Filtre de Kalman – Préliminaires (1)

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1 Filtre de Kalman – Préliminaires (1)
Théorème

2 Filtre de Kalman – Préliminaires (2)
Estimateur à variance minimale Estimer constante, a, telle que est minimale Résultat: En effet:

3 Filtre de Kalman – Préliminaires (3)
Meilleur estimateur non linéaire de la variable x en termes de y y et x deux variables aléatoires; densité de probabilité conjointe f(x,y). Estimer x par une fonction g(y) de sorte que est minimale Résultat:

4 Filtre de Kalman – Préliminaires (4)
Démonstration

5 Filtre de Kalman – Modèle et hypothèses (1)
Système décrit par modèle en variables d’état

6 Filtre de Kalman – Formulation du problème
Déterminer l’estimateur de variance minimale de l’état à l’instant k étant donné les mesures jusqu’à l’instant k-1, c-à-d tel que

7 Filtre de Kalman Considérons le modèle en variables d’état ci-dessus et définissons

8 Filtre de Kalman – Démonstration(1)
Equations d’état du système

9 Filtre de Kalman – Démonstration (2)
Variance

10 Filtre de Kalman – Démonstration (3)
Par application du théorème (Préliminaire (1)) - Moyenne

11 Filtre de Kalman – Démonstration (4)
Variance

12 Filtre de Kalman - Innovation
Prédiction de y(k) Innovation

13 Filtre de Kalman permanent (1)
Sous conditions données à la page suivante, Filtre prend la forme

14 Filtre de Kalman permanent (2)
Théorème Soit L tel que Si les 3 conditions suivantes sont remplies: 1) (A,L) stabilisable 2) (C,A) détectable 3) Alors

15 Filtre de Kalman permanent (3)
Variance de l’erreur d’estimation minimisée asymptotiquement, c-à-d

16 Filtre de Kalman – Défaut présent (1)
Equations système supervisé + filtre de Kalman en présence d’un défaut En l’absence de défaut, solution

17 Filtre de Kalman – Défaut présent (2)
Donc L (r(k))=N (

18 Bibliographie G.C. Goodwin et K.S. Sin. Adaptive filtering, prediction and control. Prentice-Hall, 1984 A. Papoulis. Probability, random variables and stochastic processes. McGraw Hill, 1965 R.S. Mangoubi. Robust estimation and failure detection: a concise treatment Springer 1998