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Physique du Solide V.Semiconducteurs à l'équilibre Matériaux semiconducteurs Semiconducteurs intrinsèques Semiconducteurs extrinsèques.

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1 Physique du Solide V.Semiconducteurs à l'équilibre Matériaux semiconducteurs Semiconducteurs intrinsèques Semiconducteurs extrinsèques

2 Physique du Solide ln  1/T SC pur SC impur Matériaux semiconducteurs Résistivité:Métaux  <  cm Isolants  >  cm Semiconducteurs10 -4 <  <  cm Grande influence : - de la préparation des échantillons - des perturbations extérieurs Quels sont les matériaux qui présentent ces comportements ? V. Semiconducteurs : Matériaux

3 Physique du Solide V. Semiconducteurs : Matériaux

4 Physique du Solide Ge : (Ar)3d 10 4s 2 4p 2 : 4 électrons de valence Matériaux semiconducteurs : Colonne IV : Si, Ge, C, … III - V : GaAs, InSb II - VI : CdTe, … Structure électronique : Si : (Ne)3s 2 3p 2 : 4 électrons de valence Ga : (Ar)3d 10 4s 2 4p 1 : 3 électrons de valence As : (Ar)3d 10 4s 2 4p 3 : 5 électrons de valence En moyenne 4 électrons de valence Etc. V. Semiconducteurs : Matériaux

5 Physique du Solide Structure cristallographique : Structure diamant Si,Ge,C Structure Zincblende GaAs, InSb 4 plus proches voisins (ppv) avec une coordination tétraédrique Quelques II-VI : structure wurtzite, NaCl Structure cfc V. Semiconducteurs : Matériaux

6 Physique du Solide Si, cfc, a = 5,431 Å Atomes en (0;0;0) et (¼; ¼;¼) Si : 4 électrons de valence 8 électrons / maille Hybridation sp 3 Les 4 électrons de chaque Si forment des liaisons covalentes avec les 4 ppv Distance entre ppv : 2,33 Å 4 électrons de valence + structure cfc avec motif Semiconducteur, Pourquoi ? V. Semiconducteurs : Matériaux

7 Physique du Solide 1 ère Zone de Brillouin d'une structure cfc kxkx kyky kzkz X L K     Point  : Centre de zone Direction  : Direction 100 et équivalentes Direction  : Direction 111 et équivalentes Direction  : Direction 110 et équivalentes Point X : Bord de zone dans la direction 100 et équivalentes Point L : Bord de zone dans la direction 111 et équivalentes Point K : Bord de zone dans la direction 110 et équivalentes Réponse : Structure de bande V. Semiconducteurs : Matériaux

8 Physique du Solide Structure de bandes de Ge, Si et GaAs V. Semiconducteurs : Matériaux

9 Physique du Solide Ingénierie du gap : Alliages ternaires - quarternaires Alliages de type Al x Ga 1-x As Variation du gap en , X et en L pour un alliage Al x Ga 1-x As en fonction de x Autres substitutions possibles V. Semiconducteurs : Matériaux

10 Physique du Solide Composés III-V : paramètre de maille en fonction du gap et de la longueur d'onde correspondante. V. Semiconducteurs : Matériaux

11 Physique du Solide ECEC EVEV g(E), f(E) EFEF T = 0 K Électrons et Trous : Structure de bandes Semiconducteur : 2 bandes séparées par un gap Ordre de grandeur :Si : E g = 1,12 eV GaAs : E g = 1,42 eV T = 0 K : Bande de Valence (BV) Bande de Conduction (BC) BV pleine, BC vide V. Semiconducteurs : Matériaux

12 Physique du Solide ECEC EVEV g(E), f(E) EFEF T > 0 K A T > 0 K, le taux d'occupation des états est donné par la distribution de Fermi-Dirac: Attention : Jargon ! E F = µ !!! Quelques électrons passent de la BV à la BC, Ils sont thermiquement activés V. Semiconducteurs : Matériaux

13 Physique du Solide Pour les propriétés de transport : Quelques électrons dans la BC Quelques trous dans la BV Leur nombre est très inférieur au nombre d'états disponibles ECEC EVEV g(E), f(E) EFEF T > 0 K Les électrons : en bas de la BC Les trous : en haut de la BV Il faut connaître les masses effectives en bas de la BC en haut de la BV V. Semiconducteurs : Matériaux

14 Physique du Solide Masse effective dans la BC : Matériau à gap direct (ex. GaAs) Le minimum est situé en  est isotrope (ne dépend pas de la direction) Développement de E(k) autour de , i.e. une loi de style électrons libres caractérisés par une masse effective isotrope m C * Surface E - E C = const. Sphère centrée en  de rayon V. Semiconducteurs : Matériaux

15 Physique du Solide Masse effective dans la BC : Matériau à gap indirect (ex. Si, Ge) Le minimum n'est pas situé en  Pour Si : à 0,85  X Pour Ge : en L sur le bord de zone Pour Si : 6 minima (6 * (100)) Pour Ge : 8 minima (8 * (111)) La masse effective n'est pas isotrope Relation de dispersion : En principe 3 masses effectives m i * V. Semiconducteurs : Matériaux

16 Physique du Solide En réalité : pour des raisons de symétrie : Pour Si :1 masse longitudinale m l * suivant (100) 1 masse transverse m t * suivant deux directions (100) TPour Ge :1 masse longitudinale m l * suivant (111) 1 masse transverse m t * suivant deux directions (111) TLes surfaces E - E C = const. : ellipsoïdes de rotation Si Ge V. Semiconducteurs : Matériaux

17 Physique du Solide Masse effective dans la BV :  E k  lh hh SO Le maximum est situé en  3 bandes se trouvent près du maximum La bande spin-orbite (SO) à quelques dizaines de meV en dessous de E V (négligeable) 2 bandes confondues en  mais avec des courbures différentes Une bande de trous lourds : m hh * Une bande de trous légers :m lh * Les masses effectives sont presque isotropes V. Semiconducteurs : Matériaux

18 Physique du Solide Densité d'états et masse effective de densité d'états Un électron occupe un volume de dans l'espace des k (Conditions aux limites périodiques) BC pour un matériau à gap direct : La relation de dispersion s'écrit : Dans une sphère de rayon k on peut placer N électrons avec : ou V. Semiconducteurs : Matériaux

19 Physique du Solide Si E augmente de dE il y aura dn électrons/unité de volume de plus La densité d'état est m dC * : masse effective de densité d'état = m C * BC pour un matériau à gap indirect Pour un minimum : La surface E - E C = const. : ellipsoïde avec les trois axes : V. Semiconducteurs : Matériaux

20 Physique du Solide Le volume de l'ellipsoïde : Dans ce volume, on peut placer N électrons avec : La densité d'états pour un ellipsoïde est : Avec M ellipsoïdes dans la 1 ère Zone de Brillouin, la densité d'états totale est : M : Multiplicité (Multivalley) V. Semiconducteurs : Matériaux

21 Physique du Solide Définition : Masse effective de densité d'états En conséquence : Exemples Si 1 masse longitudinale m l * 2 masses transverses m t * 6 ellipsoïdes : M = 6 m l * = 0,98 m 0 m t * =0,19 m 0 V. Semiconducteurs : Matériaux

22 Physique du Solide Ge 1 masse longitudinale m l * 2 masses transverses m t * 8 demi - ellipsoïdes : M = 8/2 = 4 m l * = 1,64 m 0 m t * = 0,082 m 0 Remarque :Les masse effectives sont généralement données en unités de la masse de l'électron libre m 0 = 9, kg V. Semiconducteurs : Matériaux

23 Physique du Solide BV - Combinaisons des trous lourds et des trous légers La densité d'état est la somme des densités des 2 bandes : Définition de la masse effective de densité d'états Pour le Si :m hh * = 0,49 m 0 ; m lh * = 0,16 m 0 m dV * = 0,55 m 0 V. Semiconducteurs : Matériaux

24 Physique du Solide En résumé : BC gap direct BC gap indirect BV Masse effective de densité d'états isotrope M minima trous lourds trous légers V. Semiconducteurs : Matériaux

25 Physique du Solide Semiconducteurs intrinsèques E k ECEC E V =0 EgEg Définitions : n = n(T) : Nombre des électrons dans la bande de conduction à température T p = p(T) : Nombre des trous dans la bande de valence à température T E C :Énergie minimale de la BC (indépendante du nombre de minima) E V :Énergie maximale de la BV V. Semiconducteurs : Semiconducteurs intrinsèques

26 Physique du Solide Concentration des porteurs : électrons dans la BC E k ECEC E V =0 EgEg Avec la notion de la densité d'états : Changement de variable : avec Intégrale de Fermi - Dirac Pas de solution analytique mais 2 cas limites V. Semiconducteurs : Semiconducteurs intrinsèques

27 Physique du Solide L'approximation de Boltzmann : Signification : E F est beaucoup plus petit que E C et se situe à l'intérieur du gap On a : On obtient pour la concentration des électrons : avec V. Semiconducteurs : Semiconducteurs intrinsèques

28 Physique du Solide avec N C : densité d'états effective de la BC En remplaçant les constantes : Exemples numériques : Si :N C = 2, m -3 Ge :N C = 1, m -3 GaAs :N C = 4, m -3 V. Semiconducteurs : Semiconducteurs intrinsèques

29 Physique du Solide Interprétation de l'approximation de Boltzmann : La statistique de Fermi - Dirac est remplacée par la statistique de Maxwell - Boltzmann Il y a tellement peu d'électrons (<< ) par rapport à la densité d'états (~ ), que le principe de Pauli ne se manifeste plus ECEC EVEV EFEF Fermi Boltzmann V. Semiconducteurs : Semiconducteurs intrinsèques

30 Physique du Solide Approximation des électrons libres : E F se situe à l'intérieur de la BC : Semiconducteur dégénéré ! ou Même résultat que pour les électrons libres de masse m dC * V. Semiconducteurs : Semiconducteurs intrinsèques

31 Physique du Solide Concentration des porteurs : trous dans la BV E k ECEC E V =0 EgEg Avec la notion de la densité d'états : Changement de variable : avec Intégrale de Fermi Dirac Pas de solution analytique mais 2 cas limites V. Semiconducteurs : Semiconducteurs intrinsèques

32 Physique du Solide L'approximation de Boltzmann : Signification : E F est beaucoup plus grand que E V et se situe à l'intérieur du gap On obtient pour la concentration des trous : avec V. Semiconducteurs : Semiconducteurs intrinsèques

33 Physique du Solide N V : densité d'états effective de la BV En remplaçant les constantes : Exemples numériques : Si :N V = 1, m -3 avec V. Semiconducteurs : Semiconducteurs intrinsèques

34 Physique du Solide Approximation des électrons libres : E F se situe à l'intérieur de la BV : Semiconducteur dégénéré ! ou Même résultat que pour les "trous" libres de masse m dV * V. Semiconducteurs : Semiconducteurs intrinsèques

35 Physique du Solide Position du niveau de Fermi Chaque électron de la BC vient de la BV en laissant un trou n = p E F se situe vers le milieu du gap L'approximation de Boltzmann s'applique V. Semiconducteurs : Semiconducteurs intrinsèques

36 Physique du Solide Concentration des porteurs intrinsèques : Le produit ne dépend que de T, mais pas de E F On appelle : concentration de porteurs intrinsèque V. Semiconducteurs : Semiconducteurs intrinsèques

37 Physique du Solide Pour un SC intrinsèque : n = p = n i T = 300 K : pour Si : n i = 1, m -3 pour GaAS : n i = 1, m -3 Effet de compensation : n i =np = const. Pour une température donnée : Si n augmente, p doit diminuer et vice versa ! 2 V. Semiconducteurs : Semiconducteurs intrinsèques

38 Physique du Solide Semiconducteurs extrinsèques Pour le Si : n i = 1, m -3 Il y a ~ atomes/m 3 Pour avoir un SC intrinsèque, il faut une purification du cristal > Impossible !!!Il y a des impuretés et des défauts Supposition : La densité de défauts et d'impuretés dans le SC est suffisamment faible pour ne pas modifier la structure de bandes du SC pur, mais ils donnent lieu à des niveaux d'énergie discrets. Matériau parfait : SC intrinsèque Matériau avec impuretés : SC extrinsèque V. Semiconducteurs : Semiconducteurs extrinsèques

39 Physique du Solide Les niveaux extrinsèques se situent dans le gap : -niveaux voisins des limites de bandes (shallow levels) -niveaux profonds proche du milieu du gap (deep levels) -niveaux donneurs -niveaux accepteurs Les niveaux profonds seront traité ultérieurement ! V. Semiconducteurs : Semiconducteurs extrinsèques

40 Physique du Solide Donneurs : (Dopage de type n) Si - As + - As + - Milieu diélectrique As : 5 électrons4 électrons sont pris dans les liaisons Si : 4 ppv On remplace un atome de Si par un atome pentavalent : Le 5 ème électron gravite autour l'ion de As + Schématiquement : C'est l'équivalent d'un atome d'H V. Semiconducteurs : Semiconducteurs extrinsèques

41 Physique du Solide Le potentiel d'interaction s'écrit : La solution de l'équation de Schrödinger pour ce genre de systèmes est connue ! Énergie de liaison : "Rayon" de l'orbite : Comparaison : H  = 1m e * = m 0 E d = -13,6 eVr B = 0,53 Å Si  = 12m e * = 0,4 m 0 E d = -0,04 eVr B = 13 Å V. Semiconducteurs : Semiconducteurs extrinsèques

42 Physique du Solide Chaque atome d'As ajoute un niveau d'impureté à E d en-dessous de E C (Concentration N D ) Quelques énergies de liaison E C -E D (meV)PAsSb Si Ge E ECEC EVEV EDED EdEd BDV BDC T = 0 K V. Semiconducteurs : Semiconducteurs extrinsèques

43 Physique du Solide Accepteurs : (Dopage de type p) Si B-B- - B-B- + Milieu diélectrique + - B : 3 électrons3 électrons sont pris dans les liaisons dans la 4 ème liaison il y a une place libre Si : 4 ppv On remplace un atome de Si par un atome trivalent : Schématiquement : C'est l'équivalent d'un atome d'H inversé V. Semiconducteurs : Semiconducteurs extrinsèques

44 Physique du Solide Le calcul se fait de la même manière que pour les donneurs Chaque atome d'Al ajoute un niveau d'impureté à E A Au-dessus de E V (Concentration N A ) Quelques énergies de liaison E A (meV)BAlGa Si Ge E ECEC EVEV EAEA BDV BDC T = 0 K V. Semiconducteurs : Semiconducteurs extrinsèques

45 Physique du Solide Compensation : E ECEC EVEV EDED EdEd BDV BDC EAEA SC avec N D Donneurs et N A Accepteurs Si N D > N A ==> SC type n Si N A > N D ==> SC type p T = 0 K V. Semiconducteurs : Semiconducteurs extrinsèques

46 Physique du Solide Occupation des niveaux d'impuretés à T > 0 K L'occupation des niveaux d'impuretés suit la statistique de Fermi - Dirac, mais il faut tenir compte de : -les différents états de charge -les différents états de spin -et les combinaisons possibles entre eux V. Semiconducteurs : Semiconducteurs extrinsèques

47 Physique du Solide Donneurs : E ECEC EVEV EDED EdEd BDV BDC état ionisé état neutre Concentration N D = N D 0 + N D + Le nombre de niveaux de donneurs neutres : g D : facteur de dégénérescence (pour des donneurs monovalents et deux états de spin possible, g D = 2) Nous cherchons N D + parce que cela correspond au nombre d'électrons qui sont passés dans la BC V. Semiconducteurs : Semiconducteurs extrinsèques

48 Physique du Solide Nombre de donneurs ionisés : EFEF Ln N D + NDND EDED i)ii) T1T1 T2T2 T 1 < T 2 Deux comportement limites : i) ii) V. Semiconducteurs : Semiconducteurs extrinsèques

49 Physique du Solide Accepteurs : E ECEC EVEV EAEA BDV BDC état ionisé état neutre Nombre d'accepteurs ionisés N A - = Nombre de trous dans la BV g A : facteur de dégénérescence (accepteurs monovalents, 2 états de spin et deux bandes : g A = 4) EFEF Ln N A - NANA EAEA T1T1 T2T2 T 1 < T 2 V. Semiconducteurs : Semiconducteurs extrinsèques

50 Physique du Solide Équation de neutralité électrique : (ENE) (Détermination de la position du niveau de Fermi) Bilan du nombre total des électrons dans un semiconducteur dopé : On a : N atomes du SC==>4N électrons N D atomes donneurs ==>5N D électrons N A atomes accepteurs==>3N A électrons Au total :4N + 5N D +3N A électrons V. Semiconducteurs : Semiconducteurs extrinsèques

51 Physique du Solide BV Accepteurs neutres Accepteurs ionisés Donneurs neutres Donneurs ionisés BC Remarque :les calculs de n et p du paragraphe précédent restent valables, c'est la position du niveau de Fermi qui change. V. Semiconducteurs : Semiconducteurs extrinsèques

52 Physique du Solide Résolution de l'équation de neutralité électrique : On a : Avec : Si Boltzmann s'applique Solution analytique rigoureusement impossible ! mais on peut regarder ce qui se passe dans des cas particuliers V. Semiconducteurs : Semiconducteurs extrinsèques

53 Physique du Solide 1 er exemple SC type n, i.e. N A = 0 : 1 er cas : N D + = N D i.e. E F << E D 2 possibilités : i)N D >> n i n = N D ; Ionisation complète des donneurs Régime de saturation Tous les électrons de la BC proviennent des donneurs V. Semiconducteurs : Semiconducteurs extrinsèques

54 Physique du Solide ii)N D << n i n = p = n i Comme pour un SC intrinsèque Régime intrinsèque Température limite : La transition entre les deux régimes aura lieu pour T i définit par : Attention : solution pas simple car N C, N V sont donnés en fonction de T V. Semiconducteurs : Semiconducteurs extrinsèques

55 Physique du Solide 2 ème cas : N D + = N D i.e. E F ~ E D / Température limite par rapport au régime précédent : E F = E D L'équation de neutralité électrique s'écrit : Si T > k B T Régime du gel V. Semiconducteurs : Semiconducteurs extrinsèques

56 Physique du Solide En résumé : 1/T 1/T g 1/T i Ln N D Ln n gel saturation intrinsèque extrinsèque ~E g ~(E C -E D ) E EVEV ECEC EDED TiTi TgTg E F (T) E Fi V. Semiconducteurs : Semiconducteurs extrinsèques

57 Physique du Solide 2 ème exemple SC type p, i.e. N D = 0 : On retrouve les mêmes régimes que pour un SC type n -Régime intrinsèque -Régime de saturation -Régime de gel p = N A ; V. Semiconducteurs : Semiconducteurs extrinsèques

58 Physique du Solide En résumé : 1/T 1/T g 1/T i Ln N A Ln p gel saturation intrinsèque extrinsèque ~E g ~(E A -E V ) E EVEV ECEC EAEA TiTi TgTg E F (T) E Fi V. Semiconducteurs : Semiconducteurs extrinsèques

59 Physique du Solide Technique de solution de l'équation de neutralité électrique : solution graphique semiquantitative qui permet de voir quelles sont les approximations qu'on peut faire Diagramme de Schockley : On considère E F comme variable, T comme paramètre et on trace les 4 fonctions dans un même diagramme semi-log Ensuite on construit les fonctions p+N D + et n+N A - et on trouve leur intersection. V. Semiconducteurs : Semiconducteurs extrinsèques

60 Physique du Solide Exemple : SC type n L'ENE : n p p+N D + EFEF V. Semiconducteurs : Semiconducteurs extrinsèques

61 Physique du Solide V. Semiconducteurs : Résumée Un semiconducteur est caractérisé par un gap dans sa structure de bandes entre les états occupés à T = 0K (Bandes de Valence) et les états vides (Bande de conduction). le gap peut être direct (GaAs) ou indirect (Si). A T > 0K, quelques électrons peuvent être activé thermiquement dans la BdC à partir de la BdV en y laissant des trous. La masse effective de densité d'états est la moyenne pondérée des composantes du tenseur de masse effective calculé à partir de la structure de bandes, pour décrire la répartition des porteurs dans les bandes. avec Pour un SC non dégénéré, la concentration des électrons dans la BdC est : Pour un SC non dégénéré, la concentration des trous dans la BdV est : avec Dans l'approximation de Boltzmann :

62 Physique du Solide V. Semiconducteurs : Résumée La condition de neutralité électrique s'écrit : n = p et le niveau de Fermi se situe à : La concentration de porteur intrinsèque est donné par : Semiconducteurs extrinsèques : Dopage type n : ajout de niveau donneurs proche du minimum de la BdC Dopage type p : ajout de niveau accepteurs proche du maximum de la BdV Nombre de donneurs ionisés :Nombre d'accepteurs ionisés : La position du niveau de Fermi est fixé par la condition de neutralité électrique :

63 Physique du Solide V. Semiconducteurs : Résumée type n N D >> N A type p N A >> N D gel saturation intrinsèque extrinsèque Exemples de solutions particulières :


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