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Méthode des Ensembles de Niveaux par Eléments Finis P 1 Jérôme Piovano Stage de DEA Sous lencadrement de Théodore Papadopoulo INRIA – Sophia Antipolis.

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1 Méthode des Ensembles de Niveaux par Eléments Finis P 1 Jérôme Piovano Stage de DEA Sous lencadrement de Théodore Papadopoulo INRIA – Sophia Antipolis Projet Odyssée

2 Introduction 1. Segmentation dimage Trouver des regions dimages selon certaines caractéristiques Éléments finis Méthode dapproximation discrète de fonctions continues Implémenter la méthode des ensembles de niveaux à laide des éléments finis Ensembles de niveaux ou « Levels Sets » Modélise lévolution dune hypersurface à travers une fonction continue Application à la segmentation dimage

3 Plan Définitions Ensemble de niveaux Éléments finis Modélisation Équations dévolution Discrétisation temporelle Discrétisation spatiale Algorithmique Notion de bande Évolution de la bande Simplification des équations Résultats Évolution par courbure moyenne Évolution pour contour géodésiques Conclusion

4 Définitions Évolution de linterface par lintermédiaire de la fonction distance = 1 = Détection de contours géodésiques. Schémas par « bande » à bases de différences finies instabilité Ensembles de niveaux ou Levels Sets t + | r | = 0; Interface représentée par le niveau 0 dune « fonction distance »

5 Définitions Approximation discrète dune fonction continue 1. Partitionnement de lespace en éléments formant un maillage 2. Calcul des valeurs de aux sommets du maillage 3. Représentation de par interpolation linéaire de ses valeurs aux sommet Méthode des éléments finis

6 Plan Définitions Ensemble de niveaux Éléments finis Modélisation Équations dévolution Discrétisation temporelle Discrétisation spatiale Algorithmique Notion de bande Évolution de la bande Simplification des équations Résultats Évolution par courbure moyenne Évolution pour contour géodésiques Conclusion

7 Modélisation Soit u lapproximation de la fonction distance par élément finis u définie par 2 facteurs : Espacement constant entre ses différents niveaux Vitesse dévolution Calculs des valeurs de u sur les sommets du maillage en minimisant une énergie associée a ces 2 termes ( r x u) = 0 u t - = 0 Calcul de la fonction distance grâce aux éléments finis

8 Modélisation u(x, t + t) = u(x, t) + v(x, t) v(x, t) = u(x, t + t) - u(x, t) v(x, t) = t u t (x, t) Exprimer lévolution de u sous forme discrète dans le temps. v = Pas dévolution Discretisation temporelle ( r x u) = 0 u t - = 0 ( r x u + r x v) = 0 v - t = 0

9 Modélisation Discretisation spatiale Discretisation de Galerkin : Utilise des fonctions de « bases » comme des fonctions tests mesurant la déviation au voisinage du sommet auquel elles sont attachées ( r x u + r x v) = 0 v - t = 0 s (( r u + r v) 2 - 1) i = 0 8 i 2 1 … n s (v - t ) i = 0 8 i 2 1 … n Résolution dun système de 2n équations à n inconnues qui est donc surdéterminé Résolution par moindres carrés

10 Modélisation On peut exprimer les équations précédente en fonction des valeurs aux sommets du maillage de u et v Reformulation des équations s (( r u + r v) 2 - 1) i (u + v) T Q i (u + v) - s i s (v - t ) i P i v - t s i Les vitesses nécessitent le calcul dune dérivée seconde théoreme de Green

11 Plan Définitions Ensemble de niveaux Éléments finis Modélisation Équations dévolution Discrétisation temporelle Discrétisation spatiale Algorithmique Notion de bande Évolution de la bande Simplification des équations Résultats Évolution par courbure moyenne Évolution pour contour géodésiques Conclusion

12 Algorithmique Adaptation du problème à un maillage 2D régulier

13 Algorithmique La fonction distance nest pas calculé sur la totalité de lespace, mais au voisinage du niveau 0 Ajout des éléments proches du niveau 0 Suppression des éléments éloignés du niveau 0

14 Algorithmique Dynamique dévolution

15 Algorithmique Les equations devolutions peuvent se simplifier sur des maillages 2D réguliers à des calculs par difference finies. Sur un maillage de type: (u + v) T Q 0 (u + v) 1/6((S 2 - S 3 ) 2 + (S 3 - S 4 ) 2 + (S 5 - S 6 ) 2 + (S 6 - S 1 ) 2 ) + 1/3((S 1 - S 0 ) 2 + (S 2 - S 0 ) 2 + (S 4 - S 0 ) 2 + (S 5 - S 0 ) 2 )

16 Algorithmique Avantage de la methode Les equations devolutions peuvent se simplifier sur des maillages 2D réguliers à des calculs par difference finies. Sur un maillage de type:

17 Fin


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