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ACT2025 - Cours 12 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Douzième cours.

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1 ACT Cours 12 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Douzième cours

2 ACT Cours 12 Rappel: Détermination du taux dintérêt étant donné la valeur accumulée, le nombre de paiement et le montant des paiements dune annuité simple constante de fin de période

3 ACT Cours 12 Rappel: Détermination du taux dintérêt étant donné la valeur accumulée, le nombre de paiement et le montant des paiements dune annuité simple constante de fin de période Détermination du taux dintérêt dans le cas dannuité de début de période

4 ACT Cours 12 Rappel: Détermination du taux dintérêt étant donné la valeur accumulée, le nombre de paiement et le montant des paiements dune annuité simple constante de fin de période Détermination du taux dintérêt dans le cas dannuité de début de période Annuités générales

5 ACT Cours 12 Rappel: Détermination du taux dintérêt étant donné la valeur accumulée, le nombre de paiement et le montant des paiements dune annuité simple constante de fin de période Détermination du taux dintérêt dans le cas dannuité de début de période Annuités générales Situation dans laquelle le taux dintérêt varie avec les périodes de paiement

6 ACT Cours 12 Rappel: Détermination du taux dintérêt étant donné la valeur accumulée, le nombre de paiement et le montant des paiements dune annuité simple constante de fin de période Détermination du taux dintérêt dans le cas dannuité de début de période Annuités générales Situation dans laquelle le taux dintérêt varie avec les périodes de paiement Situation dans laquelle le taux dintérêt varie avec les paiements

7 ACT Cours 12 Rappel: Détermination du taux dintérêt étant donné la valeur accumulée, le nombre de paiement et le montant des paiements dune annuité simple constante de fin de période Détermination du taux dintérêt dans le cas dannuité de début de période Annuités générales Situation dans laquelle le taux dintérêt varie avec les périodes de paiement Situation dans laquelle le taux dintérêt varie avec les paiements Situation dans laquelle les périodes de paiement et de capitalisation sont différentes

8 ACT Cours 12 La méthode de Newton-Raphson pour déterminer le taux dintérêt i numériquement dans léquation alors que nous connaissons F, R et n nous donne Rappel:

9 ACT Cours 12 et comme valeur initiale Rappel:

10 ACT Cours 12 est équivalente à léquation Rappel:

11 ACT Cours 12 est équivalente à léquation Rappel:

12 ACT Cours 12 Les annuités générales seront celles pour lesquelles soit le taux dintérêt varie avec les périodes de paiement Rappel:

13 ACT Cours 12 Les annuités générales seront celles pour lesquelles soit le taux dintérêt varie avec les périodes de paiement soit les périodes de paiement et de capitalisation sont différentes Rappel:

14 ACT Cours 12 Les annuités générales seront celles pour lesquelles soit le taux dintérêt varie avec les périodes de paiement soit les périodes de paiement et de capitalisation sont différentes soit que les paiements ne sont pas constants Rappel:

15 ACT Cours 12 Soit une annuité consistant en n paiements de 1$ à la fin de chaque période. Le taux dintérêt pour la k e période est i k et sapplique à tous les paiements de lannuité pendant cette période. Sa valeur actuelle est Rappel:

16 ACT Cours 12 Soit une annuité consistant en n paiements de 1$ à la fin de chaque période. Le taux dintérêt pour la k e période est i k et sapplique à tous les paiements de lannuité pendant cette période. Sa valeur actuelle est Rappel: Sa valeur accumulée immédiatement après le dernier paiement est

17 ACT Cours 12 Soit une annuité consistant en n paiements de 1$ à la fin de chaque période. Le taux dintérêt i k est applicable au k e paiement et est le même pour ce paiement pour chaque période. Sa valeur actuelle est Rappel:

18 ACT Cours 12 Soit une annuité consistant en n paiements de 1$ à la fin de chaque période. Le taux dintérêt i k est applicable au k e paiement et est le même pour ce paiement pour chaque période. Sa valeur actuelle est Rappel: Sa valeur accumulée immédiatement après le dernier paiement est

19 ACT Cours 12 Nous noterons ces valeurs actuelles et accumulées par analogie à ce que nous avons fait précédemment respectivement par et Rappel:

20 ACT Cours 12 Pour des annuités pour lesquelles les périodes de paiement et de capitalisation de lintérêt sont différentes, soit la période de paiement est plus courte que celle de capitalisation de lintérêt, soit la période de paiement est plus longue que celle de capitalisation de lintérêt. Comme première méthode, il suffit de convertir le taux dintérêt à un taux équivalent. Rappel:

21 ACT Cours 12 Alex emprunte $ à la banque desNababs. Il remboursera ce prêt en faisant des paiements à la fin de chaque trimestre pendant 5 ans. Les versements pour les deux premières années sont de R dollars et pour les trois dernières années sont de 1.5R dollars. Le taux dintérêt de ce prêt est le taux nominal i (12) = 9% par année capitalisé mensuellement. Déterminons R. Exemple 1:

22 ACT Cours 12 Si i (12) = 9%, alors le taux effectif dintérêt équivalent est % par année. De ceci, nous obtenons que le taux nominal i (4) = % par année capitalisé trimestriellement est équivalent à i (12) = 9%. Conséquemment le taux dintérêt par trimestre équivalent au taux i (12) = 9% est Exemple 1: (suite)

23 ACT Cours 12 Le diagramme dentrées et sorties est le suivant: Exemple 1: (suite)

24 ACT Cours 12 Léquation de valeur à la date de comparaison t = 0 est alors Exemple 1: (suite)

25 ACT Cours 12 Léquation de valeur à la date de comparaison t = 0 est alors Exemple 1: (suite) Nous obtenons alors R = $.

26 ACT Cours 12 Béatrice a accumulé $. Elle utilise ce capital pour sacheter une rente qui lui versera 1500$ par mois. Le premier versement de cette rente est fait un mois après son achat. Le taux dintérêt est le taux effectif de i = 5% par année. Combien de versements recevra-t-elle si elle désire utiliser tout ce capital, que tous les versements soient de 1500$, à lexception du dernier qui sera gonflé? Exemple 2:

27 ACT Cours 12 Si le taux effectif est i = 5%, alors le taux nominal dintérêt i (12) équivalent est i (12) = % par année. De ceci nous obtenons que le taux dintérêt par mois équivalent à i est Exemple 2: (suite)

28 ACT Cours 12 Dans un premier temps, nous allons déterminer n + k, avec n entier et k compris entre 0 et 1, tel que Exemple 2: (suite)

29 ACT Cours 12 Nous obtenons ainsi que n + k = Ainsi n = 77 et k = La rente versera 76 versements de 1500$ et un dernier au montant de X dollars. Exemple 2: (suite)

30 ACT Cours 12 Nous obtenons ainsi que n + k = Ainsi n = 77 et k = La rente versera 76 versements de 1500$ et un dernier au montant de X dollars. Le diagramme dentrées et sorties est Exemple 2: (suite)

31 ACT Cours 12 Léquation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est alors Exemple 2: (suite)

32 ACT Cours 12 Léquation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est alors Exemple 2: (suite) Nous obtenons que X = $. Ainsi Béatrice recevra 76 versements mensuels de 1500$ et un dernier versement de $.

33 ACT Cours 12 Nous allons maintenant développer la seconde méthode. Il sagit dune approche théorique. Il faut distinguer les deux cas selon que la période de paiement est plus longue ou plus courte que la période de capitalisation.

34 ACT Cours 12 Nous allons maintenant considérer les annuités pour lesquelles la période de paiement est plus longue que celle de la capitalisation de lintérêt. Nous supposerons quil y a k périodes de capitalisation de lintérêt dans une période de paiement. Lexemple 1 est dans cette situation.

35 ACT Cours 12 Nous noterons le terme de lannuité, cest-à-dire sa durée, par n et celui-ci est mesuré en périodes de capitalisation. Le taux dintérêt par période de capitalisation sera noté par i et (1 + i) est le facteur descompte.

36 ACT Cours 12 Il y aura (n/k) paiements parce quil y a k périodes de capitalisation dans une période de paiement.

37 ACT Cours 12 Considérons maintenant une annuité consistant en (n/k) paiements de 1$ faits à la fin de chacune des périodes de paiement.

38 ACT Cours 12 Nous allons maintenant déterminer la valeur actuelle de cette annuité. Nous noterons celle-ci par L dans le diagramme dentrées et sorties suivant.

39 ACT Cours 12 Diagramme dentrées et sorties:

40 ACT Cours 12 Algébriquement nous obtenons que cette valeur actuelle L est

41 ACT Cours 12 Algébriquement nous obtenons que cette valeur actuelle L est Il est aussi possible de donner une explication de cette formule en termes dannuités.

42 ACT Cours 12 Nous allons maintenant déterminer la valeur accumulée de cette annuité au dernier versement. Nous noterons celle-ci par X dans le diagramme dentrées et sorties suivant.

43 ACT Cours 12 Diagramme dentrées et sorties:

44 ACT Cours 12 Algébriquement nous obtenons que cette valeur accumulée X est

45 ACT Cours 12 Algébriquement nous obtenons que cette valeur accumulée X est Il est aussi possible de donner une explication de cette formule en termes dannuités.

46 ACT Cours 12 Carole a emprunté $ quelle remboursera en faisant 36 paiements trimestriels égaux, le premier étant fait 3 mois après le prêt. Le taux dintérêt de ce prêt est le taux nominal d intérêt i (12) = 9% par année capitalisé mensuellement. Notons par R: le montant de ces paiements trimestriels. Nous voulons déterminer R. Exemple 3:

47 ACT Cours 12 Carole a emprunté $ quelle remboursera en faisant 36 paiements trimestriels égaux, le premier étant fait 3 mois après le prêt. Le taux dintérêt de ce prêt est le taux nominal d intérêt i (12) = 9% par année capitalisé mensuellement. Notons par R: le montant de ces paiements trimestriels. Nous voulons déterminer R. Dans cette situation k = 3, n = 36 x 3 = 108 périodes de capitalisation et i = 9%/12 = 0.75%. Exemple 3: (suite)

48 ACT Cours 12 Léquation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est Exemple 3: (suite)

49 ACT Cours 12 Léquation de valeur avec comme date de comparaison t = 0 est Nous obtenons ainsi que R = $. Exemple 3: (suite)

50 ACT Cours 12 Si nous avions utilisé la première méthode, il nous faudrait calculer le taux dintérêt par trimestre équivalent au taux nominal i (12) = 9%. Nous obtenons ainsi le taux effectif équivalent au taux nominal i (12) = 9% est % et conséquemment le taux nominal i (4) équivalent à i (12) = 9% est i (4) = %. Donc le taux par trimestre équivalent au taux i (12) est %. Exemple 3: (suite)

51 ACT Cours 12 Conséquemment léquation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est Nous obtenons là aussi que R = $. Exemple 3: (suite)

52 ACT Cours 12 Dora dépose $ tous les ans pendant 10 ans. Les dépôts sont faits à la fin de lannée. Le taux dintérêt de ce placement est le taux nominal i (365) = 3.65% par année capitalisé quotidiennement. Nous voulons déterminer le montant accumulé à la fin de la dixième année. Exemple 4:

53 ACT Cours 12 Dora dépose $ tous les ans pendant 10 ans. Les dépôts sont faits à la fin de lannée. Le taux dintérêt de ce placement est le taux nominal i (365) = 3.65% par année capitalisé quotidiennement. Nous voulons déterminer le montant accumulé à la fin de la dixième année. Dans cette situation k = 365, n = 10 x 365 = 3650 périodes de capitalisation et i = 3.65%/365 = 0.01%. Exemple 4: (suite)

54 ACT Cours 12 La valeur accumulée recherchée est Exemple 4: (suite)

55 ACT Cours 12 Si nous avions utilisé la première méthode, il nous faudrait calculer le taux effectif dintérêt par année équivalent au taux nominal i (365) = 3.65%. Nous obtenons ainsi que ce taux effectif équivalent au taux nominal i (365) = 3.65% est %. Donc la valeur accumulée recherchée est Exemple 4: (suite)

56 ACT Cours 12 Reprenons lexemple 1, mais avec cette autre approche. Alex emprunte 10000$ à la banque desNababs. Il rembourse ce prêt en faisant des paiements à la fin de chaque trimestre pendant 5 ans. Les versements pour les deux premières années sont de R dollars et pour les trois dernières années sont de 1.5R dollars. Le taux dintérêt de ce prêt est le taux nominal i (12) = 9% par année capitalisé mensuellement. Exemple 5:

57 ACT Cours 12 Il sagit dune annuité ayant 8 paiements de R dollars et dune annuité différée ayant 12 paiements de 1.5R dollars. Nous allons calculer la valeur actuelle (à t = 0) de chacune des annuités. Dans les deux cas, le taux dintérêt par mois est (i (12) /12) = (9%/12) = 0.75%. Exemple 5: (suite)

58 ACT Cours 12 Pour la première annuité, celle ayant 8 paiements trimestriels au montant de R dollars, alors k = 3 et n = 8 x 3 = 24. Sa valeur actuelle est Exemple 5: (suite)

59 ACT Cours 12 Pour la deuxième annuité, celle ayant 12 paiements trimestriels au montant de 1.5R dollars, alors k = 3 et n = 12 x 3 = 36. Sa valeur actuelle est Exemple 5: (suite)

60 ACT Cours 12 Léquation de valeur à t = 0 est alors Exemple 5: (suite)

61 ACT Cours 12 Léquation de valeur à t = 0 est alors Nous obtenons alors que R = $. Exemple 5: (suite)

62 ACT Cours 12 Noter que pour la seconde annuité il faut escompter de 24 périodes de capitalisation, cest-à-dire 8 périodes de paiement, la valeur pour obtenir la valeur à t = 0. Exemple 5: (suite)


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