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ACT2025 - Cours 9 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Neuvième cours.

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1 ACT Cours 9 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Neuvième cours

2 ACT Cours 9 Rappel: Annuité différée

3 ACT Cours 9 Rappel: Annuité différée Valeur actuelle dune annuité dont le début est différé de m périodes

4 ACT Cours 9 Rappel: Annuité différée Valeur actuelle dune annuité dont le début est différé de m périodes Valeur accumulée dune annuité m périodes après le dernier paiement

5 ACT Cours 9 Rappel: Annuité différée Valeur actuelle dune annuité dont le début est différé de m périodes Valeur accumulée dune annuité m périodes après le dernier paiement Valeur dune annuité au m e paiement

6 ACT Cours 9 Rappel: Annuité différée Valeur actuelle dune annuité dont le début est différé de m périodes Valeur accumulée dune annuité m périodes après le dernier paiement Valeur dune annuité au m e paiement Rente perpétuelle

7 ACT Cours 9 Valeur actuelle dune annuité dont le début est différé de m périodes: Rappel:

8 ACT Cours 9 Valeur actuelle dune annuité dont le début est différé de m périodes: Rappel:

9 ACT Cours 9 Valeur accumulée dune annuité m périodes après le dernier paiement: Rappel:

10 ACT Cours 9 Valeur accumulée dune annuité m périodes après le dernier paiement: Rappel:

11 ACT Cours 9 Valeur dune annuité au m e paiement: Rappel:

12 ACT Cours 9 Valeur dune annuité au m e paiement: Rappel:

13 ACT Cours 9 Valeur actuelle dune rente perpétuelle de fin de période Rappel:

14 ACT Cours 9 Valeur actuelle dune rente perpétuelle de fin de période Rappel:

15 ACT Cours 9 Cicéron a laissé en héritage $ placé dans un fonds de placement rémunéré au taux effectif dintérêt de 6.75% par année. Dans ses dernières volontés, il a exprimé le souhait que son organisme de charité favori: « la Société pour lamélioration du discours » recoive une rente perpétuelle consistant en des paiements de X dollars à tous les ans pour toujours, le premier paiement débutant un an après sa mort. Déterminer X. Exemple 1:

16 ACT Cours 9 Nous avons le diagramme dentrées et sorties suivant: Exemple 1: (suite)

17 ACT Cours 9 Léquation de valeur avec comme date de comparaison : le début de la première année est X/(0.0675) = Nous obtenons ainsi que X = $ par année. Exemple 1: (suite)

18 ACT Cours 9 Nous allons maintenant considérer une annuité pour laquelle les paiements ne sarrêtent jamais et ceux-ci sont faits au début de chaque période. Il est possible de calculer sa valeur actuelle. Cependant il ny a pas de valeur accumulée parce quil ny a pas de dernier paiement. Rente perpétuelle de début de période :

19 ACT Cours 9 Nous notons la valeur actuelle de cette rente perpétuelle de début de période par Notation:

20 ACT Cours 9 Le diagramme dentrées et sorties de cette situation est le suivant:

21 ACT Cours 9 Nous pouvons calculer la valeur actuelle de cette rente. Il est facile par des moyens élémentaires dobtenir que où d est le taux descompte équivalent au taux dintérêt i Valeur actuelle:

22 ACT Cours 9 En effet, De cette dernière formule, nous obtenons le résultat. Valeur actuelle: (suite)

23 ACT Cours 9 où n est un entier et k est un nombre strictement compris entre 0 et 1. Interprétation de la formule:

24 ACT Cours 9 Nous avons Interprétation (suite):

25 ACT Cours 9 Interprétation (suite) est donc égale à la valeur actuelle dune annuité de n paiements de 1$ en fin de période auquel nous ajoutons la valeur actuelle dun paiement fait à t = n + k de

26 ACT Cours 9 Notons que ce dernier paiement est approximativement égal à k dollars. Interprétation (suite)

27 ACT Cours 9 où n est un entier et k est un nombre strictement compris entre 0 et 1. Interprétation de la formule:

28 ACT Cours 9 Nous avons Interprétation (suite):

29 ACT Cours 9 Interprétation (suite) est donc égale à la valeur accumulée à t = n + k dune annuité de n paiements de 1$ en fin de période auquel nous ajoutons un paiement fait à t = n + k de

30 ACT Cours 9 Les notions précédentes sont utiles afin de déterminer le nombre de paiements dune annuité lorsque nous connaissons le taux dintérêt, les versements de lannuité et soit sa valeur actuelle, soit sa valeur accumulée.

31 ACT Cours 9 Par exemple il nexiste pas nécessairement un entier n qui permette de résoudre léquation dans laquelle P, R et i sont donnés.

32 ACT Cours 9 Cependant il existe un nombre réel (n + k), où n est un entier et k un nombre compris entre 0 et 1, qui permette de résoudre léquation dans laquelle P, R et i sont donnés.

33 ACT Cours 9 En effet, nous obtenons où est le taux instantané constant de lintérêt équivalent au taux dintérêt i

34 ACT Cours 9 Un capital de $ doit être utilisé pour faire des paiements de 1 000$ à tous les mois. Ce placement est rémunéré au taux nominal dintérêt i (12) = 9% par année capitalisé à tous les mois et les paiements sont faits à la fin de chaque mois. Le premier paiement est fait à la fin du premier mois. Combien de paiements peut-on faire? Exemple 2:

35 ACT Cours 9 Le taux dintérêt par mois est Exemple 2: (suite)

36 ACT Cours 9 Nous avons ainsi léquation de valeur suivante à t = 0 Exemple 2: (suite)

37 ACT Cours 9 Nous avons ainsi léquation de valeur suivante à t = 0 Exemple 2: (suite) La solution de cette équation est n + k = mois. Ici n = 371 et k =

38 ACT Cours 9 Cette solution signifie que nous pourrons faire un paiement de 1000$ à la fin de chaque mois pendant 371 mois et un dernier paiement fait mois (approximativement 2 jours) après le dernier paiement de 1000$ et ce dernier paiement sera au montant de Exemple 2: (suite)

39 ACT Cours 9 Lexemple précédent illustre une des difficultés lorsque ceci a à être mis en application. Lidée de faire un paiement de 62.84$ environ 2 jours après le dernier paiement de 1000$ nest pas très pratique. La solution est plutôt de gonfler le dernier paiement ou encore de faire un paiement réduit à la fin du mois suivant. Remarque 1:

40 ACT Cours 9 Nous allons illustrer ceci dans lexemple 2. La solution du dernier paiement gonflé. Nous ferons ainsi 370 paiements de 1000$ et un dernier paiement de X dollars fait un mois après le dernier paiement de 1000$. Nous allons maintenant calculer X. Exemple 3:

41 ACT Cours 9 Nous avons le diagramme dentrées et sorties suivant: Exemple 3: (suite)

42 ACT Cours 9 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est: Exemple 3: (suite)

43 ACT Cours 9 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est: Exemple 3: (suite) Nous obtenons ainsi que le dernier paiement est X = $ et est fait à la fin du 371 e mois.

44 ACT Cours 9 Nous allons illustrer lautre solution, celle du dernier paiement réduit dans lexemple 2. Nous ferons ainsi 371 paiements de 1000$ et un dernier paiement de Y dollars fait un mois après le dernier paiement de 1000$. Nous allons maintenant calculer Y. Exemple 3: (suite)

45 ACT Cours 9 Nous avons le diagramme dentrées et sorties suivant: Exemple 3: (suite)

46 ACT Cours 9 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est: Exemple 3: (suite)

47 ACT Cours 9 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 0 est: Exemple 3: (suite) Nous obtenons ainsi que le dernier paiement est Y = 63.28$ et est fait à la fin du 372 e mois.

48 ACT Cours 9 Ce que nous avons fait pour calculer le nombre de paiements dans le cas de la valeur actuelle peut aussi être utilisé pour le calcul du nombre de paiements dans le cas de la valeur accumulée.

49 ACT Cours 9 Ainsi il existe un nombre réel (n + k), où n est un entier et k un nombre compris entre 0 et 1, qui permette de résoudre léquation dans laquelle A, R et i sont donnés.

50 ACT Cours 9 En effet, nous obtenons où est le taux instantané constant de lintérêt équivalent au taux dintérêt i

51 ACT Cours 9 Anatole veut accumuler un capital de $ en faisant des versements de 800$ à toutes les semaines dans un placement rémunéré au taux nominal dintérêt i (52) = 5% par année capitalisé à toutes les semaines. Combien de versements doit-il faire? Exemple 4:

52 ACT Cours 9 Le taux dintérêt par semaine est Exemple 4: (suite)

53 ACT Cours 9 Nous avons ainsi léquation de valeur suivante à t = 0 Exemple 4: (suite)

54 ACT Cours 9 Nous avons ainsi léquation de valeur suivante à t = 0 Exemple 4: (suite) La solution de cette équation est n + k = semaines. Ici n = 48 et k =

55 ACT Cours 9 Cette solution signifie que Anatole fera un versement de 800$ à la fin de chaque semaine pendant 48 semaines et un dernier versement fait à semaine (approximativement 6 jours) après le dernier versement de 800$ et ce dernier versement sera au montant de Le montant accumulé lors de ce dernier versement sera alors de $. Exemple 4: (suite)

56 ACT Cours 9 Si nous considérons plutôt la situation dun dernier versement gonflé, alors Anatole fera 48 versements: les 47 premiers au montant de 800$ à la fin de chaque semaine et un dernier versement au montant de X dollars fait à la fin de la 48 e semaine. Le diagramme de ce flux est Exemple 4: (suite)

57 ACT Cours 9 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 48 est: Exemple 4: (suite)

58 ACT Cours 9 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 48 est: Exemple 4: (suite) Nous obtenons ainsi que le dernier versement est X = $ et est fait à la fin de la 48 e semaine.

59 ACT Cours 9 Si nous considérons plutôt la situation dun dernier versement réduit, alors Anatole fera 49 versements: les 48 premiers au montant de 800$ à la fin de chaque semaine et un dernier versement au montant de Y dollars fait à la fin de la 49 e semaine. Le diagramme de ce flux est Exemple 4: (suite)

60 ACT Cours 9 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 49 est: Exemple 4: (suite)

61 ACT Cours 9 Léquation de valeurs à la date de comparaison t = 49 est: Exemple 4: (suite) Nous obtenons ainsi que le dernier versement est Y = $ et est fait à la fin de la 49 e semaine.


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