11 Les mélanges Les polytopes et la notion de dimensions Knstat.jimdo.com © 2013 C-A Saby S Janaqi.

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1 11 Les mélanges Les polytopes et la notion de dimensions Knstat.jimdo.com © 2013 C-A Saby http://www.dimensions-math.org S Janaqi

2 22 Définitions: Wikipédia : Un mélange est une association de deux ou plusieurs substances solides, liquides ou gazeuses qui n'interagissent pas chimiquement. Le résultat de l'opération est une préparation aussi appelée mélange. Les substances mélangées sont étroitement juxtaposées dans un même espace, chacune gardant ses propriétés physiques et chimiques. Les éléments mélangés peuvent être séparés de nouveau par l’action d'un procédé physique. Larousse : Action de mêler, de mettre ensemble des substances diverses, de les réunir en un tout : Faire un mélange de vin et d'eau. Substance obtenue en mêlant : Le vert est un mélange de bleu et de jaune. Réunion de choses ou d'êtres de natures diverses : Un style qui est un mélange d'ancien et de moderne. Brassage, croisement, métissage de personnes d'origines diverses : Le mélange des ethnies en Amérique. Chimie : Association de plusieurs corps sans réaction chimique. Opération consistant à augmenter le degré d'homogénéité d'un ensemble de corps.

3 33 Verbe mélanger : Sens 1 : rassembler des choses ou des personnes différentes de Manière à former un ensemble Sens 2 : mettre en désordre, embrouiller Sens 3 : confondre, brouiller, emmêler Synonymes : agglomérer, agglutiner, allier, amalgamer, brasser, Brouiller, composer, confondre, croiser, embrouiller, emmêler, Entremêler, fusionner, incorporer, joindre, rapprocher, touiller, unir… On peut mélanger l’espoir et le désespoir jusqu’à ne plus distinguer L’un de l’autre (André Chambon)

4 4 Titre de la Présentation – Lieu et Pays – Date Jour Mois Année4 Qu’est ce qu’un mélange? Notions concrète et abstraite Mélanges de : solide, liquide, gaz, ondes acoustique, spectrale, Image, signaux Mélange air/carburant Mélanges de culture, religieux, Mélanges de couleurs (couleurs secondaires) Mélanges de gênes Mélanges d’idées, de concepts Sans mélange, pur de toute chose contraire ou différente qui viendrait troubler : Un bonheur sans mélange Mélange de mépris, d'insulte, de suffisance

5 55 Tout mélanger n’est pas forcément possible

6 66 Méthodes de conception de mélanges ? -personnel, aléatoire, intuitif -Plan de mélanges, méthodologie, représentation mathématique

7 77 Mélange de 3 composantsMélange de 4 composants Au-delà de 4 on ne sait plus représenter Question : peut-il y avoir d’autres Méthodes de représentation et de traitement ?

8 88 A titre d’exemples possibles

9 99 noyau métrique

10 10 Représentation 3D d’une figure 2D Après dépliage du cône

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13 13 Exemple d’un mélange complexe On met p produits sous contraintes doubles de qualité, de disponibilité, de débit, dont on maîtrise p’ caractéristiques On met ces produits dans un bac qui possède déjà un volume V0 dont les caractéristiques sont connues On réalise un produit final Répondant à des critères mini Et maxi sur l’ensemble de caractéristiques On réalise en temps réel un produit répondant aux caractéristiques voulues À chaque instant L’incertitude doit être connue et donc le risque lié à la conformité du produit final

14 14 Résolution de problèmes de mélange par polytopes

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16 16 Cas 1 Les zonotopes interviennent dans le modèle géométrique des procédés de Fabrication de mélanges. A partir de la représentation vectorielle des produits, P Valentin a développé le concept de convexe de mélanges. Ce convexe est Un zonotope associé aux produits de base disponibles. Il représente l’ensemble des mélanges faisables. La façon de fabriquer un produit n’est pas unique, d’où l’élaboration d’un critère de gestion des mélanges. Ce critère a pour but de gérer les bases de manière a fabriquer le plus grand éventail de mélanges possibles. Dans le chapitre IV, cette thèse aborde le sujet de la décomposition d’un polytope en somme de polytopes. Dans le plan tout polytope convexe peut s’écrire comme la somme de segments et de triangles.

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21 21 Un exemple d’application des polytopes (chapitre III de la thèse)

22 22 Un des exemples présenté dans la thèse

23 23 Cas 2

24 24 Position du problème

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28 28 Enveloppes de faisabilité de mélanges Stefan Janaqi -LGI2P –Ecole des Mines d’Alès Remerciements à Stefan Janaqii

29 29 Remerciements à Stefan Janaqii

30 30 Remerciements à Stefan Janaqii

31 31 Remerciements à Stefan Janaqii

32 32http://www.dimensions-math.org32 Que cache la notion de Dimension ?

33 33 Voyage en Dimensions 2 et 3 L'une des gravures les plus célèbres de Escher s'intitule Reptiles. C'est l'image d'un monde plat : les lézards qui vivent dans cette page ne connaissent que cette page, ils ignorent l'espace qui les entoure. Nous les voyons, nous savons que leur monde plat n'est qu'une page d'un cahier qui est situé dans notre espace, mais les reptiles plats l'ignorent. L'un de ces lézards a la chance d'échapper au plan et visite notre monde : on le voit en bas qui prend progressivement de l'épaisseur, qui grimpe sur un livre, emprunte une équerre en guise de pont qui le mêne sur un promontoire de forme dodécaèdrale, avant de redescendre et de reprendre sa position dans son monde plat, riche de sa nouvelle expérience, comme un explorateur qui aurait découvert un nouveau continent. La gravure incite à une réflexion philosophique : si ces lézards ignorent l'existence du monde extérieur, ne sommes-nous pas dans la même situation ? N'existerait-il pas un monde "extérieur" au nôtre, auquel nos sens ne nous donnent pas accès ? D'ailleurs, les allusions philosophiques abondent dans cette gravure. On y voit les quatre éléments qui selon Platon constituent le monde : l'eau dans le verre, l'air expulsé des narines du lézard, la terre dans le pot, le feu évoqué par la boîte d'allumettes, et même le dodécaèdre qui représente la quintessence, le cinquième élément... Le papier à cigarettes de la marque Job est-il une allusion biblique ? Le but de ce chapitre est de nous préparer à la quatrième dimension. http://www.dimensions-math.org/Dim_CH2.htm

34 34 Lorsque l’on sort de la dimension 2 on voit des formes qu’on ne Pouvait pas voir en 2D. Et si l’on passait en 4D que verrions nous? En 3 D on pourrait voir les cinq solides de Platon Ces figures sont des polyèdres cad qu’elles ont Plusieurs faces. On ne retient en général que les figures les plus simples ! On ne cherche à retenir que les polyèdres Réguliers cad faces de même type, arêtes de Même longueur, sommets de même type (même nombre d’arêtes par exemple) Remerciements à http://www.dimensions-math.org/Dim_fr.htm

35 35 Tétraèdre, tomographie et technique d’imagerie médicale Lorsqu’un polyèdre se déplace dans l’espace et qu’il rencontre un plan, l’intersection est un polygone qui se déplace, se déforme et disparait après avoir traverser le plan. Nous avons la notion du 3D parce que nous avons 2 yeux Remerciements à http://www.dimensions-math.org/Dim_fr.htm

36 36 La projection stéréographique Si l’on fait tourner rapidement le cube il ressemble à une sphère Que l’on fait rouler de manière à observer les projections Quant à dire que la terre serait un cube en mouvement… Remerciements à http://www.dimensions-math.org/Dim_fr.htm

37 37 La 4 ème dimension Le mathématicien Ludwig Schlafli (1814-1898) parle d’objets dans la quatrième dimension Une droite est de dimension 1 Un plan est de dimension 2 : il faut des abscisses et des ordonnées pour se repérer : ici le triangle Dans l’espace il faut 3 points pour se repérer : x y z on est dans la dimension 3 : ici le tétraèdre On peut décréter qu’un point dans l’espace de dimension 4 n’est rien d’autre que la donnée de 4 nombres x y z t (hyperplan), l’inconvénient c’est que l’on ne voit pas grand-chose. Le tétraedre (polygones) a 4 sommets et est de dimension3 On peut donc supposer qu’il existe dans L’espace un objet de dimension 4 de 5 sommets Ces objets sont appelés POLYTOPES Remerciements à http://www.dimensions-math.org/Dim_fr.htm

38 38 Voir en dimension 4 : la méthode des sections Un objet dans l’espace de dimension 4 vient couper l’espace de dimension 3 Au lieu d’être un polygone qui se déforme, c’est un polyèdre Impressionnant mais pas facile à comprendre Remerciements à http://www.dimensions-math.org/Dim_fr.htm

39 39 Remerciements à http://www.dimensions-math.org/Dim_fr.htm 39 Voir en dimension 4 : la méthode des ombres On projette l’image d’un objet 3D sur une toile 2D puis on fait bouger l’objet La déformation de l’ombre donne une idée bien précise de l’objet L’ensemble 3D+2D forme Un hypercube

40 40 Référence : http://www.dimensions-math.org/Dim_fr.htm