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1 LES PRODUITS DÉRIVÉS troisième partie: Black - Scholes modèle binomial.

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1 1 LES PRODUITS DÉRIVÉS troisième partie: Black - Scholes modèle binomial

2 2 VI- Le modèle de Black & Scholes : Le modèle de Black & Scholes publié en 1973 est de loin le modèle d évaluation d option le plus utilisé en pratique. B&S démontrent quà partir des paramètres qui influencent la valeur des options (S 0, X, T, r f et, il est possible de bâtir une position sans risque en combinant l achat d une (ou de plusieurs) action(s) et en vendant simultanément un certain nombre d options d achat.

3 3 À l équilibre (absence d opportunité d arbitrage), la valeur au marché d une option d achat doit donc être telle que le rendement d un portefeuille sans risque composé d une action et d un certain nombre d options d achat correspond au rendement sans risque. B&S démontrent quil y aura absence dopportunité d arbitrage, uniquement lorsque la valeur de l option d achat C 0 correspond à:

4 4 C o = S 0 N(d 1 ) - X e -rT N(d 2 ). Où: C0: valeur théorique de l option d achat à t=0 (moment de l évaluation); S0: cours de laction sous-jacente à t=0; X: prix d exercice de l option d achat; r: taux d intérêt sans risque à capitalisation continue. (cest un taux nominal annuel capitalisé continuellement). Si on a r f le taux sans risque effectif annuel alors r = ln(1+r f );

5 5 T: Temps qui reste à courir avant l échéance de l option, exprimé en année, N(d): probabilité cumulée jusquà la valeur d sous une loi normale centré réduite. Cest laire sous la courbe normale centré réduite entre - et d. ln(S 0 /X) + (r + 2 /2) T d 1 = ½ d 2 = d 1 - ½ où 2 est la variance du rendement annuels continus de l action.

6 6 A- Les hypothèses du modèle de B&S: Le modèle de B&S est basé sur un certain nombre d hypothèses plutôt restrictives, dont les principales sont: le marché des capitaux est parfait; –pas d impôt; –pas de frais de transaction; –information gratuite et accessible à tous; –aucune restriction sur les ventes à découvert; –les investisseurs sont rationnels et peuvent prêter et emprunter au taux d intérêt sans risque qui est connu et constant dans le temps;

7 7 le titre sous-jacent ne paie ni dividendes, ni intérêt pendant la durée de vie de l option; L option est de type européen (ne peut pas être exercé avant l échéance); le cours de l action sous-jacente obéit à une loi log-normale; la variation du taux de rendement continu de l action est constante.

8 8 B- Extension du modèle de B&S pour évaluer un put européen: La relation de parité Put-Call: C - P = S 0 - X/(1+rf) T Temps discet C - P = S 0 - X e -rT Temps continu P = C - S 0 + X e -rT C = S 0 N(d 1 ) - X e -rT N(d 2 )

9 9 d où: P = S 0 N(d 1 ) - X e -rT N(d 2 ) - S 0 + X e -rT P = X e -rT [1-N(d 2 )] - S 0 [1-N(d 1 )] Donc, la valeur d un put européen est égale à: P = X e -rT N(-d 2 ) - S 0 N(-d 1 ) sachant que: N(-x) = 1- N(x).

10 10 Application du modèle de B&S: Nous sommes le 5 mars et on a loption d achat suivante: le cours de l action ordinaire le 5 mars est 32$; le prix d exercice de l option est 28$; la valeur marchande de l option est 8.875$; date d expiration de l option: 3ième vendredi de juin; taux de rendement, au début de mars, des bons de trésor échéant dans trois mois est 7.25%;

11 11 écart-type du rendement hebdomadaire de l action est de 6.41% (cette valeur a été estimé à partir des rendements hebdomadaires au cours des 52 dernières semaines). À l aide du modèle de B&S, on peut déterminer la valeur théorique de l option d achat (juin/28$) à la date du 5 mars? En comparant la valeur obtenue avec la côte au marché, dites si l option est sous-évaluée, sur- évaluée ou correctement évaluée?

12 12 Solution: Les valeurs des différents paramètres à insérer dans le modèle de B&S s établissent ainsi: S 0 = 32$ X = 28$ r = ln( ) = % T = 106 / 365 = 0.29 ans = (52) ½ (0.0641) = %

13 13 ln(32/28) + [ (0.4622) 2 /2](0.29) d 1 = = 0.74 (0.4622) (0.29) ½ d 2 = (0.4622) (0.29) ½ = 0.49 À laide de la table de la loi normale centrée réduite, on trouve que: N(d 1 ) = N(0.74) = N(d 2 ) = N(0.49) =

14 14 En insérant les valeurs des différents paramètres dans l équation de B&S on obtient: C 0 = S 0 N(d 1 ) - X e -rT N(d 2 ) C 0 = e C 0 = 5.78$ La valeur théorique est 5.78$ et le prix côté est 8.875$. L option était donc sur-évaluée au moment de l évaluation.

15 15 VII- Le modèle binomial: Si on suppose que le cours de laction peut prendre seulement deux valeurs à l expiration de l option: le prix de l action va augmenter à son niveau élevé avec une probabilité p ou diminuer à son niveau bas avec une probabilité (1-p). Comment peut-on évaluer le prix actuel de loption (à la date 0)? La procédure à suivre: solution à l envers: de t=n à t=0, où n est la date d expiration de l option.

16 16 La proportion de l augmentation du prix de laction est: u = e ( t)½ La proportion de la diminution du prix de l action est: d = e - (Dt)½ = 1/u La probabilité de l augmentation du prix de l action est: p = ( e r t - d ) / (u-d)

17 17 Où: : la volatilité de l action durant la période; t: lintervalle de temps analysé; r: le taux d intérêt sans risque. Exemple: Le TIP (Toronto Index Participation) se vend le 12 décembre 1997 à 35.60$. L option d achat (call) au prix d exercice de 36$ et échéant dans exactement deux semaines se vend à 0.8$. Loption de vente (put) au prix d exercice de 38$ et échéant dans exactement 3 semaines se vend à 1.40$.

18 18 Les bons du Trésor avec une échéance d une semaine à trois semaines se vendent le 12 décembre 1997 à 99.92$ pour chaque tranche de 100$. Évaluer, selon le modèle binomial, le call avec 2 périodes et le put avec 3 périodes ? Solution: La première étape est de calculer les pourcentages d augmentation et de diminution des cours de l action par période:

19 19 u = e 0.3*(1/52)½ = d = 1/u = Le taux d intérêt sans risque: rf = (100/99.92) - 1 = 0.08% r = ln( ) = La probabilité d augmentation: e *(1/52) p = = (1 - p) = 0.5

20 20 Pour le call: Distribution des prix de laction:

21 21 Calcul des prix du call: branche supérieure t=2: VI = = 2.69$ branche médiane t=2: VI = 0 ( ) branche inférieure t=2: VI = 0 ( ) valeur du call à t=1 (branche supérieure): (2.69* *0.5)* e = 1.34$ valeur du call à t=1 (branche inférieure): (0* *0.5)* e = 0 valeur du call à t=0: (1.34* *0.5)* e = 0.67$

22 22 Distribution des prix du call:

23 23 Pour le put: Distribution des prix de laction:

24 24 Calcul des prix du put: branche supérieure t=3: VI = 0 ( ) branche médiane1 t=3: VI = = 0.89 branche médiane2 t=3: VI = = 3.85 branche inférieure t=3: VI = = 6.58 valeur du put à t=2 (branche supérieure): (0* *0.5)* e = 0.44$ valeur du put à t=2 (branche médiane): (0.89* *0.5)* e = 2.36$ valeur du put à t=2 (branche inférieure): (3.85* *0.5)* e = 5.21$

25 25 Calcul des prix du put: valeur du put à t=1 (branche supérieure): (0.44* *0.5)* e = 1.40$ valeur du put à t=1 (branche inférieure): (2.36* *0.5)* e = 3.78$ valeur du put à t=0: (1.40* *0.5)* e = 2.60$

26 26 Distribution des prix du put:


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