Par Fabre Maxime, Lepot Florian, Salib Jérémy, Urbaneja Dorian

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1 Par Fabre Maxime, Lepot Florian, Salib Jérémy, Urbaneja Dorian
Polynôme de degré 5 Par Fabre Maxime, Lepot Florian, Salib Jérémy, Urbaneja Dorian

2 Présentation Fabre Maxime (20/11/92) Lepot Florian (14/12/91)
Salib Jérémy (19/10/92) Urbaneja Dorian (31/01/92) 𝑃 𝑥 = 𝑥 5 − 14𝑥 𝑥 3 − 20𝑥 2 +31𝑥+1

3 Plan Un peu d’histoire… Résolution mathématique Programme Cardan
Ferrari Résolution mathématique Première racine Méthode de Ferrari Méthode de Cardan Racines Programme Dichotomie Partie imaginaire

4 Un peu d’histoire - Cardan
24 septembre 1501 Etudes de médecine 1539, résolution des équations du type x3+px=q, Tartaglia Maître aux jeux de cartes Horoscope du Christ Meurt le 21 septembre 1576 (selon ses prédictions)

5 Un peu d’histoire - Ferrari
Né le 2 février 1522 Issu d’une famille pauvre A 14 ans, secrétaire chez Cardan Talent important Travaille sur la résolution d’équation du 4eme degré Querelle avec Tartaglia Précepteur du sénateur de Milan Empoisonné par sa sœur

6 Méthode mathématique Dichotomie et division euclidienne Ferrari Cardan
Racines

7 Première racine Obtention par dichotomie (calculatrice)
Obtention du polynôme de degré 4 par division euclidienne 𝑥 5 − 14𝑥 𝑥 3 − 20𝑥 2 +31𝑥+1 𝑥 −( 𝑥 𝑥 4 ) − 𝑥 𝑥 3 − 20𝑥 𝑥 +1 −( − 𝑥 4 − 𝑥 3 ) 𝑥 3 − 20𝑥 2 +31𝑥 +1 −( 𝑥 𝑥 2 ) − 𝑥 𝑥 +1 −(− 𝑥 2 − 𝑥) 𝑥 +1 −( 𝑥 +1) 𝑋 4 − 𝑥 𝑥 2 − 𝑥

8 Méthode de Ferrari De la forme 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥 4 + 𝑏𝑥 3 + 𝑐𝑥 2 +𝑑𝑥 +𝑒
𝑃 𝑥 = 𝑥 4 − 𝑥 𝑥 2 − 𝑥 𝑥 4 − 𝑥 𝑥 2 − 𝑥 De la forme 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥 4 + 𝑏𝑥 3 + 𝑐𝑥 2 +𝑑𝑥 +𝑒 On pose : x = Y – b/4a puis division par a On obtient : 𝑎(𝑌− 𝑏 4𝑎 ) 𝑏(𝑌− 𝑏 4𝑎 ) 3 + 𝑐(𝑌− 𝑏 4𝑎 ) 2 + 𝑌− 𝑏 4𝑎 + 𝑒= 𝑌 4 + − 3 𝑏 2 8𝑎 + 𝑐 𝑎 𝑌 𝑏 𝑎 3 − 𝑏𝑐 2 𝑎 𝑑 𝑎 𝑌−3 𝑏 4𝑎 𝑐 𝑏 𝑎 3 − 𝑏𝑑 4 𝑎 𝑒 𝑎 Même équation que la méthode De la forme : 𝑌 4 + 𝐴 𝑌 2 + 𝐵𝑌+𝐶

9 Méthode de Ferrari 𝑌 2 + 𝑢 2 2 = 𝑌 4 + 𝑢𝑌 2 + 𝑢 2 4
𝑌 4 − 𝑌 2 − 𝑌− =0 𝑌 2 + 𝑢 = 𝑌 4 + 𝑢𝑌 2 + 𝑢 2 4 On impose les conditions u A et on force D = 0, où D est le discriminant de l'équation en X du second membre 𝑢 3 −𝐴 𝑢 2 −4𝐶 𝑢+4𝐴𝐶−𝐵 2 =0

10 Méthode de Cardan 𝑢 3 + 54.38879714𝑢 2 +1022.679154𝑢+2937.648325=0
𝑙 𝑢 3 + 𝑚𝑢 2 +𝑛𝑢+𝑜=0 On pose 𝑢=𝑇− 𝑚 3𝑙 𝑙 𝑇 3 + −𝑚+𝑚 𝑇 𝑚 2 3𝑙 − 2 𝑚 2 3𝑙 +𝑛 𝑇+ − 𝑚 𝑙 𝑚 3 9 𝑙 2 − 𝑚𝑛 3𝑙 +𝑜 = 0, puis division par l 𝑇 𝑛 𝑙 − 𝑚 2 3 𝑙 2 𝑇+ 2 𝑚 𝑙 3 + 𝑜 𝑙 − 𝑚𝑛 3 𝑙 2 =0 On a donc une équation de la forme: 𝑇 3 +𝑝𝑇+𝑞=0 𝑝 = et 𝑞=− 𝑇 𝑇− =0

11 Méthode de Cardan - Racine
On pose : 𝑇=𝑣+𝑤 𝑣 3 + 𝑤 3 =−𝑞= 𝑣 3 . 𝑤 3 = − 𝑝 3 27 On pose: 𝐷= 𝑞 𝑝 = On a : 𝐷 >0, on a donc l’unique solution : 𝑇1=𝑣+𝑤= 3 − 𝑞 𝑞 𝑝 − 𝑞 2 − 𝑞 𝑝 3 27 𝑇1= 𝑢=𝑇− 𝑏 3𝑎 =𝑇1− =− 𝑢 𝑢 𝑢 =0

12 Racines 𝑌 2 + 𝑢 2 2 = 𝑢−𝐴 𝑌−𝑧 2 𝑧= 𝐵 2(𝑢−𝐴) =−2.25402989
𝑌 2 + 𝑢 = 𝑢−𝐴 𝑌−𝑧 2 𝑧= 𝐵 2(𝑢−𝐴) =− 𝑌 2 + − = 𝑌 2 équations: (4) 𝑌 2 − = 𝑌 = 𝑌 2 − 𝑌− =0 𝑌 2 + − =− 𝑌 = 𝑌 𝑌 = 0 On remplace Y par 𝑥+ 𝑏 4𝑎 dans les 2 expressions pour arriver à du 2e degré

13 Racines (4): 𝑥 2 −14.15132595𝑥+19.51585578=0 Delta= 𝑏 2 −4𝑎𝑐
(4): 𝑥 2 − 𝑥 =0 Delta= 𝑏 2 −4𝑎𝑐 𝑥1= 𝑥2= (5): 𝑥 𝑥 =0 𝑥3= − − 𝑖 𝑥4= − 𝑖 Constat

14 Méthode informatique Dichotomie Division euclidienne Ferrari Cardan
Racines

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19 Conclusion