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06/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Deuxième cours.

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1 06/09/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Deuxième cours

2 06/09/07 Rappel de la matière du cours précédent Intérêt

3 06/09/07 Rappel de la matière du cours précédent Intérêt Fonction de capitalisation

4 06/09/07 Rappel de la matière du cours précédent Intérêt Fonction de capitalisation Fonction d accumulation

5 06/09/07 Rappel de la matière du cours précédent Intérêt Fonction de capitalisation Fonction d accumulation Taux effectif de lintérêt

6 06/09/07 Rappel de la matière du cours précédent Intérêt Fonction de capitalisation Fonction d accumulation Taux effectif de lintérêt Intérêt simple

7 06/09/07 Rappel de la matière du cours précédent Intérêt Fonction de capitalisation Fonction d accumulation Taux effectif de lintérêt Intérêt simple Intérêt composé

8 06/09/07 Rappel Pour lintérêt simple, la fonction de capitalisation est et la fonction daccumulation est

9 06/09/07 Rappel Pour lintérêt composé, la fonction de capitalisation est et la fonction daccumulation est

10 06/09/07 Considérons maintenant quelques exemples pour illustrer les concepts dintérêt simple et dintérêt composé

11 06/09/07 Exemple 1: La valeur accumulée par 7500$ investi pendant 3 mois au taux dintérêt simple de 6% par année est égale à

12 06/09/07 Exemple 1: La valeur accumulée par 7500$ investi pendant 3 mois au taux dintérêt simple de 6% par année est égale à Notons que la période de 3 mois correspond à

13 06/09/07 Exemple 2: Anasthasia a placé 10000$ dans un investissement rapportant 7% dintérêt composé par année pour 4 ans. Après ces 4 années,elle réinvestit entièrement le montant accumulé dans un placement rapportant 5.75% dintérêt composé par année pour 5 ans. Déterminons maintenant le montant accumulé à la fin de la 9 e année

14 06/09/07 Exemple 2: Anasthasia a placé 10000$ dans un investissement rapportant 7% dintérêt composé par année pour 4 ans. Après ces 4 années,elle réinvestit entièrement le montant accumulé dans un placement rapportant 5.75% dintérêt composé par année pour 5 ans. Déterminons maintenant le montant accumulé à la fin de la 9 e année le montant dintérêt gagné pendant la 7 e année

15 06/09/07 Calcul du montant accumulé Le montant accumulé après 4 ans sera

16 06/09/07 Calcul du montant accumulé Le montant accumulé après 4 ans sera Le montant accumulé après 9 ans sera

17 06/09/07 Calcul du montant dintérêt Le montant accumulé après 7 ans sera

18 06/09/07 Calcul du montant dintérêt Le montant accumulé après 7 ans sera Le montant accumulé après 6 ans sera

19 06/09/07 Calcul du montant dintérêt Le montant accumulé après 7 ans sera Le montant accumulé après 6 ans sera Le montant dintérêt gagné pendant la 7 e année sera

20 06/09/07 Comparaison: Si nous comparons les fonctions de capitalisation dans les cas de lintérêt simple et de lintérêt composé pour le même taux, nous obtenons le graphique suivant

21 06/09/07

22 Nous avons

23 06/09/07 Nous avons et

24 06/09/07 Jusquà maintenant nous avons considéré la valeur accumulée dun placement, mais il est aussi important de considérer la valeur actuelle dun capital futur. On dit aussi la valeur présente, la valeur escomptée.

25 06/09/07 Exemple 3: Bobby veut investir un capital dans un compte dépargne rémunéré au taux dintérêt composé de 4% par année pour 6 ans et au terme de la sixième année avoir 15000$. Quel est ce capital à investir?

26 06/09/07 Solution: Notons ce capital par Nous avons maintenant léquation

27 06/09/07 Solution: Notons ce capital par Nous avons maintenant léquation Donc

28 06/09/07 Notation: Le facteur daccumulation est Le facteur descompte est

29 06/09/07 Définition de la fonction dactualisation Cette fonction correspond à la valeur actuelle dun capital de 1$ payable au temps Remarque: Si nous voulons connaitre la valeur actuelle dun capital de k$ après une période de temps, il suffit de multiplier cette fonction dactualisation par k.

30 06/09/07 Formule: Si nous connaissons la fonction de capitalisation, alors la fonction dactualisation est obtenue en divisant par la fonction de capitalisation:

31 06/09/07 Exemple 4: Dans le cas de lintérêt simple, la fonction dactualisation est

32 06/09/07 Exemple 4 (suite): Dans le cas de lintérêt composé, la fonction dactualisation est

33 06/09/07 Propriétés anticipées de la fonction dactualisation: Décroissance par rapport au temps. Si nous avons plus de temps, il faut moins de capital pour obtenir à terme 1$

34 06/09/07 Propriétés anticipées de la fonction dactualisation: Décroissance par rapport au temps. Si nous avons plus de temps, il faut moins de capital pour obtenir à terme 1$ Décroissance par rapport au taux dintérêt. Si le taux dintérêt augmente, il nous faut moins de principal à investir pour obtenir à terme 1$

35 06/09/07 Exemple 5: (Obligation sans coupon) Si le taux effectif dintérêt est de 5% par année, quel est le prix dobligation sans coupon dont la valeur à léchéance est de 25000$ et léchéance est dans 7 ans?

36 06/09/07 Solution: Nous voulons calculer la valeur escomptée de 25000$ payable dans 7 ans au taux effectif dintérêt de 5% par année. Nous obtenons

37 06/09/07 Voyons maintenant une autre mesure de lintérêt: taux effectif descompte

38 06/09/07 Taux effectif descompte pour la 1 e période: Ce taux est le rapport du montant dintérêt gagné pendant la première période sur le montant accumulé à la fin de la période. En formule, nous obtenons

39 06/09/07 Taux effectif descompte pour la 1 e période: Ce taux est le rapport du montant dintérêt gagné pendant la première période sur le montant accumulé à la fin de la période. En formule, nous obtenons

40 06/09/07 Taux effectif descompte pour la n e période: Ce taux est le rapport du montant dintérêt gagné pendant la n e période sur le montant accumulé à la fin de la n e période. En formule, nous obtenons

41 06/09/07 Si nous connaissons les taux effectifs descompte pour toutes les périodes, de la 1 e à la n e, et le capital initial, alors nous pouvons calculer le montant accumulé à la fin de la n e période, i.e.

42 06/09/07 En effet,

43 06/09/07 En effet,

44 06/09/07 En effet, et ainsi de suite. Finalement nous obtenons

45 06/09/07 Valeur accumulée:

46 06/09/07 Valeur accumulée: Valeur actuelle:

47 06/09/07 Exemple 6: Dans un placement, le taux effectif descompte est de 5% pour la 1 e année, 5.5% pour la 2 e année, 6% pour la 3 e année, 5.75% pour la 4 e année et 5.25% pour la 5 e année. (a)Si le principal investi est 8000$, quel est le montant accumulé après 5 ans?

48 06/09/07 Exemple 6: Dans un placement, le taux effectif descompte est de 5% pour la 1 e année, 5.5% pour la 2 e année, 6% pour la 3 e année, 5.75% pour la 4 e année et 5.25% pour la 5 e année. (a)Si le principal investi est 8000$, quel est le montant accumulé après 5 ans? (b)Quel est le principal à investir si nous voulons accumuler 10000$ après 4 ans?

49 06/09/07 Solution: (a) Nous voulons calculer la valeur accumulée après 5 ans. Par ce que nous avons vu, celle-ci sera cest-à-dire

50 06/09/07 Solution: (b) Nous voulons calculer la valeur actuelle de payable à la fin de la 4 e année. Par ce que nous avons vu celle-ci sera cest-à-dire

51 06/09/07 Équivalence de taux: Deux taux dintérêt ou descompte sont dits équivalents si les valeurs accumulées d'un même principal investi pendant une période à ces deux taux sont égales.

52 06/09/07 Équivalence de taux (approche équivalente): Deux taux dintérêt ou descompte sont dits équivalents si les valeurs actuelles d'un même capital à la fin dune période à ces deux taux sont égales.

53 06/09/07 Équivalence des taux dintérêt et descompte Étant donné le taux descompte alors le taux dintérêt équivalent est

54 06/09/07 Explication de la formule: Considérons un capital de 1$ à la fin de la période. Dans ce cas, sa valeur actuelle est

55 06/09/07 Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période:

56 06/09/07 Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: Capital accumulé à la fin de la période:

57 06/09/07 Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: Capital accumulé à la fin de la période: Intérêt:

58 06/09/07 Explication de la formule (suite) : Donc

59 06/09/07 Équivalence des taux dintérêt et descompte Étant donné le taux dintérêt alors le taux descompte équivalent est

60 06/09/07 Explication de la formule: Considérons un capital de 1$ investi au début de la période. Dans ce cas, sa valeur accumulée

61 06/09/07 Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période:

62 06/09/07 Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: Capital accumulé à la fin de la période:

63 06/09/07 Explication de la formule (suite) : Nous avons Capital investi au début de la période: Capital accumulé à la fin de la période: Intérêt:

64 06/09/07 Explication de la formule (suite) : Donc

65 06/09/07 Exemple 7: Si le taux effectif descompte est de 2.25% par année, alors le taux effectif dintérêt équivalent est soit %.

66 06/09/07 Exemple 8: Si le taux effectif dintérêt est de 5% par année, alors le taux effectif descompte équivalent est soit %.

67 06/09/07 Exemple 9: Nous allons illustrer la formule au moyen dun exemple numérique.

68 06/09/07 Supposons que nous voulons prêter 10000$ au taux effectif descompte de 6% par année et quil y a autant demprunteurs que nous le désirons.

69 06/09/07 Le premier emprunteur recevra 10000( ) = 9400$ au début de lannée et remboursera 10000$ à la fin de lannée. Du 10000$, il nous reste = 600$ à prêter. Le second emprunteur recevra 600( ) = 564$ au début de lannée et remboursera 600$ à la fin de lannée Du 600$, il nous reste = 36$ à prêter. Le troisième emprunteur recevra 36( ) = 33.84$ et remboursera 36$ à la fin de lannée. Ainsi de suite à linfini

70 06/09/07 En résumé, nous avons EmprunteurMontant reçu au début de lannée Montant remboursé à la fin de lannée 1 er e2e e3e

71 06/09/07 À la fin de lannée, nous recevrons Cette somme est égale à Nous pouvons calculer cette dernière somme.

72 06/09/07 Nous avons si Donc

73 06/09/07 Finalement nous obtenons que lintérêt est et le taux dintérêt est cest-à-dire %.

74 06/09/07 Plus généralement, nous avons que lintérêt est égal à si le capital prêté est et le taux descompte est

75 06/09/07 Donc le taux dintérêt est


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