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J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 1 Les treillis Pilotes Jean Serra UPE LIGM A3SI ESIEE.

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1 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 1 Les treillis Pilotes Jean Serra UPE LIGM A3SI ESIEE

2 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 2 Structurer les données spatio-temporelles multivariées en vue de traitements morphologiques. Il peut s'agir d'imagerie couleur, satellitaire, ou de données composites. le cas des images en couleur, et de leurs treillis, est un excellent paradigme, très visuel, des situations multi- dimensionnelles. But

3 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 3 On peut toujours engendrer un treillis couleur comme produit de ses composantes scalaires. Mais le sup et linf de deux valeurs peut nêtre aucune dentre elles. Plus précisément: Proposition 1: Dans un ensemble ordonné, toute famille finie admet un supremum et un infimum qui sont eux-mêmes éléments de la famille si et seulement si l'ordre de T est total. Contre-exemples : Ordres totaux finis x y Famille : [-1,1[ Ordre total, mais le sup de [0,1[ égale 2

4 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 4 Représentation RGB Canal rouge Canal bleu Canal vert Image couleur résultante

5 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 5 A partir de quatre couleurs, la dilatation en produit cinq de plus ! Leffet est plus sensible près des contours et autour des coins. Dilatation carrée de chaque canal Problème: fausses couleurs

6 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 6 x c l g r b Axe des gris Plan chromatique Représentation polaire cylindrique Comme les énergies sont additives il est légitime de modéliser les intensités lumineuses r,g,b, comme éléments d'un espace vectoriel. On a 3c = (2r - g - b ; 2g - b - r ; 2b - r - g ) 3l = ( r + g + b ; r + g + b ; r + g + b )

7 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 7 Canal M 1 Canal S 1 Canal H Image couleur initiale Représentation polaire cylindrique

8 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 8 il ny a plus de fausse teinte; mais des variations de lintensité et de la saturation; en revanche lordre de priorité des teintes est (trop!) arbitraire. Dilatation carrée de chaque composante polaire fausses couleurs

9 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 9 Image initiale Dilatation R,G,BDilatation H,L,S En norme L 1 fausses couleurs il ny a plus de fausse teinte; mais des variations de lintensité et de la saturation; en revanche lordre de priorité des teintes est (trop!) arbitraire.

10 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 10 Plan Ce qui précède nous conduit à trois questions: Pour ne pas créer de nouvelles valeurs, faut-il un treillis fini ? Jusquà quel point est-il important de ne pas créer de nouvelles valeurs ? Comment échapper à larbitraire de lorigine du cercle (de la suface de la sphère, du tore, etc…) ? Enfin, nous appliquerons les réponses à ces questions à des exemples autres que la couleur, comme les composantes principales des images satellites.

11 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 11 1ère partie treillis finis ou treillis de parties finies ?

12 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 12 Réquisit : il faut des ensembles finis et qui le restent après toutes les opérations qu'on leur applique (prop.1). Solution I : prendre les sous ensembles dun ensemble fini; Faiblesse : on perd linvariance par translation, donc laddition de Minkowski, le gradient, etc.. De plus, quand on parle de trame carrée, de grille de fusion parfaite, etc… on se situe dans Z 2, (ou Z n ) Solution II : treillis de parties finies. Treillis de parties finies

13 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 13 Treillis de parties finies Solution II Soit E un ensemble, et X la classe de ses parties finies. L'ensemble X = X ~ E forme un treillis complet pour l'ordre de l'inclusion, où pour toute famille {X i, X X, i I}, éventuellement infinie, l'infimum et le supremum sont donnés par les formules: X i = X i, X i = ~ X i,si ~ X i est majorée par une élément de X, X i = E sinon. Prendre E dénombrable ? Dans ce cas: - lensemble des partitions sur E nest pas dénombrable, - et celui des fonctions E{0,1}, dont le nombre vaut 2 N, a la puissance du continu.

14 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 14 Passage au numérique T est une famille de nombres réels, de bornes universelles M 0 et M 1. On lui associe le treillis fini T tel que pour toute famille {f j, j J} dans T: ( þ {t j, j J}) (x) = t j (x) si card J fini, et M 0 sinon; ( ÿ {t j, j J}) (x) = t j (x) si card J fini, et M 1 sinon; F est la classe des fonctions f: ET à supremum et à support finis, i.e. 1/ f(x) < M 1 et 2/ f(x) M 0 ssi x ~ X 5 X, puis F = F ~ M 1

15 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 15 Fonctions à supremum et supports finis Proposition 2 : La classe F des fonctions f: ET à supremum et à support finis forme un treillis complet pour l'ordre numérique usuel. L'infimum þ et le supremum ÿ d'une famille {f j, j J} dans F, finie ou non, sont donnés par les expressions ( þ {f j, j J}) (x) = f j (x) si x X j, et card J fini, ( þ {f j, j J}) (x) = M 0 sinon; ( ÿ {f j, j J}) (x) = f j (x) si x ~ X j 5 X, et card J fini, ( ÿ {f j, j J}) (x) = M 1 sinon.

16 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 16 Un petit piège de linfini Faire attention au côté parties finies…Exemple de l'espace S×H, de bornes ( s max, s min ) et ( h max, h min ) et dordre lexicographique : (s, h) (s, h) s < s ou s = s et h < h. Le treillis de parties finies associé a pour supremum s sup = {s j, j J} h sup = {h j, j J} si J 1, et h sup = h min si J 1 où J 1 est la famille telle que j J 1 entraîne s sup = s j Preuve : Si la classe J 1 est vide, alors s sup = s max n'est pas atteint par les s j, et tout doublet (s max, h) est supérieur aux (s j, h j ). Le doublet supremum vaut donc (s max, h min ) !

17 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 17 2ème partie Fausses couleurs et treillis pilotes

18 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 18 Ordre marginal, ordre lexique Exemple de deux situations extrêmes : l'ordre marginal = produit des ordres totaux de chaque composante. Quand la famille J est finie, chaque composante du supremum est supremum pour son ordre, mais prise à un point j qui peut être différent pour chaque composante. l'ordre lexicographique = une première variable prioritaire, puis une seconde, etc… L'ordre ici étant total, le supremum d'une famille finie J est l'un des éléments de la famille, avec toutes ses composantes.

19 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 19 Treillis pilote Proposition 3 : Soit T (n) un espace multi-numérique, et soit une partition {T (n) (s), 1sk} de T (n) en k sous-espaces complémentaires, avec k n <. Lorsque chaque sous-espace T (n) (s) est doté d'un ordre total O s le produit O 1 O 2... O k qui en résulte définit un ordre, dit pilote, sur T (n). De même, tout ensemble de treillis à supremum et support finis T s associés à chacun des ordres O s induit par passage au produit un treillis pilote T s T s … T s sur T (n). Le cas marginal est obtenu pour k = n, et l'ordre total pour k = 1. En dehors du cas marginal, le sup et l'inf de toute famille ont toujours plusieurs composantes d'un même élément de la famille.

20 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 20 Ordre total, ordre lexicographique Un ordre total peut n'être pas lexicographique. Exemple : On part de l'espace S×H, dune bijection μ du produit S×H dans un espace S*×H* où on construit un ordre lexicographique, puis on en prend l'image inverse. avec μ : (s, h) (s, sh) et les trois doublets a,b,c suivants: abc s124 h841 sh884 l'ordre lexicographique sécrit: - dans S×H, avec s prioritaire c b a, - dans S×S.H, avec sh prioritaire b a c (qui nest pas lexicographique dans S×H)

21 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 21 3ème partie Ordre total et Polyèdres de Voronoï

22 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 22 Cas du cercle unité E. Aptoula et S. Lefèvre associent plusieurs origines aux teintes, qui dépendent de limage traitée. On remarque que lhistogramme des teintes présente souvent quelques modes bien nets.

23 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 23 Autres exemples

24 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 24 Voronoï sur le cercle On note h ÷ h langle aigu entre h et h sur le cercle unité Donnons nous k modes principaux h j, 1 i k. h est dit plus grand que h si h est plus proche du mode de la zone où il se trouve que h du mode de la sienne, i.e. si min i {h ÷ h j } < min j {h ÷ h j } 1 i, j k. ou si h ÷ h i0 = min i {h ÷ h j } = h ÷ h j0 = min i {h ÷ h j } et i 0 < j 0 Les teintes sont classées selon une propriété de ressemblance à des références préalables.

25 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 25 a d p1a d h(a) - h(p1) 0 a h(a) p1 p2 d Trois ordres totaux, et trois treillis, pour la teinte : a) la teinte (varie de 0 à 255) ; b) la distance d1 au pôle p1 ; avec priorité au sens trigonométrique c) inf des distances aux pôles p1 et p2 ; (même priorité quavant). Segmentons ces trois fonctions par sauts de 35, et fusion des cc > 5 a)b) c) Trois ordres pour la teinte

26 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 26 Cheval Hue 1053Hue standard Hue pole 10Hue pole 53

27 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 27 Cheval Hue 1053 Hue bi-pole 10 et 53Hue pole 53 Hue pole 10

28 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 28 Cheval hue sat Hue saturation 860 Hue saturation

29 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 29 Hue saturation Hue.sat.4 pole 8Hue.sat.4 pole 60 Cheval hue sat 860 Hue saturation

30 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 30 Hue saturation Hue.sat.4 pole 8Seuillage 0-35 Cheval hue sat

31 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes Hue Hue pole 35Hue pole 83 Champignon

32 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 32 Champignon Hue pole 35 Hue pole 83 seuil 0-35 N.B. : les images seuillées sont disjointes

33 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 33 Champignon seuil Luminance YIntersection avec pôle 35

34 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 34 Champignon teinte sat Hue Hue saturation Hue saturation (vert) Hue.sat pole 18Hue.sat pole 56

35 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 35 Hue.sat pole 18 Hue.sat pole 56Seuil 0-35 Champignon teinte sat

36 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 36 4ème partie Segmentations en télédétection à partir des trois premières composantes principales.

37 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 37 La télédétection optique fonctionne sur un double mode: Les canaux dentrée (visible, infra-rouge), similaires au R, G, B de la couleur; Les composantes principales, qui ne sont pas similaires à une représentation polaire de la couleur. Ces dernières forment un « RGB » à trois ou quatre dimensions où lon peut construire une représentation polaire. Elles ont des variances différentes, quon peut introduire comme poids dans lexpression de la luminance Télédétection et couleur

38 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes Composantes principales de « Pavie »

39 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 39 Dans une première analyse, nous nous concentrons sur les trois premières composantes, avec CP 1 Vert CP 2 Rouge CP 3 bleu On passe de R, G, B à la représentation Y, H, S où Y = [22 R + 63 G + 8 B] / 93 S = max (R,G,B) – min (R,G,B) NB: les poids des CP de Y sont proportionnels à leurs variances dans lACP. Analyse tri-chrome

40 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes Composantes principales de « Pavie »

41 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 41 « Pavie » en H, L, S H L S

42 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 42 La première segmentation par sauts de f part de ses minima Puis lensemble de ses singletons est segmenté de la même manière, etc… On peut aussi travailler sur les minima et maxima et progresser vers le haut et vers le bas en parallèle. Connexion par sauts

43 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 43 On travaille sur la fonction et non sur sa dérivée (moins de bruit); Un même bassin versant peut être scindé en plusieurs régions pour les sauts; Un e famille de bassins versants peut être regroupée pour les sauts. Différences entre sauts itérés et LPE

44 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 44 c) Skiz de la réunion des points sombres de l image b) a) Image initiale : section polie de grains dalumine b) connexion par sauts taille 12 Exemple de connexion par sauts

45 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 45 Exemple de connexion par sauts c) Skiz de la réunion des points sombres de l image b) a) Image initiale : section polie de grains dalumine b) connexion par sauts taille 16

46 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 46 Lissage gaussien 3x3 de la saturation et histogramme régularisé. On prend le seuil s =100 sur limage régularisée. Saturation S = 100

47 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 47 Histogramme. Pôles: - principal à secondaire à 160 Teinte

48 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 48 a d p1a d h(a) - h(p1) 0 a h(a) Trois treillis pour la teinte p1 p2 d Les trois treillis sont numériques : a) la teinte (varie de 0 à 255) ; b) la distance d1 au pôle p1 ; avec priorité au sens trigonométrique c) inf des distances aux pôles p1 et p2 ; (même priorité quavant). Segmentons ces trois fonctions par sauts de 35, et fusion des cc > 5 a)b) c)

49 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 49 Trois segmentations pour la teinte a)b) c)

50 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 50 Segmentation de la luminance initialsegmenté contours

51 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 51 Segmentation de la luminance

52 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 52 Segmentons maintenant limage couleur YHS des trois premières composantes. Pour cela: Prenons les trois segmentations ci-dessus de la teinte; Effectuons la segmentation de la luminance Y par sauts itérés ( h=25) et fusion (aire >5); Combinons les deux partitions en prenant celle de la teinte quand la saturation (lissée) >100 de la luminance sinon. Segmentation composite

53 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 53 Exemple de partition de limage couleur avec usage de la clé saturation sur la connexion par sauts + fusion de regions L H S mosaïque S u = 45 XSXS h=20, Aire <50 Segmentation composite

54 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 54 Composite: luminance /teinte standard

55 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 55 Composite: luminance /teinte 1 pôle

56 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 56 Composite: luminance /teinte 2 pôles

57 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 57 5ème partie Segmentations en télédétection à partir des quatre premières composantes principales.

58 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 58 Composantes principales 4 et 5 CP 4CP 5

59 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 59 Au point x de R 4 le vecteur multi-spectral a pour coordonnées cp1(x), cp2(x), cp3(x), cp4(x) variant entre 0 et 255 Le vecteur luminance sécritY = (cp1,0,0,0). Soit C p la composante vectorielle Y. Cest le vecteur de R 3 de coordonnées cp2(x), cp3(x), cp4(x) Analyse quadri-chrome

60 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 60 La saturation et les teintes sont les coordonnées sphériques du vecteur (cp2, cp3, cp4) de R 3 i.e. saturation = ρ = (cp2², cp3², cp4²) les teintes θ et ψ sont la co-latitude et la longitude par rapport l'axe 0cp4, avec : cosθ = (cp4/ρ), cosψ=(cp2/(ρsinθ)), sinψ=(cp3/(ρsinθ)), Analyse quadri-chrome

61 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 61 Teintes dans cp2 cp3 cp4 On prend : pour pôle, le point θ = 159 ψ = 162 indiqué en noir sur lhistogramme; et pour distance la somme des distances en θ et en ψ. θ ψ Pour segmenter les teintes (par LPE ou par sauts) il faut un ordre total sur la sphère unité. Voici les 2D-histogrammes (θ,ψ)

62 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 62 Distances θ et ψ Distance θ au pôle 159 Distance ψ au pôle 162

63 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 63 Somme des distances θ et ψ d( θ, ψ) = d( θ) + d( ψ)

64 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 64 Image de et son histogramme (seuil 180). Fonction de saturation = 180

65 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 65 S = H= d( θ, ψ) L Système "H,L,S"

66 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 66 d( θ, ψ) segmentation de d(θ,ψ) Contours segmentés. sauts 25 aires > 5

67 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 67 Luminance = CP 1 segmentation de CP 1 Contours segmentés. sauts 25 aires > 5

68 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 68 Luminance = CP 1 Contours segmentés. Pondération par seuillé à 180 Segmentation mixte de cp1 et d(θ,ψ)

69 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 69 R3R3 R4R4 Un pôle dans R 3 Un pôle dans R 4 Comparaison des segmentations mixtes

70 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 70 Un pôle dans R 3 Comparaison des segmentations mixtes Un pôle dans R 4 Luminance

71 J. Serra ESIEE Paris-est Treillis pilotes 71 Les segmentations par sauts et par LPE ont les avantages (et des défauts) différents. Les représentation polaires dans R 3, R 4 (ou plus) permettent des segmentation mixtes qui combinent les partitions des variables scalaires. De plus, dans R n est une mesure de la dissemblance, en chaque pixel, entre la première composante et lensemble des autres. Ce qui peut aider dans des analyses locales. Il serait intéressant de tester les performances de la norme L 1 pour construire des ACP. (la somme des modules des canaux a plus des sens physique que la somme des carrés, car réflectances sont des énergies, i.e. des grandeurs additives). Conclusions


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