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Méthodes algébriques pour la décomposition de modèles comportementaux : Application à la détection et à la localisation de défaillances Par Denis BERDJAG.

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1 Méthodes algébriques pour la décomposition de modèles comportementaux : Application à la détection et à la localisation de défaillances Par Denis BERDJAG (Thèse soutenue le 26/10/2007 ) Encadrants : Vincent COCQUEMPOT et Cyrille CHRISTOPHE Laboratoire dAutomatique, Génie Informatique et Signal de Lille Équipe Sûreté de Fonctionnement des Systèmes Dynamiques CNRS-UMR 8146 PolytechLille, 59655, Villeneuve dAscq Réunion du GT SDH (17/01/2008)

2 ContexteContexte Constat : – Techniques de surveillance à base de modèles: Plusieurs communautés (SEC, SED,SDH…). Plusieurs communautés (SEC, SED,SDH…). Modèles et outils différents Modèles et outils différents – Outils mathématiques (abstraction élevée) Algèbre des paires : Hartmanis & Stearns (1966) Algèbre des paires : Hartmanis & Stearns (1966) Algèbre des fonctions : Zhirabok & Shumsky (1987 ) Algèbre des fonctions : Zhirabok & Shumsky (1987 ) 2

3 ObjectifsObjectifs – Comprendre et rendre accessibles les outils algébriques – Approfondir lutilisation de ces outils. – Généraliser les concepts des SEC vers les SED et inversement. – Vers une démarche générale détude pour les SDH 3 Proposer une méthodologie détude des propriétés du système indépendante du type de modèle : application à la surveillance

4 4Généralités Surveillance (modèle) Décomposition Décomposition Outils Techniques algébriques pour la décomposition Méthodologie Synthèse de lalgorithme de décomposition Illustration Système à 3 cuves Conclusion Contributions & perspectives

5 Notions de surveillance à base de modèle Entrée commande Sorties capteurs 5 Modèle mathématique du processus Modèle mathématique du processus Indicateur de défauts SortiesSorties Module détecteur de défauts Module de décision Défaut ? OUI ou NON CommandeCommande

6 Types de représentations Modèle mathématique du processus Modèle mathématique du processus Représentation temporelle Représentation événementielle 6 o Équations différentielles o Équations aux différences o Machines séquentielles o Réseaux de Petri

7 Quelques techniques de surveillance à base de modèle Modèle temporel – Filtres & observateurs Beard Beard Frank Frank Massoumnia Massoumnia Isidori & al Isidori & al – Espace de parité Willsky Willsky Staroswiecki Staroswiecki Leuschen Leuschen – Estimation de paramètres Isermann Isermann Fliess & al Fliess & al Modèle événementiel – Diagnostiqueur Sampath & al Sampath & al Ushio Ushio Zad Zad Larsson Larsson – Redondance Hadjicostis Hadjicostis – Contraintes temporelles Bouyer Bouyer Ghazel Ghazel 7 Problématique commune Méthodes / Outils différents Problématique commune Méthodes / Outils différents

8 Principe de la surveillance (SEC) CommandeCommande Sorties capteurs Module détecteur de défauts 8

9 Décomposition pour la détection Module détecteur MD 2 MD 3 MD 4 MD 1 CommandesCommandes Indicateur 4 Entrées Inconnues Estimation des sorties Indicateur 3 Indicateur 1 Indicateur SortiesSorties CommandesCommandes IndicateurIndicateur

10 Structure du module détecteur 10 Bloc délimination des conditions initiales Bloc de comparaison comparaison SortiesSorties IndicateurIndicateur CommandesCommandes

11 FonctionsFonctions EnsemblesEnsembles Représentation mathématique du modèle Modèle temporel Modèle événementiel Modèle Comportemental Modèle Comportemental 11

12 Le sous-modèle 12 Conditions dexistence dun sous-modèle 1.Les ensembles X, W, Y sont obtenus à partir de X, W, Y 2.Les fonctions F, H sont des restrictions des fonctions F, H sur les ensembles X, W, Y. Modèle complet Sous-modèle Propriété de substitution (SED) Propriété de substitution (SED) Propriété dinvariance (SEC) Propriété dinvariance (SEC) Propriété de substitution (SED) Propriété de substitution (SED) Propriété dinvariance (SEC) Propriété dinvariance (SEC) Fonction de décomposition

13 Décomposition avec critère de découplage 13 Décomposition connue en SEC et en SED Décomposition connue en SEC et en SED – Formalisée avec des outils spécifiques au modèle considéré Généraliser la décomposition quel que soit le modèle comportemental ? Généraliser la décomposition quel que soit le modèle comportemental ? Définir des outils mathématiques pour homogénéiser la démarche de décomposition

14 14Généralités Surveillance(modèle)Décomposition Outils Techniques algébriques pour la décomposition Méthodologie Synthèse de lalgorithme de décomposition Illustration Système à 3 cuves Modèle temporel Modèle événementiel Conclusion Contributions & perspectives

15 Rappel : structures algébriques Algèbre Un ensemble déléments Un ensemble déléments Des lois (opérations) sur ces éléments Des lois (opérations) sur ces éléments – Deux lois internes – Une loi externe Treillis Un ensemble déléments Un ensemble déléments Une relation dordre Une relation dordreOu Deux lois internes Deux lois internes 15 PropriétésPropriétés HiérarchieHiérarchie

16 Algèbre densembles Algèbre sur D X Treillis sur D X 16 Relation dordre Opération dintersection Opération union D X : tous les sous-ensembles de X D X : tous les sous-ensembles de X A, B : éléments de D X Ensemble de définition RelationsRelations

17 Propriété de substitution (A,B) est une paire algébrique par rapport à F ssi Si (A,A) est une paire algébrique par rapport à F alors A possède la propriété de substitution par rapport à F ou (A,A) Δ F Paire algébrique ( A,B ) par rapport à la fonction F A est lensemble détat dun sous-modèle 17Définition: A possède la propriété de substitution si et seulement si il existe une restriction de F sur A telle que

18 Formalisme algébrique Opérateur m (borne inférieure dune paire) Opérateur m (borne inférieure dune paire) Opérateur M (borne supérieure dune paire) Opérateur M (borne supérieure dune paire) m(A) donne le plus grand sous-ensemble qui forme une paire avec A M(B) donne le plus petit sous-ensemble qui forme une paire avec B Propriété de substitution (Critère) 18

19 Manipuler des ensembles… problème ? La décomposition dun modèle requiert la manipulation densembles déléments. La décomposition dun modèle requiert la manipulation densembles déléments. SolutionSolution o Définir des « délimiteurs » pour caractériser les différents ensembles. o Manipuler des ensembles déléments revient à manipuler les délimiteurs. o Définir des « délimiteurs » pour caractériser les différents ensembles. o Manipuler des ensembles déléments revient à manipuler les délimiteurs. Hartmanis, Stearns, Shumsky, Zhirabok 19

20 Principe du délimiteur Partitions – Hartmanis & Stearns Fonctions – Shumsky & Zhirabok Délimiteur Classe déquivalence Proposition : Manipuler les délimiteurs au lieu de manipuler les ensembles 20 Ensembles finis Ensembles infinis

21 Délimiteur densembles finis Une partition de S est un ensemble de blocs supplémentaires dont lunion recouvre lensemble S Par exemple 1 est une partition qui regroupe les nombres pairs et les nombres impairs. 1 est une partition qui regroupe les nombres pairs et les nombres impairs. 21

22 Délimiteur densembles infinis Toute fonction f(x) crée un partitionnement de son ensemble de définition X Toute fonction f(x) crée un partitionnement de son ensemble de définition X Un bloc regroupe tous les éléments qui ont la même image avec la fonction f(x). Un bloc regroupe tous les éléments qui ont la même image avec la fonction f(x). Toute fonction f(x) crée un partitionnement de son ensemble de définition X Toute fonction f(x) crée un partitionnement de son ensemble de définition X Un bloc regroupe tous les éléments qui ont la même image avec la fonction f(x). Un bloc regroupe tous les éléments qui ont la même image avec la fonction f(x). Par exemple : Le noyau de toute fonction définit le bloc dune partition de X. 22

23 Propriété dinvariance Soit une fonction Si A possède la propriété de substitution par rapport à F alors la fonction est invariante par rapport à F 23Fonctions InvarianceInvariance Ensembles Propriété de substitutionPropriété de substitution Sous-modèles Condition dexistenceCondition dexistence

24 Structures algébriques… 24 Algèbre densembles Relation dordre « » Relation dordre « » Opération dunion « » Opération dunion « » Opération dintersection « » Opération dintersection « » Algèbre de partitions Relation dordre « » Relation dordre « » Addition de partitions « + » Addition de partitions « + » Multiplication de partitions «. » Multiplication de partitions «. » Algèbre des fonctions Relation dordre « » Relation dordre « » Opération dunion « » Opération dunion « » Opération dintersection « » Opération dintersection « » Outils identiques indépendants des équations des modèles

25 25Généralités Surveillance (modèle) Décomposition Décomposition Outils Techniques algébriques pour la décomposition Méthodologie Synthèse de lalgorithme de décomposition Illustration Système à 3 cuves Modèle événementiel Modèle temporel Conclusion Contributions & perspectives

26 Formulation du problème de décomposition Ensemble de commande Ensemble dentrées inconnues Ensemble de défaillances A découpler avec Fonction de décomposition 26 ModèleModèle Sous-modèleSous-modèle

27 Méthode de décomposition Initialisation: Ensemble de solutions possibles Initialisation: Recherche itérative de la solution optimale Validation de la solution obtenue Sous-modèle découplé 27 Problème doptimisation Plus petit sous-ensemble qui remplit les critères Sous-modèle de dimension minimale Critères de décomposition Robustesse Robustesse Sensibilité Sensibilité Critères de décomposition Robustesse Robustesse Sensibilité Sensibilité Contraintes de décomposition Existence du SM Existence du SM Synthèse du MD Synthèse du MD Contraintes de décomposition Existence du SM Existence du SM Synthèse du MD Synthèse du MD

28 Critères de décomposition Critère de découplage Déterminer le plus grand sous-ensemble détat découplé de Propriété de couplage Déterminer le plus grand sous-ensemble détat découplé de 28 Robustesse aux perturbations Sensibilité aux défaillances

29 Contraintes de décomposition Contrainte dinvariance Contrainte de mesurabilité Déterminer le plus grand sous ensemble invariant et découplé Fait le lien entre le modèle et le sous modèle au travers des sorties 29 Existence du sous-modèle sous-modèle Synthèse du module détecteur Synthèse du module détecteur

30 ImplémentationImplémentation 30 simplesimple InitialisationInitialisation ItérationItération ValidationValidation Sous-ensemble détat découplé Test dinvariance Composante mesurable Test dinvariance CouplageCouplage

31 Ensemble de définition Ensemble détat Sous-ensemble détats visibles à travers les sorties 31

32 Sous-ensembles invariants 32

33 Sous-ensemble détat découplé Sous-ensemble détat non-découplé Critère de découplage 33

34 Le plus grand sous-ensemble découplé InitialisationInitialisation 34

35 ItérationItération 35

36 Le plus grand ensemble découplé et invariant 36

37 Contrainte de mesurabilité 37

38 Détermination du plus petit sous-ensemble découplé invariant et mesurable 38

39 Sous-ensemble découplé invariant et mesurable 39

40 Vérification du critère de couplage Sous-ensemble détat non-couplé Sous-ensemble détat couplé Sous-ensemble 40

41 Problèmes rencontrés et traités La contrainte dinvariance La contrainte dinvariance – Que faire sil nexiste pas de sous-ensemble découplé invariant ? Problème dinitialisation Problème dinitialisation – Comment trouver le sous-ensemble découplé maximal ? Aspect calculatoires Aspect calculatoires – Comment déterminer les opérateurs m et M dans les cas calculatoires complexes? 41 Injection de sorties Élimination de variables Fonctions équivalentes

42 Injection de sorties Problème Problème Relâcher la contrainte dinvariance et proposer un critère général dinvariance étendue Solution Solution – Injection de sorties pour pallier à linformation perdue par décomposition – Seules les sorties insensibles aux perturbations sont injectées – Extension de la technique connue dans le cadre des SEC au cas des SED 42

43 Injection de sorties 43 Les sorties compensent linformation perdue lors de la décomposition x1x1 x2x2 x4x4 x3x3 Injection de sorties InvarianceInvariance étendueétendue SortieSortie Sous-modèle réalisable Sous-modèle nest pas réalisable

44 Extension événementielle 44 Indéterminisme si b se produit

45 Algorithme de décomposition 45 étendu (Injection de sorties) InitialisationInitialisation ItérationItération ValidationValidation Sous-ensemble détat découplé Test dinvariance étendu Composante mesurable Test dinvariance étendu CouplageCouplage

46 Algorithme de décomposition 46 étendu (algèbre des fonctions) Élimination de variables InitialisationInitialisation ItérationItération ValidationValidation Sous-ensemble détat découplé Test dinvariance étendu Composante mesurable Test dinvariance étendu CouplageCouplage

47 Algorithme de décomposition 47 étendu (algèbre des paires) Inutile car vérifié InitialisationInitialisation ItérationItération ValidationValidation Partition détat découplée Test dinvariance étendu Composante mesurable Test dinvariance étendu CouplageCouplage MesurabilitéMesurabilité

48 48Généralités Surveillance (modèle) Décomposition Décomposition Outils Techniques algébriques pour la décomposition Méthodologie Synthèse de lalgorithme de décomposition Illustration Système à 3 cuves Conclusion ContributionsPerspectives

49 Le système à trois cuves 49 Modèle temporel (Système déquations différentielles) Modèle temporel (Système déquations différentielles) Modèle événementiel (Machine séquentielle) Modèle événementiel (Machine séquentielle) Détection et localisation de défaillances

50 50Généralités Surveillance (modèle) Décomposition Décomposition Outils Techniques algébriques pour la décomposition Méthodologie Synthèse de lalgorithme de décomposition Illustration Système à 3 cuves Modèle événementiel Modèle temporel Conclusion ContributionsPerspectives

51 Représentation événementielle 51 Détecteurs de sens f V 13 f V 32 Défauts actionneurs Information disponible : Sens des débits (,0, ) Commande des vannes Information disponible : Sens des débits (,0, ) Commande des vannes Etats transitoires

52 Modèle de fonctionnement défaillant Machine séquentielle 16 états,8 entrées + 2 défaillances Machine séquentielle 16 états,8 entrées + 2 défaillances DéfaillancesDéfaillances 52

53 Cahier des charges Deux machines séquentielles partielles découplées Découplée de linfluence de f V 13 Couplée à linfluence de f V 32 Découplée de linfluence de f V 32 Couplée à linfluence de f V f V 13 f V 32

54 Détermination de la machine séquentielle partielle f V 13 Critères de décomposition Critère de découplage Critère de découplage – En général – La partition dentrées découplée – La partition détat découplée Critère de couplage Critère de couplage – En général – La partition dentrée couplée – La partition détat couplée Contraintes de décomposition Contrainte dinvariance Contrainte dinvariance – En général – Partition avec propriété de substitution Contrainte de mesurabilité Contrainte de mesurabilité – Condition générale – Sous ensemble découplé et mesurable 54

55 Banc de machines séquentielles partielles découplées 55

56 Génération dindicateurs 56 Table de correspondance des sorties Calcul de lindicateur Si la sortie du système appartient au bloc indiqué par la sortie de la MSP indicateur à 0 Si la sortie du système appartient au bloc indiqué par la sortie de la MSP indicateur à 0 Si la sortie du système nappartient au bloc indiqué par la sortie de la MSP indicateur à 1 Si la sortie du système nappartient au bloc indiqué par la sortie de la MSP indicateur à 1

57 57 CommandesCommandes DéfaillancesDéfaillances Module détecteur à base de modèle événementiel ProcessusProcessus Discrétisation des mesures

58 SimulationsSimulations Evolution des niveaux C 1, C 2, C 3 Evolution des niveaux C 1, C 2, C 3 Commande des vannes DéfaillancesDéfaillances Capteurs de débit Evénements en entrée 58 aa cc bb dd ee gg ff hh f V 13 f V V 20 V2V2V2V2 V2V2V2V2 V1V1V1V1 V1V1V1V1 V 32 V 13 C 13 C 32 Non mesuré

59 SimulationsSimulations Sorties discrétisées du système Sorties estimées par le modèle Evolution de la 1 ère MSP Evolution de la 2 nde MSP 59

60 SimulationsSimulations Défaillance V 32 Réaction de lindicateur sensible à V 32 Réaction de lindicateur sensible à V 32 Réaction de lindicateur sensible à V 13 EntréesEntrées Indicateur robuste à la défaillance de V 13 Indicateur robuste à la défaillance de V 32 Indicateur de validité 60 Défaillance V 13

61 61Généralités Surveillance (modèle) Décomposition Décomposition Outils Techniques algébriques pour la décomposition Méthodologie Synthèse de lalgorithme de décomposition Illustration Système à 3 cuves Modèle événementiel Modèle temporel Conclusion ContributionsPerspectives

62 Le système à trois cuves 62 Encrassement de conduite Fuite dans les cuves Les défaillances Capteurs de niveau

63 Modèle de fonctionnement défaillant 63 Equations détat

64 Banc de sous-modèles découplés Sous-modèle découplé de b 32 Sous-modèle découplé de b 13 Sous-modèle découplé de f 2, b 20 Sous-modèle découplé de f 1 64

65 Synthèse des générateurs dindicateurs de défaillances Observateur dUtkin Le générateur de résidu robuste par rapport à b 13 Utilisation des modes glissants 65

66 GiD robuste par rapport à b 32 GiD robuste par rapport à b 13 Banc de générateurs dindicateurs de défaillances GiD robuste par rapport à f 1 GiD robuste par rapport à f 2,b Signature des défaillances

67 67 CommandesCommandes DéfaillancesDéfaillances Module détecteur à base de modèle temporel ProcessusProcessus

68 Fonctionnement Normal Niveaux des cuves DéfaillanceDéfaillance iD Robuste à f 1 iD iD Robuste à f 2,b 20 iD iD Robuste à b 13 iD iD Robuste à b 32 iD 68 MesuresMesures

69 Défaillance permanente b 13 DéfaillanceDéfaillance iD Robuste à f 1 iD iD Robuste à f 2,b 20 iD iD Robuste à b 13 iD iD Robuste à b 32 iD 69 RéactionRéaction 70 s Niveaux des cuves

70 Défaillance intermittente b 13 DéfaillanceDéfaillance iD Robuste à f 1 iD iD Robuste à f 2,b 20 iD iD Robuste à b 13 iD iD Robuste à b 32 iD 70 70sec RéactionRéaction Niveaux des cuves

71 71Généralités Surveillance (modèle) Décomposition Décomposition Outils Techniques algébriques pour la décomposition Méthodologie Synthèse de lalgorithme de décomposition Illustration Système à 3 cuves Modèle événementiel Modèle temporel Conclusion Contributions & Perspectives

72 ConclusionConclusion 72 FDI à base de modèles temporels FDI à base de modèles événementiels Formalisme général de FDI à base de modèles comportementaux Algèbre des fonctions Algèbre des Paires Algèbre densembles

73 Perspectives Perspectives Définir un formalisme adapté aux SDH Définir un formalisme adapté aux SDH Techniques délimination de variables non linéaires Techniques délimination de variables non linéaires – Bases de Groebner Utilisation alternative doutils Utilisation alternative doutils – Décomposition canonique (Kalman) – Flux de données corrélées (théorie de linformation) Détection et de localisation de défaillances SEC Détection et de localisation de défaillances SEC – Description du modèle sous forme de paires algébriques – Définition dindicateurs de défaillances directionnels 73

74 Perspectives : Décomposition de modèles hybrides Perspectives : Décomposition de modèles hybrides 74 1.Considérer les dynamiques événementielles et temporelles comme indépendantes (commutation) – Décompositions indépendantes du modèle temporel et du modèle événementiel 2.Considérer le cas général et les couplages temporels- événementiels – Décrire le modèle hybride sous forme de quintuplet – Proposer une structure algébrique adaptée Modèle complet hybride Sous-modèle hybride

75 Perspectives : Décomposition de modèles hybrides Perspectives : Décomposition de modèles hybrides 75 Algèbre des fonctions

76 76 Contact


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