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Utilisation des fonctions « densité de circuit » N a pour le calcul direct de paramètres circuit.

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1 Utilisation des fonctions « densité de circuit » N a pour le calcul direct de paramètres circuit.

2 Lutilisation des « densité de circuit » N a permet de relier les grandeurs « champ» aux grandeurs « circuit». Dans certains cas, il est possible dutiliser cette notion pour calculer des paramètres « circuit » sans effectuer explicitement le calcul des champs, ce que nous navons pu faire jusquici que dans des cas très simples (loi de Pouillet…).

3 Lien entre résistivité et résistance Si la relation entre E et J est linéaire, soit en référentiel propre (pour un observateur attaché au matériau) E = Jou, plus généralement, E i = j ij J j la correspondance entre les grandeurs « champ » et les grandeurs « circuit » conduit à une relation linéaire entre e et j (donc entre u et i en quasistatique galvanique, cest-à- dire en labsence deffet inductif ou capacitif) u = R iavec R = N 2 dV ou, si anisotrope,

4 avec comme cas particulier la résistance propre R aa de chaque circuit. Note : pour être systématique, la résistance propre dun circuit « a » devrait être notée R aa. Lhabitude est cependant décrire R a au lieu de R aa ! Sil y a plusieurs circuits repérés par des indices a, b … Voici quelques valeurs de à 20°C Argent m Cuivre m Aluminium m Fer m

5 Attention ! Il faut utiliser des définitions cohérentes des N a et de la conductivité électrique : le modèle détaillé pour les deux ou le modèle macroscopique pour les deux. Exemple : résistance dun faisceau de conducteurs de longueur L, de section S, de coefficient de remplissage et comportant n spires. On obtient dans les deux cas la valeur fournie aussi par la loi de Pouillet. Modèle détaillé : S fil = S / n donc N = n/( S) V = L S donc Modèle macroscopique : N = n/S = cu /

6 Note importante : la résistivité et donc la résistance dépendent de la température. Pour les métaux, la résistance est à peu près proportionnelle à la température absolue T, soit, si est la température centigrade et R 0 la résistance à une température de référence exprimée en °C, Ainsi, pour cuivre, on a aux températures usuelles On voit quun échauffement de 100°C a un effet important ! Si on écrit, en linéarisant autour dune température le coefficient de température dépend du choix de ref, ce nest pas le même selon quon choisit la référence à 0°C ou à 20°C ! Les coefficients de température de R et sont voisins, mais non identiques à cause de la dilatation. Qui me calculera la différence ?

7 En utilisant N th, on peut définir les résistances thermiques propres et mutuelles par la formule Avec = 1/ = la résistivité thermique du milieu Nous allons décrire un exemple dutilisation de cette formule ! Lidée de définir des « densités de circuit » est aussi utilisable pour le calcul des circuits magnétiques et thermiques.

8 Soit une plaque dépaisseur e et de dimension parallèle h telle que h >> e. On considère une dimension L dans la direction au plan de la figure. On peut considérer le problème comme un problème à 1D. En nous inspirant des solutions exactes obtenues dans des cas particuliers (un seul côté non isolé thermiquement), prenons un modèle à deux éléments de circuit, à savoir Le « nœud » de ce circuit correspond à la répartition M = div N = 1/ (hLe) uniforme et dintégrale unité.

9 On peut alors écrire les deux résistances propres et la résistance mutuelle. On a ainsi :

10 On obtient de la même façon et

11 On a donc le circuit thermique suivant (S est la densité de production de chaleur) : La température T représente la température moyenne dans le domaine de calcul ! La présence dune résistance mutuelle peut être évitée en effectuant la transformation en un circuit étoilé.

12 On obtient En fait, dans le cas statique à 1 dimension, le schéma ci-dessus fournit la valeur exacte de la température moyenne.

13 Ce circuit sétend facilement au cas dun calcul à deux ou trois dimensions. A deux dimensions, considérons la même structure rectangulaire que précédemment mais en admettant une flux de chaleur vers le haut et vers le bas. La partie du modèle correspondant aux flux verticaux se calcule comme précédemment mais en permutant e et h.

14 On obtient Ce circuit est utilisé pour calculer de façon approchée la température moyenne dun enroulement dans une encoche rectangulaire. Il a été introduit par une autre méthode dans le livre Thomas A. Lipo, Introduction to AC machine design, Wisconsin Power Electronics Research Center, University of Wisconsin, 2004

15 Il est facile dintroduire dans ce circuit équivalent une capacité thermique pour pouvoir étudier les transitoires

16 La capacité thermique peut se calculer à partir de la densité « de nœud » : Ici aussi, il convient de définir c p et M de façon cohérente. Dun point de vue macroscopique, c p macr est une moyenne des c p des composants (cuivre, isolants) pondérée par la proportion de chacun. Dans lexemple considéré, on a ainsi C th = c p macr h L e

17 Exemples de valeurs de c p Cuivre385J/kg/K Fer440J/kg/K Aluminium900J/kg/K Pour passer de ces valeurs à une valeur volumique, il faut connaître la masse volumique du matériau, soit Cuivre8960kg/m 3 Fer7870kg/m 3 Aluminium2698kg/m 3 Les valeurs ci-dessus sont tirées de Elles sont sans doute relevées à 20°C.http://www.matweb.be

18 Les modèles circuits ci-dessous permettent de calculer la température moyenne. Savoir sil est possible de sen servir pour calculer la température du point le plus chaud est un sujet de recherche. Si vous avez une idée …. à une dimension à deux dimensions à trois dimensions

19 Caractérisation générale des matériaux Rappel : les équations d évolution forment deux volets complètement disjoints. On a en électromagnétisme :

20 Ces équations d évolution sont les mêmes quel que soit le milieu (matériau ou vide) considéré. Donc, elles ne peuvent pas tenir compte des caractéristiques des matériaux. Les équations d évolution ne forment pas un système complet (il y a plus de degrés de liberté que d équations). Donc, il faut y ajouter des relations qui tiennent compte du milieu. Ces relations sont appelées « relations constitutives ».

21 Premières hypothèses sur les relations constitutives Fixées par la nature du matériau (principe de Copernic !) : cuivre, fer, air… du moins dans le repère propre du milieu (repère dans lequel le milieu est immobile et ses relations constitutives plus simples). En pratique, le repère propre est orthonormé. Ergodicité : un matériau peut revenir à son état originel. Faire plusieurs expériences successivement sur un même échantillon équivaut à faire plusieurs expériences simultanées sur plusieurs échantillons. Absence d action à distance ou différée : relations entre valeurs prises en chaque point de l espace-temps séparément.

22 Premières hypothèses sur les relations constitutives (suite) Séparation des relations électriques et magnétiques D E H B cas particulier : B = 0 et E = 0 dans les supraconducteurs (de type I) H = 0 dans les ferromagnétiques parfaits Autres relations nécessaires pour fixer J En labsence d effet Hall J E Dans un isolant, J = 0

23 Parfois, on considère comme relations constitutives des relations qui proviennent du « régime de fonctionnement » considéré. Cas quasistatique électrique est remplacé par B = 0 car connaître la vraie valeur de B a peu d importance dans ce cas. Cas quasistatique magnétique est remplacé par D = 0 car connaître la vraie valeur de D a peu d importance dans ce cas. Cas quasistatique galvanique : combinaison des deux, donc D = 0 et B = 0

24 Formalisme général invariant Dans un référentiel « fixe »ou « du laboratoire », on aura D E + v x B B H - v x D J - v E + v x B

25 D E + v x B B H - v x D Les relations constitutives dépendent du référentiel choisi :en général, elles ne sont pas invariantes sous une transformation de Galilée. Il y a des exceptions intéressantes. Si nous définissons les « milieux quasistatiques électriques » par B = 0, la propriété d être un milieu quasistatique électrique est invariante sous l effet des changements de référentiel galiléens (puisque B = B ). On peut répéter la même chose pour les « milieux quasistatiques magnétiques » définis par D = 0. Et donc aussi pour les « milieux quasistatiques galvaniques ».

26 J - v E + v x B N est pas invariante, même dans les cas quasistatiques autres que galvanique. Il faut bien distinguer E et E = E + v x B Compte tenu de cette relation, on peut décomposer la force électromotrice e = N. (E + v a x B) dV en deux termes e = e + N. (v a - v ) x B dV où e = N. E dV est la force électromotrice intrinsèque (due aux propriétés du matériau,..) Le terme N. (v a - v ) x B dV est un terme de glissement (cfr. roue de Faraday…). On a vu en semaine 2 son analogue « circuit ».

27 Utilisation d un facteur d échelle Pour l instant, nous n avons pas imposé les relations constitutives, mais seulement leur forme. On suppose que ces relations ( exprimées dans un référentiel orthonormé) ne dépendent que de la nature du matériau. Cela suffit déjà pour comprendre ce qui peut arriver lorsque l on augmente toutes les dimensions d un dispositif dans un même rapport. Étant donné un régime de fonctionnement du dispositif initial qui vérifie toutes les équations, on a automatiquement un régime de fonctionnement du dispositif dilaté qui vérifie toutes les équations (il suffit de garder la même valeur des champs). Donc, pas besoin de refaire le calcul des champs une seconde fois !

28 Exercice : on dilate toutes les dimensions en gardant les mêmes valeurs du champ magnétique et des fréquences. Que deviennent J, i,, u, r, les pertes magnétiques et les pertes ohmiques. Sous quelle hypothèse le champ de température restera-t-il inchangé ? Attention ! Lexercice ci-dessus montre quil nest ordinairement pas possible dappliquer un facteur déchelle qui maintient simultanément la valeur du champ magnétique et du champ de température.

29 Attention aux mauvais usages des changements d échelle ! Si un régime de fonctionnement est acceptable techniquement, il n est pas dit que le régime correspondant du dispositif dilaté est acceptable ! Exemple: si jai calculé les efforts subis par le squelette dune souris normale, je peux en déduire la valeur de ces efforts pour une souris de la taille dun éléphant MAIS une souris de la taille d un éléphant briserait ses pattes sous l effet de son propre poids, parce que le poids augmente comme le cube des dimensions alors que la section des os n augmente que comme le carré ! Le facteur d échelle permet donc de transposer une analyse complète (faite pour tous les régimes de fonctionnement) en une autre analyse complète, mais les contraintes doivent être réexaminées. Il existe un autre type de facteurs déchelle que ceux examinés ici. Ils relient les dimensions et les caractéristiques dune machine à sa puissance nominale. Ces facteurs, plus empiriques, ne sont jamais valables que pour une structure de machine et une technique particulière.

30 Milieux magnétiques généraux Note : on se place par la suite en référentiel propre ( « » omis) La relation B H peut être très complexe. Souvent, on la définit de façon purement empirique. Comme toutes les évolutions possibles ne peuvent pas être étudiées, on se limite à un ensemble suffisamment caractéristique. Exemple : direction fixée, variation sinusoïdale de B dans le temps. On a alors des graphes comme celui ci- contre. Cycles toujours parcourus dans le sens antihorlogique !

31 Réduction de l information : Exemple : on souhaite des relations univoques pour le calcul. On ne garde que les sommets des cycles. Autres façons, autres graphes. Exemple : ne garder que les valeurs efficaces. Quoi quil en soit, ces graphes sont établis pour une forme donde imposée dune des deux grandeurs (souvent B sinusoïdal).

32 Méthode des harmoniques temporels Dans le cas où lon étudie les évolutions périodiques des champs, une méthode souvent utilisée est celle des harmoniques temporels : on décompose les champs en série de Fourier et on décrit chaque composante par un nombre complexe. Dans le cas linéaire, il ny a pas de mélange entre les harmoniques. Le milieu est décrit par la donnée dune valeur complexe de pour chaque harmonique. La partie imaginaire des correspond à des pertes.

33 Dans le cas général non linéaire, la méthode des harmoniques temporels reste en principe applicable, mais les valeurs des dépendent de lamplitude et de la phase de toutes les harmoniques ! Cela conduit à une situation inextricable, même si on ne considère quun petit nombre dharmoniques. Certains chercheurs ont proposé de conserver les champs sous la forme dharmoniques temporels, mais de modéliser les relations constitutives par une routine de calcul à lintérieur de laquelle on repasse à des grandeurs fonctions du temps.

34 Polarisation magnétique et magnétisation (définitions générales) Soit un milieu qui sert de référence et où la relation constitutive peut s écrire R 0 (H, B ) = 0 On peut appliquer la même relation à n importe quel milieu R (H, B ) = 0 à condition de définir dans cet autre milieu une magnétisation M telle que R 0 (H + M, B) = 0 soit équivalente à R (H, B ) = 0. On peut aussi définir la polarisation magnétique J (rien à voir avec le courant !) telle que R 0 (H, B - J ) = 0 soit équivalente à R (H, B ) = 0.

35 Polarisation magnétique et magnétisation (cas particulier du vide pris comme référence) Dans le vide, on a B = µ o H Donc, en prenant le vide comme référence, on a pour n importe quel matériau. M = B / µ o - Het J = B - µ o H Utilité : pour certaines méthodes de calcul de champ pour exprimer la relation constitutive

36 Exemple de modèle : M ou J supposés être fonction d un « champ local » B loc combinaison linéaire de B et 0 H. Cest ainsi que, dans létude des matériaux paramagnétiques, on pose souvent, en plus de B = 0 H + J, Le partage 1/3 pour 2/3 ne convient cependant pas pour tous les matériaux magnétiques. Exercice : définissant la susceptibilité dun corps paramagnétique en supposant que J = B loc, comment dépend-t-il de ?

37 Lorsque H tend vers linfini, il en est de même de B. Donc, la notion de « champ B sat » est illusoire ! Par contre, J tend vers une valeur J sat caractéristique du matériau, et tend vers 0. Comportement asymptotique

38 Milieux magnétiques linéaires La linéarité n est jamais acceptable dans les milieux magnétiques que pour des champs suffisamment faibles ! La perméabilité magnétique et la réluctivité sont des tenseurs. En composantes : Dans le cas d un milieu isotrope et en référentiel orthonormé, on peut considérer la perméabilité et son inverse comme des scalaires B = µ H et H = B « harmoniques temporels » (phaseurs dans le jargon du calcul des champs) les composantes de la perméabilité sont des nombres complexes. Refusé par des logiciels commerciaux. Pourquoi ? Pour ne pas perturber le client !

39 Milieux composites Structures stratifiées (empilements de tôles magnétiques, succession de dents et d encoches, conducteurs plats…) SI cas linéaire :

40 S il y a des courants de Foucault dans le milieu 1, approche possible en harmoniques temporels, du moins dans la direction //. On remplace µ 1 par le nombre complexe µ 1 (th ) / où = ( 1 + j ) / (2 ) j = racine de -1 épaisseur des feuilles du milieu 1 (tôles) est la profondeur de peau. Donc µ // = µ 1 (th )/ + (1- ) µ 2

41 Faisceaux (bobinages…) Les formules de droite sont approchées (approximation cylindrique : la cellule dhomogénéisation est supposée cylindrique).

42 Remarque utile, surtout pour le calcul thermique On peut itérer ces équations si on a une structure formées de cylindres concentriques (conducteur rond, émail, résine dimprégnation).

43 S il y a des courants de Foucault dans le milieu 1, approche possible en harmoniques temporels. Pour un champ perpendiculaire au faisceau, on remplace µ 1 par le nombre complexe, étant la profondeur de peau définie précédemment, et J 0, J 1 et J 2 des fonctions de Bessel. où est donné par léquation

44 La résistivité aussi change A cause de lespace existant entre les conducteurs, le champ local nest pas uniforme et les courants alternatifs ne se répartissent pas uniformément sur la section du conducteur. La résistance apparente du faisceau devient complexe (la résistance DC est à remplacer par une résistance AC plus grande et une inductance en série). On peut calculer la résistance en courant alternatif en calculant une résistivité macroscopique (complexe), qui vaut à lapproximation cylindrique et en utilisant la formule Cet effet est ordinairement plus faible qui celui qui affecte la perméabilité, et est ignoré par la plupart des auteurs (bien que déjà décrit par Maxwell au premier ordre, ce qui correspond à lapparition dune inductance supplémentaire).

45 Les formules établies pour « leffet de peau » dans le cas dun conducteur seul entouré de vide ne sont absolument pas utilisables dans le cas dun faisceau, contrairement à ce que beaucoup croient. Avertissement

46 Lien entre résistivité et résistance Si la relation entre E et J est linéaire, soit en référentiel propre E = Jou, plus généralement, E i = j ij J j la correspondance entre les grandeurs « champ » et les grandeurs « circuit » conduit à une relation linéaire entre e et j (donc entre u et i en quasistatique galvanique) u = R iavec R = N 2 dV ou, si anisotrope, ou encore, plus généralement

47 Conséquences de l utilisation de paramètres complexes sur les paramètres circuit Les résistances et les inductances deviennent complexes. Exemple : au lieu d avoir, pour un transformateur, le schéma ci-contre (inductance couplée + résistance ohmique), A fréquence fixée, on revient au schéma classique par des transformations de circuit. on déduit du calcul des champs le circuit ci-dessous.

48 Note : le fait dhomogénéiser un milieu fait apparaître des effets de surface au bord des milieux homogénéisés (analogie avec la tension superficielle dans les liquides).

49 Réluctance de surface due à lencochage On remplace lensemble dents- encoche par un volume plein, mais en ajoutant une réluctance de surface R 0.

50 Interprétation de la réluctance de surface On peut écrire la réluctance de surface sous la forme où g a la dimension dune longueur. Intuitivement, leffet de R 0 est analogue à celui dune couche dair dépaisseur g. Cest souvent sous cette forme que le phénomène est présenté.

51 Réluctance de surface due à lencochage Que vaut la réluctance R o où, ce qui revient au même, lépaisseur g ? Cas général : Gibbs (utilise des fonctions spéciales) Deux cas limites : - Entrefer très mince : Carter (1905) - Entrefer très grand : Matagne (1991) Attention ! Lépaisseur des aimants terres- rares montés en surface est à compter dans g car la perméabilité magnétique de ces aimants est proche de celle du vide. Ligne de démarcation entre les deux méthodes et erreur le long de cette ligne

52 Méthode de Carter (entrefer petit)

53 Autre méthode (entrefer grand) On remarque que, dans ce cas, g ne dépend pas de g, alors que le rapport G/g en dépend.

54 Saturation magnétique Pour étudier la saturation, on suppose en général que la relation B-H ne dépend pas de la vitesse ( donc pas de la fréquence) avec laquelle les champs évoluent. On peut modéliser la saturation à l aide de caractéristiques univoques (pas d hystérésis). Alors, on distingue - les matériaux doux (a) - les matériaux durs (b) La distinction est claire au niveau du modèle …. pas forcément dans la réalité. Certains matériaux sont utilisés pour les deux rôles.

55 Perméabilité magnétique des milieux saturables On peut définir la perméabilité de plusieurs façons - perméabilité et réluctivité différentielle (incrémentale) µ = dB / dHet = dH / dB plus généralement µ ij = B i / H j et ij = H i / B j - perméabilité et réluctivité totales (ambigu si non isotrope) Bien que limitées aux milieux isotropes, ces notions sont très utilisées en calcul des champs car on réduit la quantité de calculs nécessaire pour passer dun champ à lautre en tenant compte de sa direction si on caractérise le matériau par une fonction

56 Caractérisation des matériaux Matériaux doux : J sat : polarisation magnétique à saturation µ i (à l origine) µ max Exemple de caractéristique subjective : µ en un point situé « un peu avant l entrée en saturation »

57 Matériaux durs H c est parfois désigné par H cB pour le distinguer de H cJ 1 T = gauss1 A/m = oersted 1 T x A/m = 1 J / m 3 = 40 gauss x oersted

58 Cas particulier des aimants terres-rares

59 Comparaison entre aimants

60 Hystérésis Le graphe ne décrit pas tout : B et H pas forcément parallèles. Le rapport entre J s et B r dépend de la structure cristalline.

61 Modélisation complète de l hystérésis : nombreuses variantes du modèle de Preisach F. Preisach, « Uber die magnetische Nachwirkung », Z. Phys., vol. 94, pp , 1935 N. Janssens, thèse UCL, 1981

62 Note sur le passage à une fonction univoque Il peut y en avoir plusieurs pour le même matériau. Le choix dépend de ce que l on veut calculer. Les valeurs de B r et de H c ne sont pas les mêmes selon que lon considère la courbe de désaimantation ou la droite de recul !


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