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Corrélation, TI-80 et interprétation Remarque :Tu devrais visionner les présentations « Tableau à double entrée et nuage de points.ppt » ainsi que « Coefficient.

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1 Corrélation, TI-80 et interprétation Remarque :Tu devrais visionner les présentations « Tableau à double entrée et nuage de points.ppt » ainsi que « Coefficient de corrélation et droite de régression.ppt » avant de visionner celui-ci.

2 La calculatrice TI-80 est un outil très intéressant dans le domaine de la statistique. Elle permet danalyser rapidement des distributions de données et encore plus intéressant, elle permet deffectuer des calculs avec une grande précision puisquelle tient compte des formules officielles utilisées en statistique. pour le coefficient de corrélation.

3 Pour déterminer la droite de régression.

4 Dans cette présentation, nous verrons comment : - déterminer le coefficient de corrélation et la droite de régression entre plusieurs variables (deux à la fois); - comprendre les limites de la calculatrice; - interpréter les résultats affichés. La première étape est dentrer les données dans la calculatrice. Pour effectuer ce travail de préparation, tu devrais visionner la présentation « Tableau à double entrée et nuage de points.ppt ». On y explique le procédé.

5 EDIT CALC 1: 1-Var stats 2: 2-Var stats 3: Linreg(ax+b) 4: Quadreg Pour effectuer le travail, nous aurons besoin de connaître et de comprendre plusieurs menus et plusieurs fonctions. L1 L2 EDIT CALC 1: Edit… 2: SortA( 3: SortD( 4: Clrlist LINREG(ax+b), L2 L1 LINREG(ax+b) y= ax+b a= b= r= EDIT CALC 1: EDIT… 2: SORTA( 3: SORTD( 4: CLRLIST EDIT CALC 1: EDIT… 2: SORTA( 3: SORTD( 4: CLRLIST

6 Pour la première partie de la présentation, nous travaillerons avec ce tableau Masse (kg) Rythme cardiaque au repos (pulsations/min) Nombre dactivités physiques par mois Individus L1 L2L3

7 Pour obtenir le coefficient de corrélation et la droite de régression, il nest pas nécessaire de le faire. Remarque : Pour faciliter le travail de construction du tableau à double entrée et du nuage de points, il faut mettre les listes de données en ordre croissant. Il est même préférable de ne pas le faire. Nous allons comparer plusieurs colonnes entre elles : L1 avec L2, L1 avec L3,L2 avec L3. Si les listes étaient en ordre croissant, le lien dassociation existant entre les variables serait brisé.

8 Obtenir le coefficient de corrélation et la droite de régression Appelle la deuxième colonne, Pèse sur STAT. appelle tes deux colonnes comme suit : 2nd puis la touche 1 La calculatrice affiche alors L1. Inscris une virgule. 2nd puis la touche 2 ATTENTION : tu dois inscrire une virgule. La calculatrice affiche L2. Le menu suivant saffichera. EDIT CALC 1: EDIT… 2: SORTA( 3: SORTD( 4: CLRLIST Sélectionne CALC, un nouveau menu saffichera. EDIT CALC 1: 1-Var stats 2: 2-Var stats 3: Linreg(ax+b) 4: Quadreg Sélectionne 3 : Linreg(ax+b) Dans la nouvelle fenêtre, LINREG(ax+b), L2 L1 Pèse sur ENTER.

9 Voici le résultat des calculs : LINREG(ax+b) y= ax+b a = b = r = Le taux de variation. Lordonnée à lorigine. Le coefficient de corrélation. Remarques : 1) La calculatrice ne tient pas compte du chiffre 0; il faut lire : a = 0, r = 0, ) La calculatrice est très précise; cest pour cette raison quil y a autant de chiffres après la virgule. et r 0,70 y = 0,6466x + 30,22 Pour effectuer des calculs précis, il faut garder : 4 chiffres après la virgule pour le paramètre a; 2 chiffres après la virgule pour le paramètre b; 2 chiffres après la virgule pour le coefficient r; Léquation y = 0,65x + 30,2 serait représentative, mais moins précise pour les calculs.

10 LINREG(ax+b) y= ax+b a= b= r = Le coefficient de corrélation indique un lien linéaire moyen entre les variables. r 0,70 Comme il est positif, les deux variables varient dans le même sens; L1 : Masse (kg). L2 : Rythme cardiaque au repos (pulsations/min). EDIT CALC 1: Edit… 2: SortA( 3: SortD( 4: Clrlist (Sur laxe des abscisses). (Sur laxe des ordonnées). L1: Masse (kg) L2: Rythme cardiaque au repos (pulsations/min) quand x augmente, y augmente également. Il semble donc quil y ait un lien moyen entre la masse et le rythme cardiaque au repos. y = 0,6466x + 30,22 Ce qui signifie que lorsque la masse augmente, le rythme cardiaque au repos augmente aussi.

11 EDIT CALC 1: Edit… 2: SortA( 3: SortD( 4: Clrlist L1: Masse (kg) L2: Rythme cardiaque au repos (pulsations/min) Léquation de la droite de régression nous permet de faire des prédictions théoriquement. Exemple : Quelle pourrait être la masse dune personne dont le rythme cardiaque au repos est de 120 pulsations/minute ? 120 0,6466x + 30,22 x 138,1 kg Cela paraît exagéré, mais il faut se souvenir que le coefficient de corrélation (0,70) montre un lien moyen entre les variables. La relation linéaire étant moyenne, limprécision est plus grande. De plus, il existe peut-être dautres facteurs que la masse qui peuvent affecter le rythme cardiaque au repos : cigarette, anxiété, forme physique, etc. y = 0,6466x + 30,22

12 LINREG(ax+b), L2 L1 Remarque Tu peux comparer les listes de données très facilement. LINREG(ax+b) L1, L2 LINREG(ax+b) L1, L3 LINREG(ax+b) L2, L3 Selon le tableau utilisé, masse et rythme cardiaque; masse et nombre dactivités par mois; rythme cardiaque et nombre dactivités par mois. La première colonne appelée est toujours sur laxe des abscisses. LINREG(ax+b) L1, L3 y -0,1154x + 14,87r -0,62 LINREG(ax+b) L2, L3y -0,1755x + 20,04 r -0,86 LINREG(ax+b), L3 L1 LINREG(ax+b), L3 L2 Le lien nest pas très fort et négatif, mais il montre que la masse augmente quand le nombre dactivités par mois diminue. Le lien est plus fort et négatif; il montre que le rythme cardiaque augmente quand le nombre dactivités par mois diminue.

13 ATTENTION LINREG(ax+b) y= ax+b a= b= r = La calculatrice donnera toujours une équation pour la droite de régression même si le coefficient de corrélation est très près de 0. La calculatrice ne réfléchit pas, elle calcule ! Tu dois donc faire attention ! Vérifie toujours le coefficient de corrélation; près de 1,0 ou -1,0 :léquation est représentative; près de 0 :léquation ne lest pas.

14 Revenons sur les données concernant le rythme cardiaque au repos et le nombre dactivités par mois. LINREG(ax+b) L2, L3 rythme cardiaque et nombre dactivités par mois. LINREG(ax+b) L2, L3 y -0,1755x + 20,04r -0,86 Le coefficient de corrélation est négatif, donc le taux de variation aussi; les variables varient donc en sens contraire. Nombre dactivités physiques (par mois) Rythme cardiaque au repos (pulsations/min) Quand x augmente y diminue. Il semblerait que le rythme cardiaque augmente quand une personne diminue ses activités physiques. Le coefficient de corrélation indique un lien assez net entre les deux. Ici encore, il faut faire attention. Le lien est assez net, mais léchantillon ne contient que 15 données.

15 Quelques situations à interpréter

16 Des sociologues québécois ont étudié la relation entre le revenu familial et le taux de fécondité dans 5 communautés culturelles différentes. Voici les coefficients de corrélation linéaire obtenus. Communauté A B C D E r 0,6 -0,3 0 -0,8 0,1 A) Classe ces communautés selon lintensité de la corrélation observée de la plus faible à la plus forte. Réponse :C, E, B, A, D B) Indique la communauté décrite par chacun des énoncés suivants : 1) Les familles les plus riches de cette communauté ont nettement moins denfants que les familles les plus pauvres. 2) En général, plus on est riche dans cette communauté, plus on a denfants, mais il y a des exceptions. 3) Dans cette communauté, toutes les familles ont beaucoup denfants, que celles-ci soient riches ou pauvres na pas dimportance.

17 Pour répondre à ces questions, il faut être capable de se représenter mentalement le diagramme de dispersion. Revenu familial ($) Taux de fécondité (%) Communauté A B C D E r 0,6 -0,3 0 -0,8 0,1 1) Les familles les plus riches de cette communauté ont nettement moins denfants que les familles les plus pauvres. Le terme « nettement » signifie que la corrélation est forte, donc soit 0,6 ou -0,8. Selon la phrase, les variables ne vont pas dans le même sens. Plus le revenu augmente et moins il y a denfants. Imaginons le nuage de points. Réponse :D

18 Pour répondre à ces questions, il faut être capable de se représenter mentalement le diagramme de dispersion. Revenu familial ($) Taux de fécondité (%) Communauté A B C D E r 0,6 -0,3 0 -0,8 0,1 Les termes « il y a des exceptions » signifie que la corrélation est un peu plus faible, donc soit 0,6 ou -0,3. Selon la phrase, les variables vont dans le même sens. Plus le revenu augmente et plus il y a denfants. Imaginons le nuage de points. Réponse :A 2) En général, plus on est riche dans cette communauté, plus on a denfants, mais il y a des exceptions.

19 Pour répondre à ces questions, il faut être capable de se représenter mentalement le diagramme de dispersion. Revenu familial ($) Taux de fécondité (%) Communauté A B C D E r 0,6 -0,3 0 -0,8 0,1 Les termes « na pas dimportance » signifie que la corrélation est très faible, donc soit 0 ou 0,1. Selon la phrase, les variables nont pas vraiment de lien entre elles. Riches ou pauvres, les familles ont beaucoup denfants. Imaginons le nuage de points. Réponse :C ou E 3) Dans cette communauté, toutes les familles ont beaucoup denfants, que celles-ci soient riches ou pauvres na pas dimportance.

20 On a interrogé 30 élèves âgés de 15 à 16 ans sur le temps quils consacrent par semaine à un travail rémunéré à lextérieur de lécole, puis on a évalué sur 10 leur rendement scolaire. Voici le nuage de points représentant ces données Temps de travail (h) Rendement scolaire Travail des jeunes Selon ces données, peut-on dire que le travail des jeunes nuit à leur rendement scolaire ? Selon le nuage, il ny a pas de corrélation très forte entre les deux, Parfois, il faut étudier le nuage par section. Si on considère la première section du nuage, on pourrait dire quentre 0 et 7 heures de travail, le rendement nest pas vraiment affecté. Cependant, de 7 à 20 heures, le rendement est beaucoup plus affecté; en particulier, passé 12 heures. Peut-on établir une relation de cause à effet ? Avant de se prononcer, il faudrait obtenir plus dinformations ! dérange pas les études. donc le travail ne

21 Une nouvelle entreprise de télécommunications à fait son apparition sur le marché de la bourse le 31 décembre dernier. Elle vendait alors ses actions, 14,00 $ chacune. Le tableau suivant présente le prix de cette action à la fermeture, à chaque vendredi. 7 janvier 14,75 14 janvier 17,50 21 janvier 13,25 28 janvier 15,00 4 février 13,75 11 février 14,50 18 février 21,25 25 février 18,00 4 mars 17,75 11 mars 22,50 18 mars 24,25 25 mars 19,00 1 avril 22,50 8 avril 20,25 15 avril 23,00 22 avril 22,75 Valeur de laction à la fermeture, chaque vendredi Dans combien de mois, laction aura-t-elle doublé de valeur ? Pour répondre à cette question, il faut être capable dinterpréter la situation. Le tableau de compilation sera comme suit :

22 7 janvier 14,75 14 janvier 17,50 21 janvier 13,25 28 janvier 15,00 4 février 13,75 11 février 14,50 18 février 21,25 25 février 18,00 4 mars 17,75 11 mars 22,50 18 mars 24,25 25 mars 19,00 1 avril 22,50 8 avril 20,25 15 avril 23,00 22 avril 22,75 Valeur de laction à la fermeture, chaque vendredi 0 14, , , , , , , , , , , , , , , , ,75 Valeur de laction à la fermeture, chaque vendredi Achat : 1 er vendredi 2 e vendredi et ainsi de suite.

23 0 14, , , , , , , , , , , , , , , , ,75 Valeur de laction à la fermeture, chaque vendredi Avec la calculatrice, détermine la droite de régression. y 0,6140x + 13,56r 0,82 x : variable de référence : le nombre de vendredis y : la valeur de laction y 0,614x + 13,56 Dans combien de mois la valeur de laction aura-t-elle doublé, cest-à-dire une valeur de 28,00$. Cherchons, en premier, le nombre de vendredis. 28 0,614x + 13,56 14,44 0,614x 23,52 x

24 0 14, , , , , , , , , , , , , , , , ,75 Valeur de laction à la fermeture, chaque vendredi x 23,52 vendredis Laction aura doublé environ le 24 e vendredi après son lancement, soit dans 8 vendredis après le 16 e, donc dans 2 mois. Attention La droite de régression obtenue indique une tendance théorique; ça ne veut pas dire que cela arrivera nécessairement. Le marché boursier est très fluctuant; il y a tellement de facteurs à considérer.

25 Voici des données concernant le nombre de tests sétant révélés positifs au VIH chez les adultes au Canada de 1996 à Année Nombre de femmes Nombre dhommes Test positifs Selon ces données, si la tendance se maintient, quel sera le pourcentage de femmes parmi lensemble des cas décelés en 2025 ?

26 Année Nombre de femmes Nombre dhommes Test positifs Calculer le pourcentage par année. Il faut dabord faire le total de chaque année; = 2589 reporter sur ce total le nombre de femmes Étape 1 : et multiplier par 100. X ,6643… %. Arrondi au dixième près : 20,7 %. Avec ta calculatrice, tu peux procéder plus rapidement : 535 ÷ ( ) 0,206643… Déplace mentalement la virgule de deux positions vers la droite : 20,7 %.

27 Voici le nouveau tableau en pourcentage , , , , , , , ,5 Année Nombre de femmes (%) Le taux de variation nest pas constant. diminution de 0,1 % augmentation de 2,7 % Existe-t-il un certain lien linéaire ? Pour le savoir, calculons le coefficient de corrélation.

28 , , , , , , , ,5 Année Nombre de femmes (%) r 0,92 Le coefficient est positif et très fort, il existe un lien linéaire. Déterminons donc la droite de régression.

29 , , , , , , , ,5 Année Nombre de femmes (%) r 0,92 Si tu utilises les années : y = 0,6521x – 1280,63 Si tu utilises une référence détude : 0 20,7 1 20,6 2 21,7 3 24, ,5 7 25,6 8 26,4 9 25,5 Année Nombre de femmes (%) r 0,92 y = 0,6521x + 21

30 Si tu utilises les années : Si tu utilises la référence détude : y = 0,6521x – 1280,63 En 2025 : y = 0,6521 X 2025 – 1280,63 y = 39,91… y = 39,9% y = 0,6521x + 21 Soit 29 ans après lannée 0 y = 0,6521 X = 29 y = 39,91… y = 39,9% Le coefficient de corrélation est très fort et positif. Les variables vont dans le même sens; plus les années augmentent, plus il y a de femmes atteintes. Mais, ici encore, léchantillon est très petit.


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