Méthode de résolution de SUDOKU

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1 Méthode de résolution de SUDOKU
Positionnement par 4 droites d’interdiction 1 Méthode de résolution de SUDOKU Droites d’interdiction: Tout d’abord nous utiliserons les termes de “ligne” pour définir une ligne de la grille, de “colone” pour les colones et de “région” pour les garrés de 9 cases, et le terme de zone peut désigner l’un de ces 3 types de surfaces. Un chiffre positionné en un ou plusieurs exemplaires permet de faire des alignements pour trouver les positions interdites pour ce chiffre et donc de découvrir les possibilités de positionnements obligatoires. Positionnement par 3 droites d’interdiction et une case occupée Positionnement par 2 droites d’interdiction parallèles et 2 cases occupées 1 X 1 X

2 Positionnement par 2 droites d’interdiction sécantes et 3 cases occupées
1 X Positionnement par 1 droites d’interdiction et 5 cases occupées 1 X Positionnement par 1 droite d’interdiction et 5 cases occupées 1 X En résumé on remarque que un chiffre positionné élimine 21 cases !!! 1 Il faut donc faire cette opération successivement pour tous les chiffres en n’oubliant pas que un chiffre ajouté dans la grille entraîne d’autres interdictions pour ce chiffre qu’il faut continuer à étudier, et qu’il faut aussi reprendre l’étude de tous les autres chiffres en tenant compte de ces nouvelles interdictions.

3 Autre variante souvant oubliée:
Même exemple avec 3 droites d’interdiction et 3 cases occupées dans une colone. Positionnement par 3 droites d’interdiction et 3 cases occupées 1 X Résumé: Les trois droites d’interdiction 1 Positionnement par 2 lignes d’interdiction et 4 cases 1 X Effet “miroir”: Quand une droite d’interdiction donne une possibilité de positionnement dans une seule colone ou une seule ligne il faut considérer que le chiffre est placé dans cette colone ou cette ligne et génère donc de nouvelles interdictions (effet miroir). Le chiffre étudié dans la région du haut à droite ne peut pas être dans la colone de droite de la région du bas, il se trouve donc dans la colone du milieu de la région du bas ce qui interdit à ce chiffre la colone du milieu pour la région centrale. L’autre interdiction et la case occupée permettent de placer le chiffre.

4 Etude simultanée de 2 chiffres:
Comme dans l’exemple prédédent un alignement de 3 chiffres dans une région donne un effet miroir. Et si on trouve cette proriété pour deux chiffres simultanément, on peut en définir des couples de chiffres se trouvant dans 2 cases et n’étant donc pas dans les autres cases. Ce sont des “doublets”. Positionnement d’une paire par 2 fois 2 droites d’interdiction, un miroir et 1 case Le 4 n’étant pas dans la colone de droite de la région du milieu il se trouve donc dans la colone du milieu de cette région ce qui interdit la colone du milieu pour la région du haut.. Même raisonnement pour le chiffre 9. La paire de doublets 49 est placée. X 4 9 49 Même exemple (autre méthode): Positionnement d’une paire par 2 fois 1 droite d’interdiction et 4 case X 4 9 49 Pour la colone de gauche le 4 et le 9 n’étant pas dans les 3 cases du bas car ils sont déjà dans cette région du bas, ils se trouvent donc dans les 2 seules autres cases libres en haut de cette colone de gauche.

5 Effet de “prisme” + “miroir”:
Positionnement par effet de prisme et miroir Effet de “prisme” + “miroir”: Si on trouve un groupe de 4 cases occupées en forme de carré les droites d’interdiction se réfléchissent à 90°. Et si un alignement de 3 chiffres dans une région donne un effet miroir c’est encore mieux. A titre indicatif: autre prisme pour le 4 Pour la région du bas à gauche, le 4, grâce à la droite d’interdiction n’étant pas dans la ligne du haut il se trouve donc dans l’une des 2 cases restantes et un autre chiffre 4 ne peut pas se trouver dans cette colone de gauche, la droite d’interdiction repart donc à 90°. Même raisonnement pour le chiffre 9. La paire de doublets 49 est placée et l’effet de prisme s’est produit pour les 2 chiffres. Si en plus une autre droite d’interdiction intervient les 2 chiffres sont placés grace au miroir X 4 9 49 Résumé: miroirs et Prismes X 1 X 1

6 Encore les couples ou “doublets”:
Positionnement par 2 droites d’interdiction et 6 cases Encore les couples ou “doublets”: Quand dans certaines zones il reste moins de 4 cases vides, il devient plus intéressant d’étudier les cases libres plutôt que les chiffres, et de chercher les possibilités uniques ou de paires qui peuvent remplir ces cases. Dans la région en haut à gauche, le 3 et le 8 n’étant pas dans la ligne du milieu, ils se trouvent donc dans la ligne du bas, il ne reste plus qu’une place pour le 6. La paire de doublets 38 pourait être placée. 3 8 6 49 5 2 1 7 Toujours les doublets: Les paires de doublets peuvent être dissossiées grâce à de nouvelles interdictions et d’autres paires ainsi positionnées. Dans la région en haut à gauche, le 9 n’étant pas dans la ligne du milieu c’est donc le 4 qui s’y trouve et le 9 est en dessous, notre paire de doublets est donc dissociée. Si ce n’est déjà fait, on peut en profiter pour positionner les 2 paires “38” qui pouront servir ultérieurement à l’étude des colones 2 et 3 ou de la troisième ligne. Supression de paires par 1 droites d’interdiction 9 6 49 5 2 1 7 38 8 3

7 Les triplets circulaires:
De la même manière que les doublets, les triplets peuvent être très utiles: Quand on est certain que 3 chiffres se trouvent dans 3 cases d’une zone ils ne sont pas dans les autres cases vides. Supression de paires par 1 droites d’interdiction 4 9 5 2 6 7 3 1 647 8 Le 4, le 6 et le 7 interdisent donc à ces chiffres de se trouver dans cette même colone pour la zone du haut, ils sont donc dans la colone du milieu et les 2 chiffres restant sont le 1 et le 8, le 1 déjà placé indique donc par une droite d’interdiction la place du 1, et il ne reste plus qu’une case pour le 8. Les triplets circulaires: Quand un triplet est en partie dissocié par 3 droites d’interdiction il se divise en 3 doublets circulaires, la résolution d’un de ces doublets entraîne la résolution des autres. Résolution de triplets circulaires par 1 droites d’interdiction Le triplet 467 est circulaire grâçe aux chiffres 4, 6 et 7 déjà positionnés, ce qui donne les 3 doublets 47, 67 et 46. La présence d’un nouveau chiffre 6 interdit donc ce chiffre dans le doublet 46 qui devient 4, le doublet 47 devient alors 7 car le 4 est déjà placé et le doublet 67 devient alors 6. 4 X 6 7 46 67 47

8 Propriétés des doublets:
Quand 2 doublets sont dans une région et qu’un autre doublet ayant un chiffre commun se présente par une autre zone ce second doublet se résoud. Ici la paire de doublets 49 indique que le 4 est dans cette région, et 14 qui arrive entre en conflit, le 4 étant déjà dans la région le couplet 14 se trouve résolu en 1, et l’autre doublet 14 de la ligne se transforme donc en 4 . Conflit de 2 paires de doublets 49 14 Résolution de paires doublets en cascade Propriétés des doublets: Quand de nombreux doublet circulaires ou non sont positionnés, la résolution d’un doublet entraîne un effet de cascade permettant la résolution de nombreux autres doublets Ici le nouveau 4 entraine le résolution d’un doublet 49 en 9 puis dans cette région l’autre doublet se trouve résolu en 4, puis comme ce doublet appartient à une paire dans une colone son homologue est résolu en 9, il ne reste plus qu’à suivre le jeu de piste. 49 4

9 Etude des cases vides par négation:
Quand les chiffres positionnés dans la grille sont très dispersés et que l’on ne trouve pas de zones ayant moins de 4 cases vides il faut compter le nombre de chiffres différents dans la totalité des zones incluant une case vide (c’est là que l’on retrouve nos 21 cases), si ce nombre est de 7 on trouvera un doublet, s’il est de 8 on positionne un chiffre. Les zones incluant la case étudiée contiennent tous les chiffres sauf le 3, donc tout autre chiffre que le 3 ferait un doublon dans une de ces zones C’est donc le 3 qui trouve sa place. Positionnement par 8 chiffres 3 6 4 5 2 1 7 9 8 Etude des cases vides par négation: Si dans une zone (ligne, colone ou région il reste 3 cases vides et que 2 chiffres sont interdite dans une case, le troisième chiffre est dans cette case. On peut aussi essayer le raisonnement avec 4 cases vides dans une zone. Le 5 et le 1 sont interdits dans la case il ne reste donc plus que le 3 et la paire de doublets 15 peut être placée. Positionnement par négation 3 6 4 5 2 1 7 9 8 15

10 Ou exclusifs ou effet “tunnel”:
Quand simultanément dans 2 régions placées en ligne ou en colone, un chiffre ne peut être que dans 2 ligne ou colones, il est interdit dans ces lignes ou colones pour la troisième région. Dans la région en haut à gauche le 1 ne peut être que sur la deuxième ligne grace une droite d’interdiction et effet miroir. Même chôse dans la région en bas à gauche. Pour la région centrale à gauche, le 1 ne peut donc pas être que dans la colone de gauche, une droite d’interdiction et une case occuipée permettent de placer le 1. On peut aussi placer le 1 dans la région en bas à droite Effet tunnel X 1 Double “demi-tunnel”: Quand régions, 2 paires de doublets sur des mêmes lignes ou colones ont un chiffre en commun ce chiffre se trouve sur l’autre ligne ou colone de la troisième région Dans la région en haut à droite le 3 ne peut être que sur la deuxième ligne grace au demi tunnel des lignes 1 et 2. Même chôse pour l’autre demi tunnel des 2 dernières colones. On peut donc placer un 3 Effet double demi-tunnel 3 1 23 36 37 35

11 Figures cachées: Autre raisonnement: Ou tout simplement:
Positionnement par figures cachées X 7 Figures cachées: Dans la région en haut à droite, 2 droites d’interdiction ne laissent que 2 cases disponibles pour le 7. On peut considérer que l’on est en présence d’un effet de prisme (trois cases interdites en ligne) ou de miroir (4 cases interdites disposées en carré), et il en ressort une nouvelle droite d’interdiction. Ce qui ne laisse plus qu’une case pour le 7 dans la région du milieu. 7 Autre raisonnement: Il ne peut y avoir qu’une seule fois le chiffre 7 sur chacune des lignes. Dans la région de droite,2 cases occupées et une droite d’interdiction, interdisent la première ligne pour le chiffre 7. Dans la région de gauche le 7 n’est pas sur la première ligne. Donc dans la région du milieu le 7 est sur la première ligne et 2 cases interdites permettent de placer le 7 Positionnement par 2 droites d’interdiction et 4 cases 7 X Ou tout simplement: Dans la ligne du haut: 2 droites d’interdiction et 4 cases occupées permettent de placer le 7 !!! Mais ce raisonnement tout simple n’est pas toujours celui qui vient à l’esprit en premier.

12 Pointage des Alternatives:
Quand simultanément dans plusieurs régions, un chiffre ne peut être que dans 2 cases, il est intéressant de pointer ces alternatives pour en avoir une meilleure vision, et en tirer les conséquences X 7 7 7 Dans la région du milieu en haut le 7 ne peut être que dans 2 cases. Même chôse dans la région du milieu au centre. Même chôse dans la région du milieu en bas Dans ces 2 dernières régions il y aura donc forcément un chiffre 7 dans les colones 1 et 3 Donc dans la région du haut le 7 ne peut se trouver que dans la colone centrale. 7 X 7 1 7

13 Un peu de mathématiques:
On a vu avec les droites d’interdiction que, quand dans une zone il ne reste plus qu’une place pour un chiffre on peut placer ce chiffre. Maintenant raisonnons différemment: Si dans une zone il reste n cases vides et que n-1 chiffres ne peuvent se placer dans une case, le chiffre restant est dans cette case. Exemple 1: le 6, 7 et 8 ne sont pas dans la case jaune, il ne reste que le 9 à y placer De même si dans une zone il reste n cases vides et que n-2 chiffres ne peuvent être placés dans 2 cases, les 2 chiffres restant sont dans ces 2 cases. Exemple 2: le 6, 7 et 8 ne sont pas dans les 2 cases jaunes, il ne reste que le 2 et le 9 à placer dans ces 2 cases, un autre 9 permet de placer le 2 puis le 9 Etude de groupes de chiffres 6 2 8 9 1 7 3 4 5 On peut continuer le raisonnement: Si dans une zone il reste n cases et que n-x chiffres ne peuvent être placés dans x cases: les x chiffres restant sont dans ces x cases, et nes n-x chiffres étudiés sont dans les n-x cases restantes. Ceci permet de travailles sur des groupes de chiffres qui peuvent être étudiés plus attentivement.

14 L’effet Canon L’effet “Canon”: Ou l’art d’utiliser les chiffres virtuellement placés. Dans la région centrale en bas, la colone du milieu contiendra les chiffres 1,2 et 3 qui ne sont pas encore placés. Cette colone forme un canon qui vise une des 4 cases vides de la première ligne où il manque les chiffres 1,2,3 et 4. Grace au canon qui interdit les chiffres 1,2 et 3 c’est donc le chiffre 4 qui trouve sa place dans cette case! Dans cet exemple nous n’avons utilisé que des chiffres non placés; comme quoi il faut quelquefois mieux étudier les cases vides que les chiffres déjà placés. 6 5 8 9 7 4 2 3 1

15 Décomposition d’une résolution en ses étapes:
Dans la région en bas à gauche traçons les 2 droites d’interdiction pour le 1. 4 Le 1 ne peut être que dans la ligne du bas (effet miroir). 1 1 Etudions maintenant la région centrale en bas: le 1 n’est donc pas dans la ligne du bas et une droite d’interdiction tombée du ciel nous permet de placer le chiffre 1. 1 Pour la région du milieu en haut: faisons la droite d’interdiction de ce 1 que l’on vient de placer Ainsi que celle du 1 se trouvant dans la région en haut à gauche, et continuons vers le haut celle qui nous tombait du ciel. 1 3 6 1 8 On en déduit le placement d’un nouveau 1 dans la région du centre en haut !!! Yannick Fruneau