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Elaboré par M. NUTH Sothan 1. Soit la suite a 1, a 2, a 3,...,a n,.... On note {a n }. L’expression : a 1 + a 2 + a 3 +... + a n +....= (1) s’appelle.

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1 Elaboré par M. NUTH Sothan 1

2 Soit la suite a 1, a 2, a 3,...,a n,.... On note {a n }. L’expression : a 1 + a 2 + a a n +....= (1) s’appelle série numérique, où a 1, a 2, a 3,...,a n,.... sont des termes de série et est a n un terme général. Les sommes : S 1 = a 1, S 2 = a 1 + a 2, S n = a 1 + a 2 + a a n. s’appellent sommes partielles d’une série (1). 2

3 Déf. : La série (1) est dite convergente si où S est la somme de série (1). R. : Si {S n } est une suite convergente, alors la série (1) est dite convergente. Ex.1 : Montrer que la série est convergente. Ex.2 : Etudier la convergence la série : Ex.3 : Etudier la convergence la série : 3

4 Th.1 : est convergente, ssi est convergente. Th.2 : Si est convergente et sa somme est égale à , alors est aussi convergente et sa somme est égale à c . 4

5 Th.3 : Si et sont convergentes admettant les sommes S et  respectivement, alors est aussi convergente et sa somme est égale à S . Th.4 (CN) : Si est convergente, alors R.: Th4 n’est qu’une condition nécessaire. Ex.4 : 5

6 Th.5 : Pour que soit convergente, il faut et il suffit que la suite de la somme partielle {S n } soit bornée. Th.6 (Règle de comparaison 1) : Soit et tel que 0 ≤ a n ≤ b n,  n  N. Alors : 1) Si est convergente, alors est aussi convergente 2) Si est divergente, alors est aussi divergente 6

7 Th.7 (Règle de comparaison 2) : Soit et tel que a n  b n, a n, b n ≥ 0,  n  N et Alors : et sont conv. ou div. simultanément. Ex.5 : a) b) 7

8 Th.8 (Règle de D’Alambert) : Soit, a n ≥ 0,  n  N et, alors : 1) Si  < 1, est convergente 2) Si  > 1 est divergentes. R.: On ne peut pas dire si  = 1. 8

9 Ex.6 : a) b) c) d) f) g) h) i) j) 9

10 Th.9 (Règle de Cauchy) : Soit, a n ≥ 0,  n  N et, alors : 1) Si  < 1, est convergente 2) Si  > 1 est divergentes. R.: On ne peut pas dire si  = 1. 10

11 Ex.7 : a) b) c) 11

12 Th.10 (Règle d’intégrale) : Soit, où f (n) est une valeur de f(x) positive et décroissante sur [1, +  [. Alors : 1) Si est conv.  est aussi conv. 2) Si est div.  est aussi div. 12

13 Ex.8 : a) b) c) 13

14 La série, où a n > 0 (1) est une série alternée. Th.1 (Règle de Leibniz) : Si les valeurs absolues des termes de (1) sont monotones décroissantes : a 1 > a 2 > a 3 > …. > a n > ….. et, alors (1) est conv. 14

15 Considérons :, (1) où a n peut être positif ou négatif. Et, (2) Th.2: Si (2) est conv., alors (1) est conv. absolument. Ex.8 : a) b) 15

16 Th.3 (Règle de Raabe): La série (1) est conv. si L > 1. Th.4 (Règle de Gauss): Où pour n > N. La série (1) est conv. si L > 1. 16

17 Une série : a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + …. + a n x n + …= (1) où a n est un coefficient et x est une variable, s’appelle série de puissante. On peut poser S n (x) = a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + …. + a n x n et S(x) = L’ensemble de valeur x où la série (1) est convergente s’appelle domaine de convergence. 17

18 Considérons : f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + …. + a n x n +…. (2) Où le domaine de convergence est de (  R, R). Alors, on dit que f(x) se développe en série de puissante sur (  R, R). Th.3 : Si f(x) se développe en série de puissante (2) sur (  R, R), alors elle est différentiable sur cet intervalle et f’(x) = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x 2 + 4a 4 x 3 + …. + na n x n-1 +…. 18

19 Th.4 : Si f(x) se développe en série de puissante (2) sur (  R, R), alors elle est intégrable sur cet intervalle et 19

20 Th.4 : Si f(x) se développe en série de puissante (2) sur (  R, R), alors cet développement est unique et Alors, (2) devient : La série (3) s’appelle série Maclaurin. 20

21 En général : Où La série (4) s’appelle série de Taylor. 21

22 Th.5 : Pour que la série Maclaurin (5) soit convergente sur (  R, R) et possède la somme égale à f(x), il faut et il suffit que Où Ex.1 : a) f(x)= e x b) f(x)=sin x c) f(x)=cos x d) 22


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