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Un algorithme de Nelder-Mead globalisé et borné pour les problèmes de l'ingénieur : GBNM Marco Luersen - Centre Fédéral dEducation Technologique du Paraná

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Présentation au sujet: "Un algorithme de Nelder-Mead globalisé et borné pour les problèmes de l'ingénieur : GBNM Marco Luersen - Centre Fédéral dEducation Technologique du Paraná"— Transcription de la présentation:

1 Un algorithme de Nelder-Mead globalisé et borné pour les problèmes de l'ingénieur : GBNM Marco Luersen - Centre Fédéral dEducation Technologique du Paraná CEFET-PR - Brésil - Doctorant au Lab. de Mécanique – INSA de Rouen Rodolphe Le Riche – CNRS URA 1884 et SMS, Ecole des Mines de Saint Etienne

2 Motivation Caractéristiques des problèmes doptimisation en conception mécanique : plusieurs optima locaux variables bornées calcul de sensibilités souvent laborieux, coûteux où nexistent pas temps de calcul limité à quelques milliers danalyses de la fonction coût optimisation globale souhaitée, mais sa faisabilité est incertaine.

3 La méthode de Nelder-Mead classique Proposée par Nelder & Mead (1965) (variables continues) Méthode dordre zéro : ne requiert pas le calcul du gradient Méthode rapide, relativement aux méthodes dordre zéro Méthode locale

4 La méthode de Nelder-Mead classique (2) Basée sur la comparaison des valeurs de la fonction aux (n+1) sommets dun simplexe Le minimum est cherché en modifiant le simplexe à travers des opérations : réflexion, réflexion/expansion et contractions réflexion réflexion/expansion contractions plus haut coût (2 variables, n=2) plus bas coût

5 La méthode de Nelder-Mead classique (3) Inconvénients : Sapplique à des problèmes sans bornes Dégénérescence du simplexe (perte dune dimension), est un cas déchec de la méthode Méthode locale : sarrête quand un minimum local est trouvé

6 Amélioration de la méthode de Nelder-Mead Prise en compte des bornes Détection des simplexes dégénérés et ré- initialisation Test doptimalité sur les bornes

7 Prise en compte des bornes Prise en compte de bornes par projection : Dégénérescence Dans le domaine ré-initialisation au point courant Si la dégénérescence est sur les bornes on laccepte Si x i < x i min x i = x i min (i = 1, n) Si x i > x i max x i = x i max (i = 1, n)

8 Dégénérescence (2) Critères : Cas 1Cas 2 Si ou Si simplexe dégénéré c1c1 c2c2 c1c1 c2c2

9 Test doptimalité sur les bornes Ex. : Fonction test de Rosenbrock bidimensionnel - fonction uni-modale - le minimum se trouve en x 1 = x 2 = 1 - sans le test doptimalité, souvent la recherche sarrête sur les bornes (point x 1 = x 2 = 0 ) car dégénérescence sur les bornes min

10 Test doptimalité sur les bornes (2) =8=9 simplexe initial Point de convergence, mais pas un minimum Sans test doptimalité : UN TEST DOPTIMALITÉ EST NÉCESSAIRE !

11 Test doptimalité sur les bornes (3) les conditions de Kuhn et Tucker ne sont pas applicables : fonctions pas dérivables conditions de point-col numériquement non vérifiables test doptimalité : une recherche locale, avec un «petit» simplexe initial on considère que le simplexe initial est plus petit que le bassin dattraction coût : pour la fonction de Rosenbrock : ~20% (ça marche toujours !)

12 Globalisation : recherche du minimum global Point de vueRé-initialisation : GBNM Évolutionnaire : Pas de recherche locale Hybridation Recherche globale/locale

13 Globalisation par ré-initialisation probabilisée chaque fois qun minimum local est trouvé il est enregistré le prochain point initial est choisit de tel sorte à ne pas échantillonner des régions déjà connues : visiter différents bassins dattraction, sans connaître le nombre de redémarrages à priori travail à coût fixé redémarrage avec une caractéristique aléatoire-biaisée

14 Estimation de la probabilité de ne pas avoir échantillonné un point (x) Noyaux de Parzen gaussiens N = nombre de points déjà échantillonnés n = dimension (nombre de variables) probabilité davoir échantillonné un point p(x) x min x max (x)= H – p(x) H xHxH

15 = matrice de covariance = paramètre qui contrôle létalement des gaussiennes Estimation de la probabilité de ne pas avoir échantillonné un point (x) (2) Dans les exemples présentés on utilisera = 0,01, ce qui veut dire quun écart-type de la gaussienne couvre 20% du domaine.

16 Ré-initialisation probabilisée pour le calcul de la probabilité p i, on ne garde comme x i que les points initiaux maximisation de par tirage aléatoire de nb_random_points : parmi nb_random_points aléatoires, trouver celui qui a la plus haute probabilité de navoir pas été échantillonné auparavant

17 si nb_random_points=1 : aléatoire si nb_random_points=grand : motif régulier (si on connaît le nb. de redémarrages grille) si nb_random_points petit, > 1 (3 à 10) : aléatoire/biaisée Points initiaux nb_random_points = motif régulier (grille)aléatoire Ré-initialisation probabilisée (2)

18 Articulation de : 3 tests de convergence : - Small - Flat - Degenerated 3 formes de ré- initialisation : - Probabilistic - Large Test - Small Test GBNM Globalized Bounded Nelder-Mead Method

19 GBNM – Résumé (sans prise en compte de contraintes) Caractéristiques des recherches locales : vitesse, précision Nelder-Mead Amélioration de la méthode de N-M : Prise en compte de bornes par projection Détection et traitement des dégénérescences du simplexe pendant la recherche Test doptimalité sur les bornes Globalisée par ré-initialisation stratégie hybride en série : local-global

20 Applications : Fonctions tests multi-modales bidimensionnelles (3) 4 minima6 minima3 minima f1f1 f2f2 f3f3

21 Fonctions tests multi-modales bidimensionnelles (4) Par la suite, on utilisera nb_random_points = 10

22 Fonction test de Griewank (n = 12) (fonction très multi-modale) le minimum global est –1, et se trouve en x i =0 Graphique de la fonction de Griewank uni-dimensionnel (n=1) dans le domaine [-20,20] : min

23 Fonction test de Griewank (n = 12) Comparaison : GBNM / Algorithme Evolutionnaire (EA) (*) probabilité de croisement = 0,5 ; prob. de mutation = 0,15 ; taille de la population = 500 (**) critère pour considérer que le EA converge sur le minimum global : GBNM avec nb_random_points = 10

24 Prise en compte des contraintes par pénalisation linéaire adaptative Soit le problème : f(x) est modifiée par pénalisation : problème sans contraintes

25 Prise en compte des contraintes par pénalisation adaptative (2) Les sont actualisés à chaque itération de N-M, Si, mise à jour de. s = incrément de pas. (stabilisé)...

26 Prise en compte des contraintes par pénalisation adaptative (3) Interprétation de la pénalisation adaptative linéaire : Un Lagrangien généralisé, qui possède un point- col plus souvent que les Lagrangiens ordinaires ; Mise à jour des : un gradient à pas fixe pour maximiser la fonction duale, calcul du gradient approché ; Convergence possible pour des finis (contrairement aux pénalisations quadratiques).

27 Applications aux composites Séquence dempilement de couches Critères : - max (Ex, Ey, Gxy, charge de rupture, charge de flambement, etc.) - min (def. x, def. y, coef. dilatation thermique, etc.) Contraintes : - Ex, Ey, Gxy, rupture, def. x, def. y, coef. dilatation thermique, etc.

28 Applications aux composites Maximisation du module délasticité E x min (1 – E x /E x_ref ) plaque composite symétrique et équilibrée à 16 couches 4 variables : les orientations des fibres : matériau : verre-époxyde contraintes : utilisation de la théorie classique des stratifiés (CLT)

29 Maximisation de E x : plaque composite stratifiée Paramètres stabilisés de pénalisation : en 44 (min) à 431 (max) analyses, avec s = 1

30 Maximisation de E x : plaque composite stratifiée (2) Exemples doptima locaux possibles trouvés par le GBNM, 2000 évaluations de la fonction coût, 1 exécution

31 Maximisation de la charge critique de flambement plaque rectangulaire simplement supportée 48 couches, symétrique et équilibré, chargement de membrane : N x et N y matériau : carbone-époxyde

32 contraintes : - critère de rupture de Hoffman - coef. de dilatation thermique : théorie classique des stratifiés et flambement linéaire Maximisation de la charge critique de flambement (2)

33 Maximisation de charge critique de flambement 48 couches : 12 variables Paramètres stabilisés de pénalisation : en 116 (min) à 978 (max) analyses, avec s = 0,001

34 Conclusions GBNM : un algorithme pratique pour les problèmes de lingénieur : travail à coût fixé : nombre danalyses défini a priori ; globalisation par ré-initialisation probabilisées, pour ne pas échantillonner des régions déjà connues, sans connaître le nombre de redémarrages à priori ; Nelder-Mead amélioré pour les recherches locales : méthode dordre zéro, locale et sans bornes vitesse, précision ; détection et ré-initialisation en cas de dégénérescence ; prise en compte des bornes par projection et des contraintes par pénalisation adaptative ; test doptimalité, sur les bornes.

35 Conclusions (2) La stratégie la plus robuste de ré-initialisation probabilisée est un compromis entre ré-initialisation aléatoire et ré-initialisation à intervalles réguliers ; Pour les problèmes de taille moyenne à bas coût, la méthode GBNM a une plus haute précision que les algorithmes évolutionnaires ; La globalisation par ré-initialisation probabilisée n'est pas restrictive à lalgorithme de Nelder-Mead. Elle peut être appliquée à dautres optimiseurs locaux.


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