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Décomposer un nombre en facteurs premiers. 10 = 2 X 5 30 = 2 X 3 X 5 1 000 = 2 3 X 5 3 5 040 = 2 4 X 3 2 X 5 X 7 280 = 2 3 X 5 X 7.

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1 Décomposer un nombre en facteurs premiers. 10 = 2 X 5 30 = 2 X 3 X = 2 3 X = 2 4 X 3 2 X 5 X = 2 3 X 5 X 7

2 Décomposer un nombre en facteurs premiers est un procédé très utile en mathématique. Il permet: - dadditionner, de soustraire, de multiplier et de diviser des fractions; - de simplifier des fractions; - de déterminer les facteurs dun nombre; - de déterminer les PGCF et le PPCM de deux ou plusieurs nombres; - dopérer les fractions rationnelles; - dutiliser les lois sur les exposants; - dextraire les racines dun nombre; - etc.

3 Pour décomposer un nombre sous la forme de facteurs premiers, il faut connaître les notions suivantes: - quest-ce quun nombre premier ? - quest-ce quun facteur ? - quest-ce quun exposant ? - quest-ce quun facteur premier ?

4 Nombre premier Un nombre premier est un nombre qui n'a que deux diviseurs: 1 et lui-même. On pourrait aussi dire que cest un nombre quon ne peut plus décomposer en entiers plus petits. Exemple : 2est un nombre premier car il na que deux diviseurs: 2 ÷ 1 = 22 ÷ 2 = 1 3est un nombre premier car il na que deux diviseurs: 3 ÷ 1 = 33 ÷ 3 = 1 On peut remarquer quon ne pourrait pas décomposer 2 ou 3 en entiers plus petits. 6nest pas un nombre premier car il a plus que 2 diviseurs: 6 ÷ 6 = 16 ÷ 1 = 66 ÷ 2 = 3 6 nest pas un nombre premier car on peut le décomposer en entiers plus petits: 2 et 3 car et 6 ÷ 3 = 2 6 = 2 X 3

5 Il existe plusieurs nombres premiers: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Voici la liste des nombres premiers plus petits que 100 : Voici un nombre premier très grand: Voici le plus grand nombre premier découvert jusquà aujourdhui (2 008) : Il faut 13 millions de chiffres pour lécrire. Heureusement, pour nos calculs, nous naurons pas besoin de tous les connaître !

6 Facteurs La réponse dune multiplication sappelle :produit. Exemple :6 X 4 = est le produit de 6 X 4 Les nombres multipliés ensemble sappellent : 6 X 4 = 24 facteur produit x = facteurs. 24 peut être décomposé de plusieurs façons: 1 X 24 2 X 12 3 X 8 4 X 6 On dira que les facteurs de 24 sont :{ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }

7 Facteurs premiers Un facteur premier est un nombre premier utilisé comme facteur. Exemple: 2 X 3 = 6 facteur 2 et 3 sont deux facteurs de 6 ; Ce sont donc des facteurs premiers. ils sont aussi des nombres premiers.

8 Décomposons 12 en facteurs premiers: 12 = 4 X 3 4 est un facteur mais il nest pas premier; alors décomposons encore. 12 = 4 X 3 2 X 2 2 est un nombre premier donc un facteur premier. 12 décomposé en facteurs premiers sécrit: 2 X 2 X 3 12 = 2 X 2 X 3 3 est un nombre premier donc un facteur premier;

9 Remarque: On aurait pu commencer avec 12 = 2 X = 2 X 6 6 est un facteur mais il nest pas premier; alors décomposons encore. 12 = 2 X 6 2 X 3 3 est un nombre premier donc un facteur premier. 12 décomposé en facteurs premiers sécrit: 2 X 2 X 3 12 = 2 X 2 X 3 Remarque: Peu importe par quels facteurs on commence la décomposition du nombre, on obtiendra toujours le même regroupement de facteurs premiers. 12 = 4 X 3 = 2 X 2 X 3 12 = 2 X 6 = 2 X 2 X 3 2 est un nombre premier donc un facteur premier;

10 Dans une multiplication, les facteurs peuvent être permutés ( on peut les changer de positions ). 12 = 2 X 2 X 3 12 = 3 X 2 X 2 12 = 2 X 3 X 2 Remarque: Décompose 36 en facteurs premiers: 36 = 2 X = 2 X 2 X 3 X 3 Remarque:de préférence, on écrit les facteurs premiers en ordre croissant. 36 = 2 X 3 X 2 X 3 36 = 2 X 2 X 3 X 3 36 = 2 X 3 X 6 36 = 2 X 3 X 2 X 3

11 Exposant Un exposant est un nombre qui indique combien de fois un facteur se multiplie par lui-même. Exemple: 2 3 Ainsi 2 3 = 2 X 2 X = 3 X 3 X 3 X 3 X = 10 X 10 X 10 X 10 X 10 X 10 À linverse, 5 X 5 X 5 X 5 = 5 4 Remarque: Certaines calculatrices afficheront 5^4 au lieu de 5. 4 ( On lécrit plus petit et on le place en haut et à droite du facteur. ) 5 1 = 5

12 Il existe plusieurs facteurs premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, etc. Pour nos besoins de calcul, trois facteurs sont particulièrement intéressants : 235 Tous les nombres pairs se divisent par 2. Tous les nombres se terminant par 5 et 10 se divisent par ÷ 2 = 1818 ÷ 2 = 9 72 ÷ 2 = ÷ 5 = 2525 ÷ 5 = ÷ 5 = 2020 ÷ 5 = 4

13 Le facteur 3 est un peu spécial. Si la somme des chiffres composant le nombre est un multiple de 3, alors le nombre se divise par 3. Exemple :126 est-il divisible par 3 ? = 9126 ÷ 3 = est-il divisible par 3 ? = 642 ÷ 3 = est-il divisible par 3 ? = 514 ÷ 2 = 7 donc oui non, Remarque:Tu peux utiliser ta calculatrice pour décomposer ! mais par 2, oui

14 On peut maintenant commencer. Décompose en facteurs premiers les nombres suivants. 36 =2 3 6 X 2 3X X = 2 X 2 X 3 X 3 36 = 2 2 X 3 2

15 225 =5 5 9 X 3 3X X = 3 X 3 X 5 X = 3 2 X 5 2

16 100 = X 2 5X 100 = X = 2 X 2 X 5 X = 2 2 X 5 2

17 140 = X 5 7X 140 = X = 2 2 X 5 X 7

18 210 = X 3 7X 210 = X = 2 X 3 X 5 X 7

19 260 = X 5 13X 260 = X = 2 2 X 5 X 13

20 Déterminer les facteurs dun nombre. Écrire un nombre en facteurs premiers permet de déterminer les différents facteurs dun nombre. Exemple:24 =2 2 6 X 2 3X X 12 En regroupant ces facteurs premiers de manières différentes, on obtient les différents facteurs de = ( 2 ) X ( 2 X 2 X 3 ) 24 = 2 X = 4 X 6 24 = ( 2 X 2 ) X ( 2 X 3 ) 24 = 8 X 3 24 = ( 2 X 2 X 2 ) X 3 24 = = ( 2 X 2 X 2 X 3 ) X 1 Les facteurs de 24 sont :{ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 }

21 Donne les différents facteurs de = 2 5X 10X X 2 5X 2 5X X X = = 2 X 2 X 2 X 5 X 5 X 5

22 { 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000 } = 2 X 2 X 2 X 5 X 5 X = 2 X ( 2 X 2 X 5 X 5 X 5 ) = 2 X = ( 2 X 2 ) X ( 2 X 5 X 5 X 5 ) = 4 X = ( 2 X 2 X 2 ) X ( 5 X 5 X 5 ) = 8 X = ( 2 X 2 X 2 X 5 ) X ( 5 X 5 ) = 40 X = ( 2 X 2 X 2 X 5 X 5 ) X = 200 X = ( 2 X 5 ) X ( 2 X 2 X 5 X 5 ) = 10 X = ( 2 X 2 X 5 ) X ( 2 X 5 X 5 ) = 20 X = ( 2 X 2 X 2 X 5 X 5 X 5 )X 1 Facteurs de : = X 1

23 Tu découvriras dans la poursuite de ta formation en mathématique que décomposer un nombre en facteurs premiers est un procédé utilisé dans plusieurs autres domaines.


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