MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

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1 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I
Douzième cours ACT Cours 12

2 Rappel: Détermination du taux d’intérêt étant donné la valeur accumulée, le nombre de paiement et le montant des paiements d’une annuité simple constante de fin de période ACT Cours 12

3 Rappel: Détermination du taux d’intérêt étant donné la valeur accumulée, le nombre de paiement et le montant des paiements d’une annuité simple constante de fin de période Détermination du taux d’intérêt dans le cas d’annuité de début de période ACT Cours 12

4 Rappel: Détermination du taux d’intérêt étant donné la valeur accumulée, le nombre de paiement et le montant des paiements d’une annuité simple constante de fin de période Détermination du taux d’intérêt dans le cas d’annuité de début de période Annuités générales ACT Cours 12

5 Rappel: Détermination du taux d’intérêt étant donné la valeur accumulée, le nombre de paiement et le montant des paiements d’une annuité simple constante de fin de période Détermination du taux d’intérêt dans le cas d’annuité de début de période Annuités générales Situation dans laquelle le taux d’intérêt varie avec les périodes de paiement ACT Cours 12

6 Rappel: Détermination du taux d’intérêt étant donné la valeur accumulée, le nombre de paiement et le montant des paiements d’une annuité simple constante de fin de période Détermination du taux d’intérêt dans le cas d’annuité de début de période Annuités générales Situation dans laquelle le taux d’intérêt varie avec les périodes de paiement Situation dans laquelle le taux d’intérêt varie avec les paiements ACT Cours 12

7 Rappel: Détermination du taux d’intérêt étant donné la valeur accumulée, le nombre de paiement et le montant des paiements d’une annuité simple constante de fin de période Détermination du taux d’intérêt dans le cas d’annuité de début de période Annuités générales Situation dans laquelle le taux d’intérêt varie avec les périodes de paiement Situation dans laquelle le taux d’intérêt varie avec les paiements Situation dans laquelle les périodes de paiement et de capitalisation sont différentes ACT Cours 12

8 Rappel: La méthode de Newton-Raphson pour déterminer le taux d’intérêt i numériquement dans l’équation alors que nous connaissons F, R et n nous donne ACT Cours 12

9 Rappel: et comme valeur initiale ACT Cours 12

10 Rappel: est équivalente à l’équation ACT Cours 12

11 Rappel: est équivalente à l’équation ACT Cours 12

12 Les annuités générales seront celles pour lesquelles
Rappel: Les annuités générales seront celles pour lesquelles soit le taux d’intérêt varie avec les périodes de paiement ACT Cours 12

13 Les annuités générales seront celles pour lesquelles
Rappel: Les annuités générales seront celles pour lesquelles soit le taux d’intérêt varie avec les périodes de paiement soit les périodes de paiement et de capitalisation sont différentes ACT Cours 12

14 Les annuités générales seront celles pour lesquelles
Rappel: Les annuités générales seront celles pour lesquelles soit le taux d’intérêt varie avec les périodes de paiement soit les périodes de paiement et de capitalisation sont différentes soit que les paiements ne sont pas constants ACT Cours 12

15 Rappel: Soit une annuité consistant en n paiements de 1$ à la fin de chaque période. Le taux d’intérêt pour la ke période est ik et s’applique à tous les paiements de l’annuité pendant cette période. Sa valeur actuelle est ACT Cours 12

16 Rappel: Soit une annuité consistant en n paiements de 1$ à la fin de chaque période. Le taux d’intérêt pour la ke période est ik et s’applique à tous les paiements de l’annuité pendant cette période. Sa valeur actuelle est Sa valeur accumulée immédiatement après le dernier paiement est ACT Cours 12

17 Rappel: Soit une annuité consistant en n paiements de 1$ à la fin de chaque période. Le taux d’intérêt ik est applicable au ke paiement et est le même pour ce paiement pour chaque période. Sa valeur actuelle est ACT Cours 12

18 Rappel: Soit une annuité consistant en n paiements de 1$ à la fin de chaque période. Le taux d’intérêt ik est applicable au ke paiement et est le même pour ce paiement pour chaque période. Sa valeur actuelle est Sa valeur accumulée immédiatement après le dernier paiement est ACT Cours 12

19 Rappel: Nous noterons ces valeurs actuelles et accumulées par analogie à ce que nous avons fait précédemment respectivement par et ACT Cours 12

20 Rappel: Pour des annuités pour lesquelles les périodes de paiement et de capitalisation de l’intérêt sont différentes, soit la période de paiement est plus courte que celle de capitalisation de l’intérêt, soit la période de paiement est plus longue que celle de capitalisation de l’intérêt. Comme première méthode, il suffit de convertir le taux d’intérêt à un taux équivalent. ACT Cours 12

21 Exemple 1: Alex emprunte 10 000$ à la banque desNababs. Il
remboursera ce prêt en faisant des paiements à la fin de chaque trimestre pendant 5 ans. Les versements pour les deux premières années sont de R dollars et pour les trois dernières années sont de 1.5R dollars. Le taux d’intérêt de ce prêt est le taux nominal i(12) = 9% par année capitalisé mensuellement. Déterminons R. ACT Cours 12

22 Exemple 1: (suite) Si i(12) = 9%, alors le taux effectif d’intérêt équivalent est % par année. De ceci, nous obtenons que le taux nominal i(4) = % par année capitalisé trimestriellement est équivalent à i(12) = 9%. Conséquemment le taux d’intérêt par trimestre équivalent au taux i(12) = 9% est ACT Cours 12

23 Exemple 1: (suite) Le diagramme d’entrées et sorties est le suivant:
ACT Cours 12

24 Exemple 1: (suite) L’équation de valeur à la date de comparaison t = 0 est alors ACT Cours 12

25 Exemple 1: (suite) L’équation de valeur à la date de comparaison t = 0 est alors Nous obtenons alors R = $. ACT Cours 12

26 Exemple 2: Béatrice a accumulé $. Elle utilise ce capital pour s’acheter une rente qui lui versera 1500$ par mois. Le premier versement de cette rente est fait un mois après son achat. Le taux d’intérêt est le taux effectif de i = 5% par année. Combien de versements recevra-t-elle si elle désire utiliser tout ce capital, que tous les versements soient de 1500$, à l’exception du dernier qui sera gonflé? ACT Cours 12

27 Exemple 2: (suite) Si le taux effectif est i = 5%, alors le taux nominal d’intérêt i(12) équivalent est i(12) = % par année. De ceci nous obtenons que le taux d’intérêt par mois équivalent à i est ACT Cours 12

28 Exemple 2: (suite) Dans un premier temps, nous allons déterminer n + k, avec n entier et k compris entre 0 et 1, tel que ACT Cours 12

29 Exemple 2: (suite) Nous obtenons ainsi que n + k = Ainsi n = 77 et k = La rente versera 76 versements de 1500$ et un dernier au montant de X dollars. ACT Cours 12

30 Exemple 2: (suite) Nous obtenons ainsi que n + k = Ainsi n = 77 et k = La rente versera 76 versements de 1500$ et un dernier au montant de X dollars. Le diagramme d’entrées et sorties est ACT Cours 12

31 Exemple 2: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est alors ACT Cours 12

32 Exemple 2: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est alors Nous obtenons que X = $. Ainsi Béatrice recevra 76 versements mensuels de 1500$ et un dernier versement de $. ACT Cours 12

33 Nous allons maintenant développer la seconde méthode
Nous allons maintenant développer la seconde méthode. Il s’agit d’une approche théorique. Il faut distinguer les deux cas selon que la période de paiement est plus longue ou plus courte que la période de capitalisation. ACT Cours 12

34 Nous allons maintenant considérer les annuités pour lesquelles la période de paiement est plus longue que celle de la capitalisation de l’intérêt. Nous supposerons qu’il y a k périodes de capitalisation de l’intérêt dans une période de paiement. L’exemple 1 est dans cette situation. ACT Cours 12

35 Nous noterons le terme de l’annuité, c’est-à-dire sa durée, par n et celui-ci est mesuré en périodes de capitalisation. Le taux d’intérêt par période de capitalisation sera noté par i et (1 + i) est le facteur d’escompte. ACT Cours 12

36 Il y aura (n/k) paiements parce qu’il y a k périodes de capitalisation dans une période de paiement.
ACT Cours 12

37 Considérons maintenant une annuité consistant en (n/k) paiements de 1$ faits à la fin de chacune des périodes de paiement. ACT Cours 12

38 Nous allons maintenant déterminer la valeur actuelle de cette annuité
Nous allons maintenant déterminer la valeur actuelle de cette annuité. Nous noterons celle-ci par L dans le diagramme d’entrées et sorties suivant. ACT Cours 12

39 Diagramme d’entrées et sorties:
ACT Cours 12

40 Algébriquement nous obtenons que cette valeur actuelle L est
ACT Cours 12

41 Algébriquement nous obtenons que cette valeur actuelle L est
Il est aussi possible de donner une explication de cette formule en termes d’annuités. ACT Cours 12

42 Nous allons maintenant déterminer la valeur accumulée de cette annuité au dernier versement. Nous noterons celle-ci par X dans le diagramme d’entrées et sorties suivant. ACT Cours 12

43 Diagramme d’entrées et sorties:
ACT Cours 12

44 Algébriquement nous obtenons que cette valeur accumulée X est
ACT Cours 12

45 Algébriquement nous obtenons que cette valeur accumulée X est
Il est aussi possible de donner une explication de cette formule en termes d’annuités. ACT Cours 12

46 Exemple 3: Carole a emprunté $ qu’elle remboursera en faisant 36 paiements trimestriels égaux, le premier étant fait 3 mois après le prêt. Le taux d’intérêt de ce prêt est le taux nominal d ’intérêt i(12) = 9% par année capitalisé mensuellement. Notons par R: le montant de ces paiements trimestriels. Nous voulons déterminer R. ACT Cours 12

47 Exemple 3: (suite) Carole a emprunté $ qu’elle remboursera en faisant 36 paiements trimestriels égaux, le premier étant fait 3 mois après le prêt. Le taux d’intérêt de ce prêt est le taux nominal d ’intérêt i(12) = 9% par année capitalisé mensuellement. Notons par R: le montant de ces paiements trimestriels. Nous voulons déterminer R. Dans cette situation k = 3, n = 36 x 3 = 108 périodes de capitalisation et i = 9%/12 = 0.75%. ACT Cours 12

48 Exemple 3: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est ACT Cours 12

49 Exemple 3: (suite) L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est Nous obtenons ainsi que R = $. ACT Cours 12

50 Exemple 3: (suite) Si nous avions utilisé la première méthode, il nous faudrait calculer le taux d’intérêt par trimestre équivalent au taux nominal i(12) = 9%. Nous obtenons ainsi le taux effectif équivalent au taux nominal i(12) = 9% est % et conséquemment le taux nominal i(4) équivalent à i(12) = 9% est i(4) = %. Donc le taux par trimestre équivalent au taux i(12) est %. ACT Cours 12

51 Exemple 3: (suite) Conséquemment l’équation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est Nous obtenons là aussi que R = $. ACT Cours 12

52 Exemple 4: Dora dépose $ tous les ans pendant 10 ans. Les dépôts sont faits à la fin de l’année. Le taux d’intérêt de ce placement est le taux nominal i(365) = 3.65% par année capitalisé quotidiennement. Nous voulons déterminer le montant accumulé à la fin de la dixième année. ACT Cours 12

53 Exemple 4: (suite) Dora dépose $ tous les ans pendant 10 ans. Les dépôts sont faits à la fin de l’année. Le taux d’intérêt de ce placement est le taux nominal i(365) = 3.65% par année capitalisé quotidiennement. Nous voulons déterminer le montant accumulé à la fin de la dixième année. Dans cette situation k = 365, n = 10 x 365 = 3650 périodes de capitalisation et i = 3.65%/365 = 0.01%. ACT Cours 12

54 Exemple 4: (suite) La valeur accumulée recherchée est
ACT Cours 12

55 Exemple 4: (suite) Si nous avions utilisé la première méthode, il nous faudrait calculer le taux effectif d’intérêt par année équivalent au taux nominal i(365) = 3.65%. Nous obtenons ainsi que ce taux effectif équivalent au taux nominal i(365) = 3.65% est %. Donc la valeur accumulée recherchée est ACT Cours 12

56 Exemple 5: Reprenons l’exemple 1, mais avec cette autre approche. Alex emprunte 10000$ à la banque desNababs. Il rembourse ce prêt en faisant des paiements à la fin de chaque trimestre pendant 5 ans. Les versements pour les deux premières années sont de R dollars et pour les trois dernières années sont de 1.5R dollars. Le taux d’intérêt de ce prêt est le taux nominal i(12) = 9% par année capitalisé mensuellement. ACT Cours 12

57 Exemple 5: (suite) Il s’agit d’une annuité ayant 8 paiements de R dollars et d’une annuité différée ayant 12 paiements de 1.5R dollars. Nous allons calculer la valeur actuelle (à t = 0) de chacune des annuités. Dans les deux cas, le taux d’intérêt par mois est (i(12)/12) = (9%/12) = 0.75%. ACT Cours 12

58 Exemple 5: (suite) Pour la première annuité, celle ayant 8 paiements trimestriels au montant de R dollars, alors k = 3 et n = 8 x 3 = 24. Sa valeur actuelle est ACT Cours 12

59 Exemple 5: (suite) Pour la deuxième annuité, celle ayant 12 paiements trimestriels au montant de 1.5R dollars, alors k = 3 et n = 12 x 3 = 36. Sa valeur actuelle est ACT Cours 12

60 Exemple 5: (suite) L’équation de valeur à t = 0 est alors
ACT Cours 12

61 Exemple 5: (suite) L’équation de valeur à t = 0 est alors
Nous obtenons alors que R = $. ACT Cours 12

62 Exemple 5: (suite) Noter que pour la seconde annuité il faut escompter de 24 périodes de capitalisation, c’est-à-dire 8 périodes de paiement, la valeur pour obtenir la valeur à t = 0. ACT Cours 12