Alain Faye , Frédéric Roupin CEDRIC - IIE - CNAM

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1 Alain Faye , Frédéric Roupin CEDRIC - IIE - CNAM
Journées Franciliennes de Recherche Opérationnelle (24 Juin 2005) Un algorithme de coupes pour le problème de l’affectation quadratique Alain Faye , Frédéric Roupin CEDRIC - IIE - CNAM

2 Plan Problèmes quadratiques en 0-1 Affectation quadratique
Méthode polyédrique (PL) Programmation semi-définie (SDP) Affectation quadratique Inégalités valides Résultats numériques en PL et SDP

3 Programme quadratique en 0-1
Localisation, placement de tâches sur des processeurs, affectation quadratique, partition de graphe, recherche de sous-graphes denses de cardinal fixé, ... 3

4 Méthode polyédrique

5 Principe + Min f (x) s.c. xX  {0,1}n
Linéariser f en posant xi xj = yi,j LX = {(x,y): x X, yi,j = xi xj 1i<jn} P = Conv(LX) Lf = min Direction du min de Lf optimum + Pb: expliciter les facettes de P 5

6 Programmation semi-définie

7 Relaxation semi-définie
Problème en 0-1 xi2 - xi = 0 i{1,…,n} Relaxation semi-définie Y ≽ x xt (SDP) ≽ Problème en 0-1 yii - xi = 0 i{1,…,n} = min QY + ctx s.c. AiY + dit x = bi iI ait x = bi i{1,…,p} Y = x xt ≽ 7

8 Affectation quadratique
Blanchard , Elloumi , Faye , Wicker. Un algorithme de coupes pour l’affectation quadratique. INFOR 41 n°1 (2003). Roupin. From linear to semidefinite programming: an algorithm to obtain semidefinite relaxations for bivalent quadratic problems. Journal of Combinatorial Optimization. Vol.8(4) (2004). Faye, Roupin. A cutting planes algorithm based upon a semidefinite relaxation for the Quadratic Assignment Problem. Conférence ESA A paraître dans Lectures notes in computer science.

9 Affectation quadratique
x = n = 4 Polytope affectation quadratique Pn (Padberg, Rijal 96) 9

10 Enveloppe affine O(n3) contraintes
On peut « économiser » O(n2) contraintes (description minimale) Blanchard , Elloumi , Faye , Wicker. Une famille de facettes pour le polytope de l’affectation quadratique. Rapport de recherche 330 CNAM (2002) 10

11 Famille d’inégalités valides
Soit i, h, l 3 indices de lignes distincts et {j}, A, B une partition des indices de colonnes et C  B Exemple: n=5, i=2, h=4, l=3, j =1, A={2}, C={3,4} 11

12 Propriétés Inégalité induit une facette de Pn si C est un sous-ensemble propre de B Pb de séparation NP-difficile (Max-Cut se réduit à ce pb en temps polynomial) Résolution du pb de séparation par une heuristique 12

13 Recherche d’ inégalités violées
Soit i, h, l 3 indices de lignes et {j}, C={c} indices de colonnes, trouver A, B,{j}, une partition des indices de colonnes et C  B Exemple: n=5, i=2, h=4, l=3, j =1, C={3} On a A={2}, on va compléter C ={3}  C={3,4} 13

14 PL initial PL de Resende, Ramakrishnan, Drezner 95 14

15 SDP initial ≽ 15

16 Propriété de SDP initial
Spectral Bundle method (Helmberg) SB atteint solution quasi-optimale en assez peu d ’itérations Ex: Nug20. valeur optimale de SDP initial = 2503 (~15h) en 1h30 valeur atteinte = 2492 > borne de Rendl-Sotirov 16

17 Quelques résultats numériques
PL SDP 17

18 Comparaison des approches au niveau temps de calcul
18

19 Synthèse des résultats numériques
PL initial (Resende, Ramakrishnan, Drezner 95) SDP initial SB method pour SDP CPLEX9.0 pour PL sur Pentium IV 19

20 L ’ajout des coupes accélère la résolution du SDP
meilleure convergence de SB 20

21 Conclusion Ajout des coupes Travaux futurs
améliore les relaxations classiques PL et SDP au niveau de la borne améliore la relaxation classique SDP au niveau du temps de calcul Travaux futurs attaquer problèmes plus gros n>30 améliorer le démarrage à « chaud » en SDP 21

22 FIN

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24 Linéarisation produit (Adams, Sherali 86)
remplacer produit xixj par une variable wi,j (1) w i,j  0 (1i<jn) (2) xi - wi,j  0 (1i<jn) (3) xj - wi,j  0 (1i<jn) (4) 1 - xi - xj + wi,j  0 (1i<jn) multiplication des contraintes par xi (1in) 1j<in Aj wj,i + 1i<jn Ajwi,j  (b- Ai) xi multiplication des contraintes par 1 - xi (1in) 1j<in Aj (xj - wj,i ) + 1i<jn Aj(xj - wi,j )  b (1 - xi) 24

25 Relaxation semi-définie
Problème en 0-1 xi2 - xi = 0 i{1,…,n} Relaxation semi-définie (SDP) min QX + ctx s.c. AiX + dit x = bi iI ait x = bi i{1,…,p} X ≽ x xt Relaxation lagrangienne de (Pb) = dual de (SDP) (Lemaréchal, Oustry 99) 25

26 Recherche d’ inégalités valides violées
Soit i, h, l 3 indices de lignes et {j}, C={c} indices de colonnes, trouver A, B,{j}, une partition des indices de colonnes et C  B Exemple: n=5, i=2, h=4, l=3, j =1, C={3} On a A={2} maintenant on va compléter C ={3} Finalement C={3,4} 26

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28 ≽

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31 L ’ajout des coupes accélère la résolution du SDP
meilleure convergence de SB had14 31