Guerino Mazzola U & ETH Zürich Composition et Analyse P OUR UNE MUSICOLOGIE EXPERIMENTALE Analyse/(re)synthèse de.

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1 Guerino Mazzola U & ETH Zürich guerino@mazzola.chwww.encyclospace.org Composition et Analyse P OUR UNE MUSICOLOGIE EXPERIMENTALE Analyse/(re)synthèse de la sonate op.106 Hammerklavier de Ludwig van Beethoven

2 ' op.3 x'x'x'x' coordonnées analytiques M modèleanalytique oeuvresreprésentationsscientifiques U = M (x) = M (x) op.106x Cr (U) = M -1 (U) fibre créatrice du voisinage U de Cr (U) = M -1 (U) fibre créatrice du voisinage U de un geste boulezien

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4 Schéma de la forme sonate pour le mouvement allegro dans op.106 de Ludwig van Beethoven !! !

5 4:50 Modulation de type normal: G E b

6 Modulation de type catastropheE b (3) D (3) ~ b (3) Modulation de type catastrophe: E b (3) D (3) ~ b (3) 6:00

7 Thèses dErwin Ratz (1973) et Jürgen Uhde (1974) Ratz: La sphère des tonalités de lop. 106 est polarisée dans un monde centré autour Si-bémol majeur, la tonalité principale de cette sonate, et un antimonde autour de Si mineur. Uhde: Quand on change entre les mondes de Ratz - un événement qui a lieu deux fois dans le mouvement allegro - alors les procès de modulation deviennent dramatiques. Ils sont complètement differents dautres modulations, et Uhde les appelle catastrophes. Si mineur Si-bémol majeur

8 Vieille tonalité degrés neutres (I Do, VI Do ) degrés pivots (II Fa, IV Fa, VII Fa ) Nouvelle tonalité degrés de cadence (II Fa & V Fa ) Arnold Schönberg: Harmonielehre (1911) Que est le ensemble des tonalités?Que est le ensemble des tonalités? Quest-ce quun degré?Quest-ce quun degré? Quest-ce quune cadence?Quest-ce quune cadence? Quel est le méchanisme de modulation?Quel est le méchanisme de modulation? Comment ces structures determinent-elles les degrés pivots?Comment ces structures determinent-elles les degrés pivots?

9 espace Ÿ 12 des classes dhauteurs pour le tempérament égal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 douze gammes diatoniques: C, F, B b, E b, A b, D b, G b, B, E, A, D, G gamme = partie de Ÿ 12 C Do, Fa, Si b, Mi b, La b, Re b, Sol b, Si, Mi, La, Re, Sol

10 I IVVIIIIIVIVII

11 I IV II VI V III VII Ruban harmonique de la gamme majeure C (3)

12 C (3) F (3) B b (3) E b (3) A b (3) D b (3) G b (3) B (3) E (3) A (3) D (3) G (3) Dia (3) interprétationstriadiques

13 S (3) espace de paramètres de cadence S (3) k 1 (S (3) ) = {II S, V S } S (3) k 2 (S (3) ) = {II S, III S } S (3) k 3 (S (3) ) = {III S, IV S } S (3) k 4 (S (3) ) = {IV S, V S } S (3) k 5 (S (3) ) = {VII S } k S (3) k(S (3) )

14 S (3) T (3) gluon force forte W+W+ force faible force éléctromagnétique graviton gravitation force = symétrie entre S (3) et T (3) S (3) et T (3) quantum = ensemble de classes dhauteurs = M kk

15 S (3) T (3) kk A etet e t.A etet modulation S (3) T (3) = cadence + symétrie modulation S (3) T (3) = cadence + symétrie

16 S (3) T (3) kk Etant donnée une modulation k, g:S (3) (3) g M Un quantum pour la modulation (k,g) est un ensemble M de classes dhauteurs de sorte que: la symétrie g est une symétrie de M, g(M) = M la symétrie g est une symétrie de M, g(M) = M les degrés dans k( (3) ) sont contenus dans M les degrés dans k( (3) ) sont contenus dans M M T est rigide, i.e., na pas de symétries non-triviales M T est rigide, i.e., na pas de symétries non-triviales M est minimal avec les deux premières conditions M est minimal avec les deux premières conditions

17 Theorème de modulation pour tempérament égal Pour deux tonalités différentes S (3), (3) il existent une modulation (k,g) et une modulation (k,g) et un quantum M pour (k,g) un quantum M pour (k,g) (= modulation quantisée) De plus: M est lunion des degrés dans S (3), (3) contenus dans M qui ainsi définissent linterprétation triadique M (3) de M M est lunion des degrés dans S (3), (3) contenus dans M qui ainsi définissent linterprétation triadique M (3) de M les degrés communs de (3) et M (3) sont appelés les degrés de modulation de (k,g) les degrés communs de (3) et M (3) sont appelés les degrés de modulation de (k,g) la modulation (k,g) est uniquement determinée par les degrés de modulation. la modulation (k,g) est uniquement determinée par les degrés de modulation.

18 C (3) E b (3) M (3) VEbVEbVEbVEb VII E b II E b III E b VCVC IV C VII C II C

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20 Theorème (cas 12-temperé) de modulation pour les gammes de 7 tons S et interprétations triadiques S (3) (Daniel Muzzulini) q-modulation = modulation quantisée (1) S (3) est rigide. Pour une telle gamme, il existe au moins une q-modulation. Pour une telle gamme, il existe au moins une q-modulation. Le maximum de 226 q-modulations est atteint par la gamme mineure harmonique #54.1, le minimum de 53 q-modulations a lieu pour la gamme #41.1. Le maximum de 226 q-modulations est atteint par la gamme mineure harmonique #54.1, le minimum de 53 q-modulations a lieu pour la gamme #41.1. (2) S (3) nest pas rigide. Pour les gammes #52 et #55, il y a des q-modulations excepté pour t = 1, 11; pour #38 et #62, il y a des q-modulations excepté pour t = 5,7. Tous les 6 autre types ont au moins une q-modulation. Pour les gammes #52 et #55, il y a des q-modulations excepté pour t = 1, 11; pour #38 et #62, il y a des q-modulations excepté pour t = 5,7. Tous les 6 autre types ont au moins une q-modulation. Le maximum de 114 q-modulations a lieu pour la gamme mineure melodique #47.1. Parmis les gammes avec q-modulations for tout t, la gamma majeure #38.1 en a un minimum de 26. Le maximum de 114 q-modulations a lieu pour la gamme mineure melodique #47.1. Parmis les gammes avec q-modulations for tout t, la gamma majeure #38.1 en a un minimum de 26.

21 presto presto ®

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23 Classes de motifs à 3-éléments M Ÿ 12 2 1 2 3456 789101112 13 14 15161718 19 20 21222324 25 26 generique

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25 temps paramètres de percussion 62^ Rétro-gradede62^ 62^ R(62^)

26 3:18-5:4812/8M.1-6 m1m1m2m1m2m3m1m2m3m4m1m2m3m4m5m1m2m3m4m5m6,m7 M.7-12 m1m1m2m1m2m3m1m2m3m4m1m2m3m4m5m1m2m3m4m5m6,m7 R M.13-24 pivots de modulation 2 nde tonique à 9/8 de m. 21 2 nd système de mesures 2 nd système de mesures

27 Ludwig van Beethoven: op.130/Cavatina/ # 41 Inversion e b E b (3) B (3) Inversion e b : E b (3) B (3) 4:00

28 e be be be b E b (3) b B (3) Inversion e b

29 Inversion d b G (3) E b (3) Inversion d b : G (3) E b (3) dbdbdbdbgg #124 - 125 #126 - 127 4:50

30 do re mi-bémol fa sol la si Do-mineur mélodique remplace ton dune octave plus haut au lieu de ton de durée double pivot Gruppen und Kategorien in der Musik, p.107

31 CatastropheE b (3) D (3) ~ b (3) Catastrophe : E b (3) D (3) ~ b (3) 6:00

32 C (3) B b (3) E b (3) D b (3) G b (3) E (3) A (3) G (3) Thèse:La structure de modulation de lop. 106 est gouvernée par les symétries de laccord de septième diminuée C # -7 = {c #, e, g, b b } dans le rôle des forces de modulation admises. F (3) A b (3) B (3) D (3) ~ b (3) Exposition Reprise Développement Coda

33 C (3) F (3) B b (3) E b (3) A b (3) D b (3) G b (3) B (3) E (3) A (3) D (3) G (3) Aut(C # - 7 )

34 C (3) B b (3) E b (3) D b (3) G b (3) E (3) A (3) G (3) F (3) A b (3) B (3) D (3) ~ b (3)

35 e -3 U g * U d/d # * U b b U a/a b e 3 Modulateurs dans op. 106/allegro Exposition Exposition Reprise Reprise Développement Développement Coda Coda B b G G E b D/b B b B b G b G B b B b B b G G E b D/b B b B b G b G B b B b symétries de transposition!

36 Transposition -3 B b (3) G (3) Transposition -3 : B b (3) G (3) VII G

37 Transpositions limitées à une tierce mineure zigzag motivique

38 zigzag motivique dans op.106 m. 75-78

39 m. 79-80

40 L 3

41 ' op.3 x'x'x'x' coordonnées analytiques M modèleanalytique oeuvresreprésentationsscientifiques U = M (x) = M (x) op.106x Cr (U) = M -1 (U) fibre créatrice du voisinage U de Cr (U) = M -1 (U) fibre créatrice du voisinage U de un geste boulezien

42 Sonate für Klavier Aut G (Messiaen III)\DIA (3) (1981) Gruppen und Kategorien in der Musik Heldermann, Berlin 1985 Construction sur 58 pages 99 mesures, mètre 12/8, Do-majeur Lessence du bleu Acanthus, Bern 2002 CD: Patrizio Mazzola

43 (Acanthus 2002) CD: Patrizio Mazzola, piano

44 Op. 106Op. 3 Schéma global tierce mineure tierce mineure gamme Messiaen 2 transposition limitée tierce majeure tierce majeure gamme Messiaen 3 transposition limitée Aut Ÿ (C # -7 ) = {+1} x e 3 Ÿ 12 Aut Ÿ (C # + ) = {+1} x e 4 Ÿ 12

45 B b (3) A b (3) E (3) D (3) C (3) G b (3) Thèse: La structure de modulation de lop. 3 est gouvernée par les symétries de la triade augmentée C # + = {c #, f, a} dans le rôle des forces de modulation admises. G (3) B (3) E b (3) F (3) D b (3) A (3) Exposition Reprise Développement Coda

46 C B b G b G b A b E E F F C C B b G b G b A b E E F F C U c # e -4 U a e -4 * e -4 * U c # e -4 U a e -4 * e -4 * Modulateurs dans op. 3 DéveloppementExpositionReprise Coda Coda

47 Schéma de zigzag motivique tierce mineure tierce mineure gamme Messiaen 2 transposition limitée tierce majeure tierce majeure gamme Messiaen 3 transposition limitée

48 thème principal C C motif générique début

49 Ruban motivique du zigzag 6 7 4 1 9 8 2 5 3 (15) (15) (10) (11) (19) (19) (20) (2) (16)

50 Noyau du développement 6 7 4 1 9 8 2 5 3 U2U2U2U2 A B C D E F A B C D E F

51 dbdbdbdb Matrice du noyau 6 4 8 7 9 1 5 6 4 8 7 9 3 5 6 4 8 7 2 3 5 6 4 8 A B C D E F dbdbdbdb f a DrDrDrDr DlDlDlDl

52 DrDrDrDr DlDlDlDl m. 33-38, dans G b 4:36-5:13

53 DrDrDrDr DlDlDlDl Modulation dans le noyau du développement (m. 39-44) U a : G b A b UaUaUaUa Ua(Dl)Ua(Dl)Ua(Dl)Ua(Dl)

54 V II(I)IV VII C# +C# +C# +C# + 5:12-5:48

55 ruban harmonique ruban motivique quantum de modulation

56 K KJKJKJKJ

57 a d b c 1234 1265 5 6 34 1 2 3 4 6 5 KIKIKIKI

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59

60 On a la construction universelle dune résolution de K I On a la construction universelle dune résolution de K I res: K I K I K I K I KIKIKIKI res

61 1 2 3 4 6 5 KIKIKIKI 6 5 234 1 res

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