UN ALGORITHME PERFORMANT DE CALCUL DES ERREURS DE FORME

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1 UN ALGORITHME PERFORMANT DE CALCUL DES ERREURS DE FORME
Jean-François Debongnie Université de Liège, LTAS/Méthodes de Fabrication

2 I. Position générale du problème des erreurs de forme
fonction d’encadrement

3 Valeur d’encadrement et erreur de forme d’un compact K
Pour une valeur donnée des paramètres, Défaut : Unicité ? Non garantie, sauf en circularité er sphéricité

4 Ecart … Calcul ? → Nouvelle définition du défaut
≈ Approximation au sens de Tchébycheff … Calcul ?

5 II. Calcul approché par les moindres carrés
Approché par excès Sensible à la distribution des points de mesure NON FIABLE

6 ! III. Méthodes directes Fini ne veut pas dire petit !
Résultat exact en un nombre fini d’opérations ! Fini ne veut pas dire petit ! Complexité Rectitude Planéité Enveloppe convexe Circularité Méthode des 4 points Impraticable Cylindricité Sphéricité ?

7 IV. Méthodes itératives classiques
(gradient, gradient conjugué) Pas directement applicables Minimum en forme d’entonnoir Thalwegs

8 V. Méthode du simplexe de Nelder & Mead
Plus attrayant Experience  Très sensible au point de départ PAS ASSEZ FIABLE

9 VI. Méthode des normes p Base :
Précédentes applications (GOCH) p=50 : non convergé Il faut atteindre des valeurs bien plus grandes : Difficultés : Dépassements de capacité Algorithmes de minimisation

10 Dépassements de capacité par le haut
Dépassements de capacité par le bas Supprimer les termes tels que

11 Algorithme de minimisation
Non régulier pour p grand Première approximation : p =2 Itérations Un coup de Newton-Raphson pour chaque p Contrôle de convergence La norme p doit diminuer à chaque itération (Inégalité de Jensen) Sinon, on bloque p jusqu’à diminution de la norme En pratique, 40 itérations en général

12 VII. Applications Méthodes testées Barreau cylindrique
22 cercles, 72 positions axiales = 1584 points de mesure Rectitude d’une génératrice

13 Circularité Cylindricité
M.C. > exacte; Simplexe souvent non convergé

14 Bras de suspension Deux plans : planéité de chacun parallelisme

15 Palier d’arbre à cames

16 CONCLUSIONS Erreur de forme = minimum pointu ne peut être obtenu par mesure directe les méthodes numériques sont nécessaires pour obtenir un résultat objectif ○ Les moindres carrés ne donnent PAS un résultat satisfaisant ○ Méthodes directes : souvent lentes inexistantes, cylindricité et sphéricité ○ Simplexe : non fiable ○ Normes p : ROBUSTES RAPIDES