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Examen partiel #3 Mercredi le 15 décembre de 15h30 à 17h20 Salle 1112 du pavillon Pouliot. Matière de l'examen: - Livre de Lay: sections 5.3, 5.4, 5.6,

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1 Examen partiel #3 Mercredi le 15 décembre de 15h30 à 17h20 Salle 1112 du pavillon Pouliot. Matière de l'examen: - Livre de Lay: sections 5.3, 5.4, 5.6, 5.7, 6.1, 6.2, 6.3, Notes de cours (guide d'études): sections 11 à Devoirs: 9 à 12.

2 Rappel... Orthogonalité. –Produit scalaire, module; –Ensembles orthogonaux.

3 Aujourdhui Projections orthogonales. Procédure de Gram-Schmidt

4 14. Projections orthogonales Dans la section précédente, nous avons étudié la projection dun vecteur y sur un espace à une dimension. Nous allons maintenant étendre ce concept à des sous-espaces de R n.

5 Décomposition dun vecteur On peut toujours décomposer un vecteur en une somme de deux vecteurs en utilisant les bases de lespace vectoriel. y = z 1 + z 2 z 1 Span{u 1,…, u l } z 2 Span{u l+1,…, u n }

6 Décomposition dun vecteur (suite) En particulier, si {u 1,…, u n } est une base orthogonale, on aura z 1 z 2. W = Span{u 1,…, u l } W = Span{u l+1,…, u n }

7 Théorème de la décomposition orthogonale Soit W un sous-espace de R n ayant une base orthogonale. Alors chaque vecteur y dans R n peut être écrit de façon unique selon

8 Théorème de la décomposition orthogonale (suite) En fait, si {u 1, u 2,..., u p } est une base orthogonale quelconque de W, alors Le vecteur est appelé projection orthogonale de y sur W et est dénoté par proj W y.

9 W y Décomposition orthogonale

10 Interprétation géométrique y 0 u1u1 u2u2

11 Propriétés des projections orthogonales Si y W = Span{u 1,,..., u p }, alors proj W y = y, où {u 1,..., u p } est une base orthogonale de W.

12 Théorème de la meilleure approximation Soit W un sous-espace de R n, y un vecteur quelconque dans R n, et la projection orthogonale de y sur W déterminée par une base orthogonale de W. Alors est le point le plus proche de y dans W, au sens où pour tout vecteur v dans W distinct de.

13 W y Projection orthogonale de y sur W v 0

14 Théorème de la projection orthogonale Si {u 1, u 2,..., u p } est une base orthonormale dun sous-espace W de R n, alors Si U = [u 1 u 2... u p ], alors

15 Procédure de Gram-Schmidt La procédure de Gram-Schmidt est un algorithme simple pour produire une base orthogonale ou orthonormale pout tout sous-espace de R n.

16 La méthode de Gram-Schmidt Soit une base {x 1,..., x p } pour un sous- espace W de R n. On définit

17 La méthode de Gram-Schmidt (suite) Soit une base {x 1,..., x p } pour un sous- espace W de R n. On définit

18 La méthode de Gram-Schmidt (suite et fin) {v 1,..., v p } est alors une base orthogonale pour W. De plus Span{v 1,..., v k } = Span {x 1,..., x k } pour 1 k p

19 La décomposition QR Utilisé dans plusieurs algorithmes numériques: –calcul des valeurs propres; –solutions déquations matricielles.

20 Théorème: décomposition QR Si une matrice A m n possède des colonnes linéairement indépendantes, alors A peut être décomposée selon A = QR, où Q est une matrice m n dont les colonnes forment une base orthonormale de Col A et R est une matrice n n, triangulaire supérieure et réversible, avec tous les éléments de sa diagonale > 0.

21 Méthode pour la décomposition QR Q: on utilise Gram-Schmidt. R: on utilise le fait que Q est une matrice orthogonale. Q T A = Q T (QR) = IR = R

22 Devoir 12 (Ne pas remettre) 1) ) ) ) [M] ) ) Calculer la décomposition QR pour la matrice de ) [M] Calculer la décomposition QR pour la matrice de

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