1 L’expérimentation en physique : le point de vue d’un théoricien Jacques Treiner Université Pierre et Marie Curie, Paris

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1 1 L’expérimentation en physique : le point de vue d’un théoricien Jacques Treiner Université Pierre et Marie Curie, Paris treiner@ccr.jussieu.fr

2 2 V. Arnold Les mathématiques sont cette branche de la physique où les expériences ne coûtent pas cher.

3 3 Tous les exemples qui vont suivre cherchent à montrer comment des concepts mathématiques émergent de situations physiques expérimentales

4 4 Avant-propos apéritif…

5 5 1885 : Johan Jacob Balmer remarque que les quatre longueurs d’onde du spectre de l’atome d’hydrogène à 656.3 nm, 486.1 nm, 434.0 nm et 410.2 nm se mettent sous la forme : 1908 : Ritz généralise C’est le début de l’idée d’associer à chaque terme de la différence un état d’énergie de l’atome, et de considérer que l’émission de lumière se fait lors de transitions d’un état à un autre : Bohr 1913 Les amplitudes de transition seront donc des nombres à deux indices : ils apparaitront peu après comme des éléments de matrice (Heisenberg, Born, Jordan, 1925). Ry=109677.6 cm-1 Naissance de la notion d’état quantique

6 6 La conjecture de Riemann et la chaos quantique : Soit un système classiquement chaotique. On le traite par la mécanique quantique. Comment se manifeste dans le spectre quantique le caractère chaotique du système classique ? Il existe des similitudes extraordinaires entre les propriétés de fluctuation des valeurs propres quantiques et celles de la distribution des zéros de la fonction zeta sur l’axe ½. Cf Andrew Granville, SMF-Gazette juillet 2003 : « Nombres premiers et chaos quantique »

7 7

8 8 Plan 1. Comprendre 2. Qu’est-ce qu’une expérience ? 3. Modèle mathématique et modèle physique : une question physique : une question d’émergence d’émergence

9 9 Einstein : ce qui est incompréhensible, c’est que le monde soit compréhensible Perrin : expliquer du visible compliqué par de l’invisible simple, voilà la forme d’intelligence intuitive à laquelle […] nous devons l’atomistique. Invariants, symétries, lois

10 10 Comprendre (et le plaisir qui accompagne) c’est être capable de recréer le monde par la pensée, c’est imaginer ce qu’on voit Est-ce pareil en mathématiques ?

11 11 Josh BarnesBarnes Consulter les simulations numériques sur le site http://hubblesite.org/newscenter/archive/releases/video_cate gory/galaxy/interacting/ Galaxie des souris

12 12 Pour jouer

13 13 Qu’est-ce qu’une expérience ? En voici deux…

14 14 Le bleu du ciel Expérience : diffusion de la lumière par un mélange eau+un peu de lait Les molécules d’air diffusent mieux la partie bleue du spectre solaire que le rouge, car les modes propres électroniques sont dans l’ultraviolet (proche du bleu). Cela reste vfrai tant que les centres diffuseurs sont plus petits que la longueur d’onde de la lumière incidente. D’où l’idée d’une expérience : A 180 degrés, la lumière est rouge, c’est le coucher de soleil A 90 degrés, la lumière est bleutée, c’est le bleu du ciel.

15 15 De l’huile dans un mélange eau+alccol Dans un mélange iso-densité, l’huile se ramasse en une gouttelette sphérique Sphère : volume maximum pour une surface donnée, surface minimale pour un volume donné Conclusion (et généralisation) de l’expérience : un liquide adopte la configuration la plus compacte compatible avec les contraintes. Dans une géométrie quasi-2D (films), configuration la plus compacte signifie surface minimale. D’où…

16 16 Films, bulles, mousses, ailes d’insectes, réseaux routiers optimaux, réseaux de fractures 3 surfaces minimales s’appuyant sur deux cercles Surfaces minimales avec bords libres Réseau de bulles entre deux lames parallèles

17 17 Sélection des angles les bulles se raccordent à 120° entre elles, et à 90° sur une paroi Une structure similaire se voit sur des ailes d’insecte

18 18 Optimisation d’un réseau routier A B C D E Le réseau optimal entre les villes A, B, C, D et E est donné par le film de savon qui s’appuie sur les 5 tiges placées entre deux plans parallèles Toutes les illustrations sont extraites de « Mathématiques et formes optimales », Belin

19 19 Craquelures sur un mur (Fès)

20 20 Moralité Une expérience est une question posée à la nature, c’est plus qu’une observation. La nature répond dans le silence de la parole humaine, autrement dit : Une question est scientifique (pour les sciences expérimentales) si, pour y répondre, il faut passer par un stade non-verbal : c’est la nature qui s’exprime. « Combien d’anges tiennent sur une tête d’épingle ?» n’est pas une question scientifique, car il est impossible de concevoir une expérience pour y répondre.

21 21 Modèle mathématique et modèle physique

22 22 A brief account of microscopical observations on the particles contained in the pollen of plants ; and on the general existence of active molecules in organic and inorganic bodies (1828) Robert Brown 1773-1858 Le mouvement brownien

23 23 Vidéo : un peu de lait dans de l’eau lait.mov lait.mov

24 24 Louis-Georges Gouy (1888) Louis-Georges Gouy (1888) Trajectoires continues sans tangente Particules indépendantes Mouvement d’autant plus vif que les particules sont petites Mouvement indépendant de la nature des particules Mouvement plus vif dans les fluides moins visqueux Mouvement plus vif à haute température Ne s’arrête jamais

25 25 Einstein et la naissance des atomes (1905) Diffusion : dN/S dt = - D dn/dx Sédimentation : v = mg/(6  r)  : dissipation sous l’effet d’une force extérieure D : fluctuation en l’absence de force

26 26 Jean Perrin 1913 Si les fonctions à dérivée sont les plus simples, les plus faciles à traiter, elles sont pourtant l’exception […] les courbes qui n’ont pas de tangente sont la règle. Observons un de ces flocules blancs…A chaque fois qu’on augmente le grossissement, on voit apparaître des anfractuosités nouvelles […] C’est un caractère essentiel de notre flocon […] que, à toute échelle, on soupçonne, sans les voir tout à fait bien, des détails qui empêchent absolument de fixer une tangente. Bref, le résultat suggéré par l’atomistique est le suivant : la densité est partout nulle, sauf pour un nombre infini de points isolés où elle prend une valeur infinie.

27 27 Marian Smoluchowski Marche au hasard et mouvement brownien

28 28 Marche au hasard Processus sans mémoire : le futur ne dépend du passé que par l’intermédiaire du présent (Markov)

29 29 Digression : déplacement des animaux en milieu neutre

30 30 Marche au hasard Dimension fractale : 2

31 31 Simulations : temps1_5_10_30.xls temps1_5_10_30.xls Moyennes temporelle Moyenne d’ensemble

32 32 Langevin 1908 Début du calcul stochastique Puis les mathématiques s’emparent du problème : Wiener, Lévy etc.

33 33 Modèle : Prix = somme des fluctuations les variations du prix sont +h ou –h, avec égales probabilités, les variations ont lieu à des pas de temps réguliers, les variations sont indépendantes …mais en fait, les acteurs ne sont pas indépendants ! En économie : un exemple

34 34 Mouvement brownien et théorie du potentiel M P P’

35 35 Mouvement brownien et théorie du potentiel V=0 V°  V=0

36 36 Passer à la limite Delta t 0 Retour sur la radioactivité

37 37 Le radon en France IRSN : Institut de radioprotection et de sûreté nucléaire

38 38 Pompe à main, système de transfert, cellule scintillante (ZnS) Photomultiplicateur

39 39 Le radon-222 a une demi-vie  = 3.8 jours : mesurable, mais un peu long. Le radon-220 a une demi-vie de 56 s : plus facile à faire Isotopes

40 40 Les mesures et leur analyse On « constate » que  N(t)/  t est indépendant de  t, et Proportionnel à la quantité de gaz introduit :  N(t)/  t = - N(t). On note A(t) = [N(t) – N(t+  t)]/  t = N(t), avec t = nh = n(  t+2) Alors : A(t+h) – A(t) = [N(t+h)-N(t)] = - A(t)h On se donne une valeur de  et on calcule donc la suite des nombres A[(n+1)h] = A(nh)[1 - h] On cherche s’il existe une valeur de qui permette de reproduire les données. radioactivité.xls radioactivité.xls

41 41 Pour le moment, on n’a pas parlé d’équation différentielle, mais d’un algorithme d’évolution. Mais le résultat incite à revenir au début, et à se demander s’il ne serait pas intéressant de considérer l’équation obtenue en passant à la limite : N’(t)=- N(t) En faisant cette démarche, on quitte le domaine de la physique pour entrer dans celui des mathématiques, car le passage à la limite n’a aucun sens expérimental. Passage à la limite

42 42 La méthode d’Euler

43 43 Généralisation aux équations de la dynamique

44 44 Les changements qui arrivent dans le mouvement sont proportionnels à la force motrice, et se font dans la ligne droite dans laquelle cette force a été imprimée autrement dit : mΔv = FΔt, et non F = ma ! Tout corps persévère dans l’état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque force s’applique sur lui, et ne le contraigne à changer d’état

45 45 L’algorithme caché dans l’établissement de la loi des aires V(n) hF(n+1)/m V(n+1) Lois de Kepler Les trajectoires des planètes sont des ellipses ayant le Soleil pour foyer Les aires balayées pendant des intervalles de temps égaux sont égales Le rapport du cube du demi-grand axe au carré de la période est le même pour toutes les planètes

46 46 Méthodes de discrétisation Euler Newton-Hooke newton_hooke.xls

47 47 Newton-Hooke

48 48 Comment enseigner la mécanique ? du discret au continu ? du discret au continu ? du continu au discret ? du continu au discret ?

49 49 La population mondiale

50 50 Prévoir l’évolution de la population ? Peut-on vraiment espérer une saturation ? milliards année anticipation

51 51 taux de naissance taux de mortalité taux de croissance évolution de la population totale La transition démographique Société traditionnelleSociété développée

52 52 Extrapolations Taux de fécondité moyen par âge (pour 1000 femmes) âge 1993 2003 Total 1660 1880

53 53 France 2000 France 2050 pyramide_10classes_mieux.xls

54 54 Inde 2000 Inde 2050

55 55 Une expérience interroge la nature Une expérience numérique interroge le modèle Une science expérimentale ne commence pas avec l’observation, mais avec l’interrogation sur l’observation Conclusion