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PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C PRO-1027. Approximation de fonctions (cas non- linéaire u Approximation linéaire multivariée –Méthode du moindre carré.

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1 PROGRAMMATION SCIENTIFIQUE EN C PRO-1027

2 Approximation de fonctions (cas non- linéaire u Approximation linéaire multivariée –Méthode du moindre carré u Approximation non-linéaire u Travail pratique 4 b)

3 Approximation linéaire multivariée u Cherchons une droite dapproximation de la forme y = b 0 + b 1 x 1 + b 2 x b p x p u Posons Y i valeurs expérimentales faisant référence aux valeurs des variables x ij, i 1,N, j 0,p, ou N est le nombre de points et p le nombre de variables u Et y i une valeur calculée (approximation) par: où x ij représente les valeurs des variables

4 Approximation linéaire multivariée u Cherchons le polynôme dapproximation qui appro- xime le mieux les données expérimentales –Définissons un terme derreur de la forme: e i = Y i - y i –Le critère de moindre carré exige que: soit minimum (N est le nombre points de contrôle)

5 Approximation linéaire multivariée u Cherchons les valeurs de b j qui minimise S

6 Approximation linéaire multivariée u En divisant par -2 et en distribuant la nous obtenons

7 Approximation non-linéaire u Nous pouvons effectuer lapproximation de N points de contrôle (mesures) à laide de polynômes de de- gré n –SI N = n + 1 => polynôme dinterpolation –SI N > n + 1 => polynôme d approximation u Les polynômes dapproximation prennent alors la forme: y = b 0 + b 1 x + b 2 x b n x n

8 Approximation non-linéaire u Cherchons le polynôme dapproximation qui appro- xime le mieux les données expérimentales –Définissons un terme derreur de la forme: e i = Y i - y i –Le critère de moindre carré exige que: soit minimum (N est le nombre points de contrôle)

9 Approximation non-linéaire u Cherchons les valeurs de b j qui minimise S

10 Approximation non-linéaire u Après simplifications

11 Approximation non-linéaire u Sous forme matricielle nous avons:

12 Approximation non-linéaire u Exemple avec N = 11 et n = 2, nous cherchons le polynôme dapproximation de la fonction bruitée y = 1 - x x 2

13 Approximation non-linéaire

14 u Nous avons sous forme matricielle

15 Approximation non-linéaire u Après avoir résolu ce système déquations nous obtenons comme solution: b 0 = b 1 = b 2 = u Ce qui permet de déduire le polynôme dapproxima- tion: y = x X 2

16 Approximation non-linéaire u Le degré du meilleur polynôme dapproximation est déterminé en évaluant le critère suivant: Nous cherchons alors le polynôme de degré n pour lequel 2 est minimal

17 Approximation non-linéaire u Dans le cas de notre exemple

18 Travail pratique 4 u Approximation dun ensemble de données portant sur les cotes boursières (XXM)

19 Travail pratique 4 a) u Résultats attendus

20 Travail pratique 4 b) u Résultats attendus


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