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11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours.

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1 11/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Troisième cours

2 11/09/07 Rappel du dernier cours: Nous avons vu les concepts suivants •Valeur actuelle d’un capital

3 11/09/07 Rappel du dernier cours: Nous avons vu les concepts suivants •Valeur actuelle d’un capital •Fonction d’actualisation

4 11/09/07 Rappel du dernier cours: Nous avons vu les concepts suivants •Valeur actuelle d’un capital •Fonction d’actualisation •Taux effectif d’escompte

5 11/09/07 Rappel du dernier cours: Nous avons vu les concepts suivants •Valeur actuelle d’un capital •Fonction d’actualisation •Taux effectif d’escompte •Équivalence de taux

6 11/09/07 Sur ce dernier point, nous avons vu que lorsque le taux effectif d’intérêt et le taux effectif d’escompte sont équivalents.

7 11/09/07 Exemple 1: Alex fait l’achat d’appareils électroménagers au montant total de 2400$ (incluant les taxes). Le vendeur lui fait deux offres: 1) soit qu’il paie 2400$ dans un an 2) soit qu’il paie immédiatement et a un escompte de 10%.

8 11/09/07 Exemple 1 (suite): Si le taux d’intérêt est de 11% par année, laquelle des deux options est la plus avantageuse pour Alex?

9 11/09/07 Exemple 1 (suite): Si le taux d’intérêt est de 11% par année, laquelle des deux options est la plus avantageuse pour Alex? À quel taux d’escompte les deux options sont équivalentes?

10 11/09/07 Solution pour la première question: Dans la première option, la valeur actuelle du 2400$ payable dans un an est

11 11/09/07 Solution pour la première question: Dans la première option, la valeur actuelle du 2400$ payable dans un an est Dans la seconde option, la valeur après l’escompte est

12 11/09/07 Solution de la première question (suite): Nous pouvons conclure que la 2 e option est la plus avantageuse pour Alex.

13 11/09/07 Solution pour la deuxième question: Notons par le taux d’escompte pour lequel les deux options sont équivalentes. Nous avons alors

14 11/09/07 Donc d = %. Ceci est tout simplement la formule d’équivalence.

15 11/09/07 Autres formules d’équivalence: Nous avons vu que Cette dernière formule peut être interprétée de la façon suivante:

16 11/09/07 Explication de la formule: Considérons un capital de 1$ à la fin de la période. Dans ce cas, sa valeur actuelle est

17 11/09/07 Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période:

18 11/09/07 Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: Capital accumulé à la fin de la période:

19 11/09/07 Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: Capital accumulé à la fin de la période: Intérêt:

20 11/09/07 Autres formules d’équivalence: Nous avons que Cette dernière formule peut être interprétée de la façon suivante:

21 11/09/07 Explication de la formule: Considérons un capital de 1$ à la fin de la période. Dans ce cas, sa valeur actuelle est

22 11/09/07 Autres formules d’équivalence: Nous avons aussi que Cette dernière formule peut être interprétée de la façon suivante:

23 11/09/07 Explication de la formule: Considérons deux prêts. Le premier prêt est de 1$ et sera remboursé par le versement de dans un an.

24 11/09/07 Explication de la formule: (suite) Le second prêt sera remboursé par le versement de 1$ dans un an et l’emprunteur recoit initialement

25 11/09/07 Explication de la formule: (suite) La différence des montants prêtés est

26 11/09/07 Explication de la formule: (suite) La différence des montants prêtés est L’intérêt sur la différence entre les montants prêtés est

27 11/09/07 Explication de la formule: (suite) La différence des montants prêtés est L’intérêt sur la différence entre les montants prêtés est Mais ceci est aussi la différence entre l’intérêt des deux prêts

28 11/09/07 Il y a donc 4 formules à retenir:

29 11/09/07 Il y a donc 4 formules à retenir:

30 11/09/07 Il y a donc 4 formules à retenir:

31 11/09/07 Il y a donc 4 formules à retenir:

32 11/09/07 Escompte composé: (Description) Dans cette situation, nous supposons que le taux effectif d’escompte est le même pour chaque période. Si nous notons le taux d’escompte composé par alors nous pouvons calculer la fonction d’actualisation

33 11/09/07 Principal investi au début de la 1 ère période pour avoir 1$ à la fin de la 1 ère période:

34 11/09/07 Principal investi au début de la 1 ère période pour avoir 1$ à la fin de la 1 ère période: Principal investi au début de la 1 ère période pour avoir avoir 1$ à la fin de la 2 e période: En effet, pour obtenir 1$ à la fin de la 2 e période, il faut

35 11/09/07 à la fin de la 1 ère période et au début de la 1 ère période.

36 11/09/07 Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonction d’actualisation dans l’escompte composé:

37 11/09/07 et nous sommes en mesure de calculer la fonction de capitalisation: L’escompte composé est équivalent à l’intérêt composé. L’équivalence est obtenue par la formule:

38 11/09/07 Escompte simple: (Description) Dans cette situation, nous supposons que le montant d’escompte est le même pour chaque période. Si nous notons le taux d’escompte simple par alors nous pouvons calculer la fonction d’actualisation

39 11/09/07 à la fin de la 1 ère période et

40 11/09/07 à la fin de la 1 ère période et au début de la 1 ère période.

41 11/09/07 Nous pouvons poursuivre ainsi et obtenir la fonction d’actualisation dans l’escompte simple: Noter que nous devons supposer

42 11/09/07 et nous sommes en mesure de calculer la fonction de capitalisation:

43 11/09/07 et nous sommes en mesure de calculer la fonction de capitalisation: L’escompte simple n’est pas équivalent à l’intérêt simple!

44 11/09/07 En effet, nous ne pouvons pas trouver un taux d’intérêt tel que

45 11/09/07 Exemple 2: Alex contracte un prêt auprès de Béatrice. Il lui remboursera 4000$ dans 5 ans. Le taux d’escompte composé de ce prêt est 4.75% par année. Quel est le montant que Béatrice remet à Alex au début des 5 ans?

46 11/09/07 Exemple 2: (suite) Nous devons calculer la valeur actuelle de 4000$ payable dans 5 ans au taux d’escompte composé de 4.75%. Nous obtenons

47 11/09/07 Exemple 2: (Suite) Nous aurions aussi pu calculer le taux d’intérêt composé équivalent au taux d’escompte 4.75% par année c’est-à-dire que le taux équivalent est %. Nous obtenons

48 11/09/07 Exemple 2: (Suite) Il nous faut calculer la valeur actuelle de 4000$ payable dans 5 ans au taux d’intérêt % par année. Nous obtenons que Alex reçoit

49 11/09/07 Exemple 3: Cléo contracte un prêt auprès de la banque desRichards. Elle recoit 5875$ maintenant et elle remboursera ce prêt en versant L dollars dans 5 mois. Le taux d’escompte simple de ce prêt est 5% par année. Quel est le montant remboursé L?

50 11/09/07 Exemple 3: (suite) Nous voulons calculer la valeur accumulée de 5875$ dans 5 mois au taux d’escompte simple 5% par année. Cette valeur est

51 11/09/07 Comparaison: Si nous comparons les fonctions de capitalisation dans les cas de l’escompte simple et de l’escompte composé pour le même taux, nous obtenons le graphique suivant

52 11/09/07

53 Nous avons que et

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55 Jusqu’à présent, l’intérêt était capitalisé qu’une seule fois par période. Il existe une autre notion tant pour l’intérêt que l’escompte: le taux nominal

56 11/09/07 Exemple 4: Sur l’état de compte d’une compagnie de crédit, il est indiqué comme intérêt (pour les achats ou les avances): 18.50% par année et % par jour. Comment interpréter ce taux de 18.50%?

57 11/09/07 Exemple 4: (suite) Si nous considérons le taux % par jour et calculons le montant d’intérêt versé sur un prêt de 1$ pour une année, nous aurons

58 11/09/07 Exemple 4: (suite) Ce taux quotidien de % correspond à un taux annuel de % et non au taux de 18.50%.

59 11/09/07 Exemple 4: (suite) Ce taux quotidien de % correspond à un taux annuel de % et non au taux de 18.50%. La raison est que 18.50% est un taux nominal d’intérêt. Nous avons ici que

60 11/09/07 Taux nominal d’intérêt: Si l'intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux d'intérêt pour chacun de ces m-ièmes de période est alors nous disons que le taux nominal d'intérêt est

61 11/09/07 Donc pour déterminer le taux d’intérêt par période de capitalisation, il nous faut diviser le taux nominal par m.

62 11/09/07 Exemple 5: Si un placement est rémunéré au taux nominal d’intérêt de 8% par année capitalisé trimestriellement, c’est-à-dire Zénon veut accumuler 10000$ après 5 ans, quel montant doit-il investir?

63 11/09/07 Exemple 5: (solution) Le taux d’intérêt par trimestre (I.e. par trois mois) est de Pendant 5 ans, il y a 5 X 4 = 20 trimestres et l’intérêt sera capitalisé 20 fois

64 11/09/07 Exemple 5: (solution) Nous cherchons donc la valeur actuelle de 10000$ payable après 20 périodes de capitalisation dont le taux d’intérêt est de 2%:

65 11/09/07 Équivalence de taux: Si nous considérons 1$ investi et calculons la valeur accumulée au taux nominal d’intérêt par année, nous obtenons

66 11/09/07 Équivalence de taux: (suite) L’intérêt sera capitalisé m fois pendant l’année au taux d’intérêt par m-Ième de période égal à

67 11/09/07 Équivalence de taux: (suite) et la valeur accumulée est

68 11/09/07 Équivalence de taux: (suite) Si le taux effectif d’intérêt est équivalent au taux nominal d’intérêt alors

69 11/09/07 Équivalence de taux: (suite) Donc et

70 11/09/07 Exemple 6: Si 2500$ est placé dans un compte de banque rémunéré au taux nominal d’intérêt de 9% par année capitalisé mensuellement, alors quelle sera la valeur accumulée à la fin de la 2 e année?

71 11/09/07 Exemple 6: (suite) Dans cette situation, le taux d’intérêt est le taux nominal i.e. que le taux d’intérêt par mois est

72 11/09/07 Exemple 6: (suite) Dans cette situation, le nombre de périodes de capitalisation est 24 = 12 X 2 parce qu’il y a 12 mois dans une année et le capital est investi pour 2 années.

73 11/09/07 Exemple 6: (suite) La valeur accumulée sera

74 11/09/07 Taux nominal d’escompte: Si l’intérêt est capitalisé m fois par période (avec m > 1) et que le taux d’escompte pour chacun de ces m-ièmes de période est alors nous disons que le taux nominal d’escompte est

75 11/09/07 Si nous calculons la valeur actuelle de 1$ payable dans un an au taux nominal d’escompte alors nous obtenons

76 11/09/07 Équivalence de taux: Supposons que les taux suivants sont équivalents Taux effectif d’intérêt Taux nominal d’intérêt Taux effectif d’escompte Taux nominal d’escompte

77 11/09/07 En calculant la valeur actuelle de 1$ payable à la fin de l’année, nous obtenons

78 11/09/07 En calculant la valeur accumulée par un investissement de 1$ pendant une année, nous obtenons

79 11/09/07 L’équivalence de taux est obtenue par les formules équivalentes et


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