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1 Filtre de Kalman – Préliminaires (1) Théorème. 2 Filtre de Kalman – Préliminaires (2) Estimateur à variance minimale Estimer constante, a, telle que.

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1 1 Filtre de Kalman – Préliminaires (1) Théorème

2 2 Filtre de Kalman – Préliminaires (2) Estimateur à variance minimale Estimer constante, a, telle que est minimale Résultat: En effet:

3 3 Filtre de Kalman – Préliminaires (3) Meilleur estimateur non linéaire de la variable x en termes de y y et x deux variables aléatoires; densité de probabilité conjointe f(x,y). Estimer x par une fonction g(y) de sorte que est minimale Résultat:

4 4 Filtre de Kalman – Préliminaires (4) Démonstration

5 5 Filtre de Kalman – Modèle et hypothèses (1) Système décrit par modèle en variables détat

6 6 Filtre de Kalman – Formulation du problème Problème: Déterminer lestimateur de variance minimale de létat à linstant k étant donné les mesures jusquà linstant k-1, c-à-d tel que

7 7 Filtre de Kalman Considérons le modèle en variables détat ci-dessus et définissons

8 8 Filtre de Kalman – Démonstration(1) Equations détat du système

9 9 Filtre de Kalman – Démonstration (2) - Variance

10 10 Filtre de Kalman – Démonstration (3) Par application du théorème (Préliminaire (1)) - Moyenne

11 11 Filtre de Kalman – Démonstration (4) - Variance

12 12 Filtre de Kalman - Innovation Prédiction de y(k) Innovation

13 13 Filtre de Kalman permanent (1) Sous conditions données à la page suivante, Filtre prend la forme

14 14 Filtre de Kalman permanent (2) Théorème Soit L tel que. Si les 3 conditions suivantes sont remplies: 1) (A,L) stabilisable 2) (C,A) détectable 3) Alors

15 15 Filtre de Kalman permanent (3) Variance de lerreur destimation minimisée asymptotiquement, c-à-d

16 16 Filtre de Kalman – Défaut présent (1) Equations système supervisé + filtre de Kalman en présence dun défaut En labsence de défaut, solution

17 17 Filtre de Kalman – Défaut présent (2) Donc L (r(k))=N (

18 18 Bibliographie G.C. Goodwin et K.S. Sin. Adaptive filtering, prediction and control. Prentice-Hall, 1984 A. Papoulis. Probability, random variables and stochastic processes. McGraw Hill, 1965 R.S. Mangoubi. Robust estimation and failure detection: a concise treatment Springer 1998


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