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0 Gestion de Portefeuille 3-203-99 Albert Lee Chun Les modèles indiciels et multifactoriels Séance 7 6 nov 2008.

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1 0 Gestion de Portefeuille Albert Lee Chun Les modèles indiciels et multifactoriels Séance 7 6 nov 2008

2 Albert Lee Chun Portfolio Management 1 Plan de la séance Modèle unifactoriel Modèle multifactoriel Modèle de Fama-French Modèle APT

3 Albert Lee Chun Portfolio Management 2 Alpha

4 3 Supposons qu’un actif a un  et une espérance de rendement de 17%. Selon le MEDAF, nous avons une espérance de rendement de 14,8%. Supposons qu’un actif a un  et une espérance de rendement de 17%. Selon le MEDAF, nous avons une espérance de rendement de 14,8%. Le rendement offert par rapport au risque est donc trop élevé : 17% > 14,8%. L’actif est donc sous-évalué. Le rendement offert par rapport au risque est donc trop élevé : 17% > 14,8%. L’actif est donc sous-évalué. Alpha est égale à 17% - 14,8% = 2,2% Alpha est égale à 17% - 14,8% = 2,2% Mais, selon le MEDAF alpha devrait être de 0. Mais, selon le MEDAF alpha devrait être de 0. Alpha 8-3

5 Albert Lee Chun Portfolio Management 4 La fréquence de distribution des alphas 8-4

6 Albert Lee Chun Portfolio Management 5 Le MEDAF et la réalité Le MEDAF dit que alpha doit toujours être égal à zéro. Est-ce vrai? Le MEDAF dit que alpha doit toujours être égal à zéro. Est-ce vrai? C’est n’est pas parfait mais c’est un des meilleurs modèles disponibles. Pouvons-nous évaluer le MEDAF? Pouvons-nous évaluer le MEDAF? On doit identifier des proxy du portefeuille de marché. Le MEDAF est toujours considéré comme un bon modèle d’évaluation des actifs et il est couramment utilisé. 8-5

7 Albert Lee Chun Portfolio Management 6 Modèle unifactoriel Le rendement des actifs provient de deux sources: Le rendement des actifs provient de deux sources: 1) Facteur macro-économique commun - PIB (produit intérieur brut) - Taux d’intérêt - Etc.… 2) Facteur spécifique à une entreprise 9-6

8 Albert Lee Chun Portfolio Management 7 ß i = sensibilité du rendement de l’actif i au facteur F F = le seul facteur commun; F est imprévisible et est lié au rendement des actifs Modèle unifactoriel Supposons: un indice de marché comme le S&P/TSX est le facteur commun F. 9-7

9 Albert Lee Chun Portfolio Management 8 Équation de régression: Modèle à indice unique  i = alpha  i (r M -r i ) = la composante du rendement expliquée par la fluctuation des marchés (risque systématique) e i = la composante du rendement liée aux événements spécifiques de la firme (risque non systématique) 9-8

10 Albert Lee Chun Portfolio Management 9 Prime de risque Avec: R i = (r i - r f ) R m = (r m - r f ) 9-9 Ri =  i + ß i R m + e i En substituant les primes de risque : Modèle à indice unique = «single index model»

11 Albert Lee Chun Portfolio Management 10  i 2 = variance totale  i 2  m 2 = variance systématique  2 (e i ) = variance non-systématique Mesure des composantes du risque : 9-10

12 Albert Lee Chun Portfolio Management 11 Les modèle indiciels et la diversification : 9-11

13 Albert Lee Chun Portfolio Management 12 La Variance d’un portefeuille : 9-12

14 Albert Lee Chun Portfolio Management 13 Security Characteristic Line Rendement Excédentaire (i) SCL Rendement excédentaire au marché R i =  i + ß i R m + e i 9-13

15 Albert Lee Chun Portfolio Management 14 Modèle multifactoriel

16 Albert Lee Chun Portfolio Management 15 Plus d’un facteur ? Le MEDAF est un modèle à facteur unique: le risque systématique du marché est le seul facteur qui affecte l’espérance de rendement. Le MEDAF est un modèle à facteur unique: le risque systématique du marché est le seul facteur qui affecte l’espérance de rendement. Et s’il y avait plusieurs facteurs qui déterminaient le rendement ? Et s’il y avait plusieurs facteurs qui déterminaient le rendement ? Les modèles multifactoriels permettent l’inclusion de plusieurs sources de risque et donc plusieurs facteurs de risque. Les modèles multifactoriels permettent l’inclusion de plusieurs sources de risque et donc plusieurs facteurs de risque.

17 Albert Lee Chun Portfolio Management 16 Modèle multifactoriel Utilisons d’autres facteurs en plus du rendement du marché: Utilisons d’autres facteurs en plus du rendement du marché: – Exemples : production industrielle, indice à la consommation, inflation, etc. – Nous devons estimer un Béta ou paramètre de sensibilité pour chaque facteur en utilisant des régressions linéaires 9-16

18 Albert Lee Chun Portfolio Management 17 Exemple du modèle multifactoriel R i = E(r i ) + Béta PIB (PIB) + Béta TI (IR) + e i R i = E(r i ) + Béta PIB (PIB) + Béta TI (IR) + e i R i = Rendement de l’actif i Béta PIB = Facteur de sensibilité au PIB Béta TI = Facteur de sensibilité au Taux d’Intérêt e i = e i = événements spécifiques de la firme 9-17

19 Albert Lee Chun Portfolio Management 18 Multifacteur SML E(r) = r f +  PIB PR PIB +  TI PR TI Facteur de sensibilité au PIB  PIB = Facteur de sensibilité au PIB RP PIB = Prime de Risque liée au PIB Facteur de sensibilité au Taux d’Intérêt  TI = Facteur de sensibilité au Taux d’Intérêt RP TI = Prime de Risque liée au TI 9-18

20 Albert Lee Chun Portfolio Management 19 Modèle multifactoriel Le MEDAF dit qu’un unique facteur, et Bèta détermine le rendement excédentaire du portefeuille vis-à-vis du marché Le MEDAF dit qu’un unique facteur, et Bèta détermine le rendement excédentaire du portefeuille vis-à-vis du marché Supposons toutefois qu’il y a d’autres facteurs qui sont tout aussi importants pour déterminer les rendements du portefeuille. Supposons toutefois qu’il y a d’autres facteurs qui sont tout aussi importants pour déterminer les rendements du portefeuille. L’ajout de ces facteurs additionnels nous permettrait d’améliorer la précision de notre modèle L’ajout de ces facteurs additionnels nous permettrait d’améliorer la précision de notre modèle La méthode la plus connue est celle de Gene Fama et de Ken French: le modèle a trois facteurs. La méthode la plus connue est celle de Gene Fama et de Ken French: le modèle a trois facteurs.

21 Albert Lee Chun Portfolio Management 20 Fama French modèle à 3 facteurs

22 Albert Lee Chun Portfolio Management 21 Le Modèle de Fama et French Fama et French ont remarqué que deux types d’actions avaient tendances à surperformer le marché: Fama et French ont remarqué que deux types d’actions avaient tendances à surperformer le marché: (i) petite capitalisation (i) petite capitalisation (ii) high book-to-market ratio (ii) high book-to-market ratio

23 Albert Lee Chun Portfolio Management 22

24 Albert Lee Chun Portfolio Management 23 Action de petite capitalisation surperforme :

25 Albert Lee Chun Portfolio Management 24 Fama-French modèle à 3 facteurs Ils ont rajouté ces deux facteurs au MEDAF traditionnel : Ils ont rajouté ces deux facteurs au MEDAF traditionnel : SMB = “Petite (capitalisation) – Grosse (capitalisation) ” SMB = “Petite (capitalisation) – Grosse (capitalisation) ” "Taille" : On parle ici du rendement des petites capitalisations moins celui des grosses capitalisations. Quand les petites capitalisations performent bien relativement aux grosses, le facteur sera positif. L’inverse est aussi vrai. "Taille" : On parle ici du rendement des petites capitalisations moins celui des grosses capitalisations. Quand les petites capitalisations performent bien relativement aux grosses, le facteur sera positif. L’inverse est aussi vrai. HML = “high [book/market] minus low ” HML = “high [book/market] minus low ” "Valeur ” : C’est le rendement des actions de ‘’valeurs’’ moins le rendement des actions ‘’croissance.’ (positif ou négatif). Le modèle de Fama et French explique 90% des rendements des actions

26 Albert Lee Chun Portfolio Management 25 Théorie des prix d’arbitrage (APT) Arbitrage PricingTheory

27 Albert Lee Chun Portfolio Management 26 APT Ross (1976): modèle intuitif, peu Ross (1976): modèle intuitif, peu d’hypothèses et prend en compte d’hypothèses et prend en compte plusieurs sources de risque plusieurs sources de risque Hypothèses : 1. Il y a un nombre suffisant d’actifs pour éliminer toute source de risque diversifiable. 2. Le rendement des actifs est fonction de K différent facteur de risque 3. Il n’y a pas de possibilité d’arbitrage

28 Albert Lee Chun Portfolio Management 27 APT APT n’a pas besoin des hypothèses suivantes du MEDAF : APT n’a pas besoin des hypothèses suivantes du MEDAF : 1. Les investisseurs cherchent à optimiser leur rendement pour tout niveau de risque (Markowitz) 2. Les rendements sont normalement distribués 3. Le portefeuille de marché contient tous les actifs risqués et il est efficient (risque-rendement optimal)

29 Albert Lee Chun Portfolio Management 28 APT & les portefeuilles bien diversifiés F est un facteur commun F est un facteur commun Pour un portefeuille bien diversifié, le risque diversifiable est près de 0 Pour un portefeuille bien diversifié, le risque diversifiable est près de

30 Albert Lee Chun Portfolio Management 29 Le Rendement comme une Fonction du Facteur Systématique 9-29 Portefeuille bien diversifié Action individuelle

31 Albert Lee Chun Portfolio Management 30 Le Rendement comme une Fonction du Facteur Systématique : une opportunité d’arbitrage 9-30

32 Albert Lee Chun Portfolio Management 31 E(r)% Béta de F RF = 4 A D C.51.0 une opportunité d’arbitrage Exemple : une opportunité d’arbitrage 9-31 àBéta Les primes de risque doivent être proportionnelles à Béta!

33 Albert Lee Chun Portfolio Management 32 Exemple : un déséquilibre Vendre à découvert le portefeuille C, avec Béta =.5 Vendre à découvert le portefeuille C, avec Béta =.5 Utiliser les fonds pour construire un portefeuille rendement plus élevé mais avec un risque équivalent : Portefeuille D Utiliser les fonds pour construire un portefeuille à rendement plus élevé mais avec un risque équivalent : Portefeuille D D =.5x A +.5 x Actif Sans-Risque BétaD a un Béta =.5 Opportunité d’arbitrage: profit sans risque de 1% Opportunité d’arbitrage: profit sans risque de 1% 9-32 àBéta Les primes de risque doivent être proportionnelles à Béta !

34 Albert Lee Chun Portfolio Management 33 APT Security Market Line àBéta Les primes de risque doivent être proportionnelles à Béta ! Cèst MEDAF!

35 Albert Lee Chun Portfolio Management 34 APT s’utilise dans le cas d’un portefeuille bien diversifié, pas nécessairement pour des actions individuelles (MEDAF) APT s’utilise dans le cas d’un portefeuille bien diversifié, pas nécessairement pour des actions individuelles (MEDAF) Avec le APT, il est possible que des actions prises individuellement ne soit pas sur la SML Avec le APT, il est possible que des actions prises individuellement ne soit pas sur la SML APT est plus général, il nous permet de modeler une relation entre l’espérance de rendement et le béta sans faire la supposition de l’existence d’un portefeuille de marché APT est plus général, il nous permet de modeler une relation entre l’espérance de rendement et le béta sans faire la supposition de l’existence d’un portefeuille de marché APT peut être élargi des modèles multifactoriels APT peut être élargi à des modèles multifactoriels APT vs MEDAF 9-34

36 Albert Lee Chun Portfolio Management 35 Un APT multifactorielle Un Portefeuille de facteur est un portefeuille construit d’une façon qu’il aurait un béta = 1 sur un facteur en particulier et des Bétas = 0 sur tout les autres facteurs Un Portefeuille de facteur est un portefeuille construit d’une façon qu’il aurait un béta = 1 sur un facteur en particulier et des Bétas = 0 sur tout les autres facteurs Ces Portefeuilles de Facteur sont les bases d’une ligne de marché d’actifs multifactoriels dans une économie avec plusieurs sources de risque. Ces Portefeuilles de Facteur sont les bases d’une ligne de marché d’actifs multifactoriels dans une économie avec plusieurs sources de risque. 9-35

37 Albert Lee Chun Portfolio Management 36 Où devrions-nous chercher les facteurs? Le modèle APT nous donne aucune indication sur quel facteur utiliser ou ne pas utiliser Le modèle APT nous donne aucune indication sur quel facteur utiliser ou ne pas utiliser Chen, Roll et Ross : Chen, Roll et Ross : – Le rendement est fonction de plusieurs variables macroéconomique et variables extraites du marché des obligations au lieu des rendements du marché Fama and French Fama and French Le rendement est fonction de la taille et du book- to-market value ainsi que les rendements du marché 9-36

38 Albert Lee Chun Portfolio Management 37 En théorie, l’APT suppose un procédé stochastique qui génère des rendements et qui peut être représenté par un modèle a K facteur : En théorie, l’APT suppose un procédé stochastique qui génère des rendements et qui peut être représenté par un modèle a K facteur :Où : R i = rendement d’une période sur l’actif i, i= 1,2,3…,n R i = rendement d’une période sur l’actif i, i= 1,2,3…,n E(Ri) = espérance de rendement de l’actif i E(Ri) = espérance de rendement de l’actif i = sensibilité du rendement de la i eme action au j eme facteur de risque = sensibilité du rendement de la i eme action au j eme facteur de risque = j eme facteur de risque = comprend le risque unique spécifique a l’action i = comprend le risque unique spécifique a l’action i Comme dans le MEDAF, l’APT assume que le risque diversifiable disparaît dans un portefeuille avec plusieurs actifs. Comme dans le MEDAF, l’APT assume que le risque diversifiable disparaît dans un portefeuille avec plusieurs actifs. Modèle de Facteurs généralisé

39 Albert Lee Chun Portfolio Management 38 Un APT multifactoriel Modèle APT L’espérance de rendement d’un actif dépend du produit des primes de risque et des béta (ou Factor Loading) E(Ri) – rf est le prime de risque du i eme. E(Ri) – rf est le prime de risque du i eme portefeuille de facteur.

40 Albert Lee Chun Portfolio Management 39 Exemple d’un problème de APT Supposons que le marché des actions d’une grande économie est décrit par 3 sources de risque: A, B et C Supposons que le marché des actions d’une grande économie est décrit par 3 sources de risque: A, B et C Facteur Prime de Risque A.06 A.06 B.04 B.04 C.02 C.02

41 Albert Lee Chun Portfolio Management 40 Exemple d’un problème de APT Supposons que le rendement de L’Usine de Champignon de Maggy est donné par l’équation suivante et l’espérance de rendement 17%. r(t) = x A +.75 x B +.05 x C + error(t) r(t) = x A +.75 x B +.05 x C + error(t)

42 Albert Lee Chun Portfolio Management 41 Exemple d’un problème de APT Le taux sans risque est de 6% Le taux sans risque est de 6% 1.Trouver l’espérance de rendement de l’usine de champignon en utilisant l’APT 1.Trouver l’espérance de rendement de l’usine de champignon en utilisant l’APT 2. L’action est-elle sous ou sur évaluée et pourquoi ? 2. L’action est-elle sous ou sur évaluée et pourquoi ?

43 Albert Lee Chun Portfolio Management 42 Exemple d’un problème de APT FacteurPrime de risque A.06 A.06 B.04 B.04 C.02 C.02 Taux sans risque = 6% Taux sans risque = 6% Rendement (t) = *A *B +.05*C + e(t) Les facteurs de sensibilités sont en vert Les facteurs de sensibilités sont en vert

44 Albert Lee Chun Portfolio Management 43 Exemple d’un problème de APT FacteurPrime de Risque A.06 A.06 B.04 B.04 C.02 C.02 Taux sans risque = 6% Taux sans risque = 6% Rendement = *A *B +.05*C + e Rendement = *A *B +.05*C + e Substitué la prime de risque dans la formule de APT Substitué la prime de risque dans la formule de APT E[Ri] = * * *0.02 =.151 E[Ri] = * * *0.02 = % Sous-évalué! 15.1% Sous-évalué!

45 Albert Lee Chun Portfolio Management Rappel rapide : 44 Sous-évalué = Prix trop bas = Rendement trop haut Sous-évalué = Prix trop bas = Rendement trop haut Surévalué = Prix trop haut = Rendement trop bas Surévalué = Prix trop haut = Rendement trop bas P(t) = P(t+1)/ 1+ r P(t) = P(t+1)/ 1+ r r = P(t+1)/P(t) – 1 r = P(t+1)/P(t) – 1 où r est le rendement pour un profit risqué P(t+1). où r est le rendement pour un profit risqué P(t+1). Ceci est facile à se rappeler si vous pensez à la relation inverse entre le prix (valeur) aujourd’hui et le rendement.

46 Albert Lee Chun Portfolio Management Exemple 9.3 et P Portefeuille de facteur 1: E(R1) = 10% P Portefeuille de facteur 2: E(R2) = 12% Rf = 4% Portefeuille A avec B1 =.5 et B2 =.75 Portefeuille Q Ponderation B1 =.5: facteur portefeuille 1 Ponderation B2 =.75 : facteur portefeuille 2 Ponderation 1- B1 – B2 = -.25: rf E(Rq) = B1E(R1) + B2 E(R2) + (1-B1-B2) Rf = rf + B1(E(R1) –rf )+ B2(E(R2) – rf) =13%

47 Albert Lee Chun Portfolio Management Exemple Supposons que: E(R A ) = 12% < 13% Portefeuille Q Ponderation B1 =.5: facteur portefeuille 1 Ponderation B2 =.75: facteur portefeuille 2 Ponderation 1- B1 – B2 = -.25 : rf E(R q ) = 12% $1 x E(Rq) - $1x E(R A )=1% Opportunité d’arbitrage: profit sans risque de 1%!

48 Albert Lee Chun Portfolio Management 47 Pour la semaine prochaine Nous allons continuer la lecture du chapitre 12 Nous allons continuer la lecture du chapitre 12 Efficience des marchés (Chapitre 10; Section 11.1) Efficience des marchés (Chapitre 10; Section 11.1)


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