on trace les droites extrêmes en X comme ci- dessous … Pente et ordonnée à lorigine dune droite (2/2) 2 y 2 x … elles ont pour équation: y = (a+ a) x + (b- b), et y = (a- a) x + (b+ b) On en déduit a et b b- b b b+ b

20 Métrologie : Incertitude (résumé) 1/ Sur une mesure directe à laide dun appareil (notice): y = r + d ( r = ½ graduation, d = (classe/100) x calibre) 2/ Sur un calcul à partir dautres mesures (formule): 3/ Sur la pente et lordonnée à lorigine dune droite: - Régression linéaire, ou - Droites extrêmes

21 Exploitation : Chiffres significatifs Les zéros avant le premier chiffre ne sont pas significatifs. Les zéros après le premier chiffre sont significatifs. Une définition stricte des chiffres significatifs: chiffres apparaissant dans la mantisse de la notation scientifique Y = A.BCDE… x 10 n (A0 et n Z) Dans un nombre, les chiffres autres que zéro sont significatifs. Les zéros sils sont placés en tête du nombre ne sont pas significatifs. Exemples : 6,8 2 chiffres significatifs 6,80 3 chiffres significatifs chiffres significatifs 0,68 2 chiffres significatifs Mantisse Exposant

22 Exploitation : Ecriture dun résultat Régle #1: Lincertitude est écrite avec 2 chiffres significatifs (parfois avec 1 seul) Régle #2: On conserve pour Y les chiffres significatifs qui interviennent dans Δ Y F = (2,56712 ± 0,01283) N F = (2,567 ± 0,013) N m = (98,486 ± 1,573) g m = (98,5 ± 1,6) g ou m = 98,5 g (1.6%) P = (342,05 ± 2,567) W P = (342,0 ± 2,6) W n = 1,50944 ± 0,00039 n = 1,5094 ± 0,0004 L = 1.86 m L = ± 0,005 m m=11,6 kg = 11, g (3 chiffres significatifs) g (5 chiffres significatifs) ! V=2,75 m 3 = 2, mL L Arrondis: 0,1,2,3,4 valeur inférieure, exemple : 1.14 peut être arrondi à 1.1 5,6,7,8,9 valeur supérieure, exemple : 1.15 peut être arrondi à 1.2 Rq: On peut aussi utiliser lincertitude relative Δ Y / Y Rq: Un résultat donné sans incertitude Δ Y= ½ unité du dernier chiffre Rq: On peut arrondir Δ Y à un chiffre significatif quand cet arrondissement naffecte pas « trop » Δ Y.

23 Chaque expérience donne lieu à un compte-rendu comportant : titre, introduction, procédure, tableau(x), graphe(s), et discussion. Le titre doit préciser le sujet présenté et la méthode générale utilisée. L introduction donne i) l'objectif de l'expérience; ii) un bref rappel des connaissances théoriques et/ou expérimentales liées au sujet étudié. Le modèle représenté par une ou des équations liant les variables observées est précisé ainsi que les limites de sa validité; iii) les moyens de tester le modèle; iv) une référence bibliographique où trouver la base théorique du modèle. La procédure donne i) le schéma du montage global. Il doit être clair et précis; ii) la méthode de mesure de chacune des variables, l'incertitude et les précautions éventuelles. Les tableaux doivent contenir i) une numérotation si il y a plusieurs tableaux; ii) un titre; iii) le tableau lui-même contenant a) les symboles des paramètres mesurés, b) les unités, c) les incertitudes, d) les valeurs Le(s) graphe(s) doivent être soigneusement réalisés et permettre d'en extraire des informations précises. Ils permettent aux lecteurs de visualiser le comportement du système de telle façon qu'ils puissent juger par eux mêmes de la validité des conclusions faites dans le dernier paragraphe. Publier Exploitation : Publier

24 La discussion présente la comparaison modèle-système, elle est factuelle et ne doit en aucune façon engager le jugement personnel. Dans le cas où le modèle est validé, l'objectif(s) présenté(s) dans l'introduction est atteint(s). Dans le cas contraire, il faut préciser dans quelle mesure les résultats sont exploitables. Dans cette étape, l'expérimentateur peut introduire ses propres idées. L'interprétation peut être facile à identifier par exemple en utilisant les limites de validité du modèle déjà précisées dans l'introduction. L'expérimentateur peut émettre des hypothèses ayant une connexion logique avec l'écart observé. La discussion est importante dans la mesure où elle peut aboutir à un "raffinement " du modèle. Dans certains cas, nous pouvons échouer à donner une interprétation des écarts observés, il faut alors rester honnête en le reconnaissant et laisser aux lecteurs la possibilité d'amorcer une discussion dont pourra émerger de nouvelles idées. Publier Exploitation : Publier

25 Exploitation :Publier Les graphes: Resserrer les points au voisinage des singularités Un titre Symbole et unité sur chaque axe

26 Le tracé d'une courbe ne doit pas masquer les points expérimentaux Les marques et les nombres sont régulièrement disposés Exploitation :Publier Les graphes:

27 Modèle y = a x 2 + b on pose u=x 2, on représente y = au+b Modèle y = a sin(x)+b on pose v=sin(x), on représente y = av+b Modèle y = a exp(x)+b on pose w=exp(x), on représente y = aw+b Les changements de variables ne sont pas toujours possibles … Exploitation :Publier Les graphes:

28 Exercice 1 Dimensionnez les coefficients A, B et C dans léquation suivante (où [v] = m/s et [t]=s ): Exercice 1I Montrer quon a les relations simples ci-dessous :

29 Exercice III Supposons que lon mesure une résistance R en mesurant la tension U à ses bornes quand elle est parcourue par le courant dintensité i. Les mesures donnent U= 9.35 V et i=11.0 A. On estime que dans les conditions où elles ont été mesurées, U et i sont des variables aléatoires décart type U = 45 mV et i = 50 mA. Donner U, i, R et R (intervalle de confiance à 95%). Exercice IV On trouve p 1 = -20.cm et p 2 = 30 cm et lon sait que lexpérimentateur, avec le matériel dont il dispose, mesure en fait les distances à 1 cm prés. Cela signifie que p 1 = p 2 = 1 cm. Calculer f et f. On veut calculer la distance focale f dune lentille par la relation :

30 Exercice V a) Déterminez approximativement lincertitude relative de la mesure 8.7 m. b) Quel est le lincertitude relative de la mesure (8.86 ± 0.17) s ? c) Calculez lincertitude relative du volume dune sphère dont le rayon est : r = 2.48 ± 0.03 m. d) Calculer laire et lincertitude des rectangles de côtés R 1 : 5.6 ± 0.1 cm et 15.3 ± 0.1 cm R 2 : 5.6 ± 0.5 cm et 15.3 ± 0.5 cm

31 On mesure une longueur avec un pied à coulisse de résolution 0.01 mm. Une première mesure donne L 1 = mm alors quune seconde mesure effectuée dans les mêmes conditions donne L 2 = mm. Avec seulement ces 2 mesures, quel résultat et quelle incertitude « raisonnables » peuvent être donnés ? Exercice VI La résistance équivalente à 2 résistances R 1 et R 2 placées en parallèle est donnée par la relation bien connue : Donner les dérivées partielles et. Exercice VII

32 Exercice VIII La mesure dune tension est effectuée à laide dun voltmètre dont une image est donnée ci-contre. Aprés consultation de la notice « constructeur », lopérateur note quen mode voltmètre courant continu, lincertitude est donnée par : ± 0,8 % valeur lue + 2 digits. Donner la valeur de la tension mesurée et son incertitude.

33 En étudiant la décharge d'un condensateur C dans une résistance R, on mesure la tension aux bornes de ce condensateur en fonction du temps écoulé après la fermeture du circuit. Les résultats sont consignés dans le tableau ci- contre : On suppose une relation de la forme V=V 0 exp(- t / ) avec V 0 et des constantes. Vérifier graphiquement cette hypothèse. Si elle est valide, déterminer la constante de temps = RC et son incertitude. De même donner V 0. i V R C Exercice IX


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