La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Arithmétique : partie des mathématiques étudiant les propriétés des nombres entiers et rationnels.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Arithmétique : partie des mathématiques étudiant les propriétés des nombres entiers et rationnels."— Transcription de la présentation:

1 Arithmétique : partie des mathématiques étudiant les propriétés des nombres entiers et rationnels

2 Nombres entiers : I. Nombres entiers : Soient n et p deux nombres entiers ( p 0 ) p divise n si le reste de la division euclidienne de n par p est nul. Exemples : 12 divise 252 car 252 : 12 = 21on dit que 252 est un multiple de 12 8 divise 40 car 40 = 8 x 5on dit que 40 est un multiple de 8 13 ne divise pas 161 car 161 = 13 x ( le reste de la division de 161 par 13 est égal à 5 ) Définition : 1.Diviseur dun nombre :

3 Soient a et b deux nombres entiers, un diviseur commun à a et b est un entier qui divise à la fois a et b. 2.Diviseur commun : Exemple : 5 divise à la fois 45 et 120 donc 5 est un diviseur commun à 45 et 120 Définition :

4 3.Plus Grand Diviseur Commun ( PGCD ): Quand deux nombres ont plusieurs diviseurs communs positifs, le plus grand de ces diviseurs est appelé le PGCD ( Plus Grand Commun Diviseur ). Définition : Les diviseurs communs à 24 et 56 sont Exemple : Le PGCD de 24 et 56 est 8.On note P GCD( 24,56) = 8 1, 2, 4 et 8 Quelques méthodes pour trouver le PGCD de deux nombres entiers :

5 a. En déterminant tous les diviseurs communs : Exercice : Trouver le P.G.C.D de 28 et 70. Méthode : On cherche tous les diviseurs de 28 puis de 70 ( en faisant un tableau par exemple ). On choisit le plus grand parmi les diviseurs communs, cest le PGCD Donc PGCD ( 28, 70 ) = 14

6 b. En utilisant lalgorithme d Euclide : BUT : déterminer le PGCD de deux nombres entiers positifs quand ces nombres sont grands. Exemple : Déterminer PGCD ( 344, 602 ) : Méthode : A AA Algorithme dEuclide 1 ère étape : On effectue la division euclidienne du plus grand des deux nombres par le plus petit. 2 ème étape : On effectue la division euclidienne du diviseur par le reste de la division précédente, jusquà ce que le reste de la division soit égal à 0. 3 ème étape : Le PGCD est le dernier reste non nul.

7 Donc 602 = 344 x Donc 344 = 258 x Donc 258 = 86 x Doù PGCD ( 602, 344 ) = 86

8 c. Une troisième méthode : la décomposition en produit de facteurs premiers On décompose chaque nombre en un produit de facteurs premiers. Ensuite on multiplie les facteurs premiers communs aux deux nombres. Le résultat est le PGCD de ces deux nombres Méthode : Exemple : Trouver le PGCD de 840 et 2772

9 840 Les diviseurs premiers = 2 3 x 3 x 5 x = 2 2 x 3 2 x 7 x 11 etDonc Ainsi : PGCD ( 840, 2772 ) = 2 2 x 3 x 7 = 84

10 4. Nombres premiers entre eux : Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1. Définition : PGCD ( 12, 18) = donc 12 et 18 ne sont pas premiers entre eux. Exemples : PGCD ( 15, 23 ) = donc 15 et 23 sont premiers entre eux.

11 5. Fractions irréductibles : Soient deux nombres entiers a et b ( b 0 ), Si a et b sont premiers entre eux alors la fraction est irréductible Propriété : est irréductible ( pas simplifiable ) car PGCD ( 783 ; 257 ) = 1 Exemple : ( à vérifier en utilisant lalgorithme dEuclide )

12 Ensembles de nombres : II. Ensembles de nombres :

13

14

15


Télécharger ppt "Arithmétique : partie des mathématiques étudiant les propriétés des nombres entiers et rationnels."

Présentations similaires


Annonces Google