Apprentissages géométriques Jacques Douaire IUFM de Versailles - Université de Cergy-Pontoise LDAR Equipe ERMEL (INRP) ESEN – 19/1/2011

PLAN DE L’INTERVENTION 1- Constats et questions 2- Quelques résultats de recherches 3- Analyse d’un apprentissage : le parallélisme (situations et progressions) 4- La question de la validation 5- Questions sur la formation

1- CONSTATS ET QUESTIONS Peu de problèmes proposés en géométrie Enseignement souvent réduit à du vocabulaire et des tracés Articulation nécessaire avec : l’acquisition antérieure de connaissances spatiales la construction progressive d’une géométrie déductive au collège

Eléments liés à un concept (alignement) Des significations: des expériences ( visée, trajectoire,…) , des outils (règle ,…) des objets   (pli, fil tendu, bord rectiligne,…) Des problèmes Reconnaissance ou production d’alignements Des objets mathématiques (point, segment, droite…) Des propriétés Des procédures de résolution ou de contrôle : visée, tracés, Instruments Un vocabulaire, des représentations… Deux composantes de l’apprentissage Traits droits (reconnaissance, tracés, propriétés…) Alignement de points

2- DES RÉSULTATS DE RECHERCHES : Différents types de géométrie • Une approche concrète de l’espace, • Une géométrie s’appuyant sur des situations concrètes modélisées par des représentations des objets (domaine spatio-graphique), • Une géométrie théorique traitant d’énoncés mathématiques où la source de validation est la déduction logique. les propositions de bases sont des définitions, des propriétés reconnues comme vraies ou démontrées.. Mais l’axiomatique est non explicite  les énoncés de base ont explicitement un statut d'axiomes,

Différents types de géométrie (2) Les critères portent sur : la nature des objets (spatiaux, spatio-graphiques, théoriques), la nature des tâches du sujet (action, anticipation, déduction) la nature des méthodes de validation (validation pratique, recours à la mesure, recours exclusif aux raisonnements) le statut scientifique des énoncés.

Les niveaux d’analyse de l’espace - le micro-espace : l'espace proche dans lequel l'élève peut déplacer l'objet, le voir sous toutes ses dimensions. Le sujet se situe à l'extérieur de cet espace. - le méso-espace : l’« espace des déplacements du sujet dans un domaine contrôlé par la vue» - le macro-espace : l'espace éloigné (espace de la ville visible depuis la cour de récréation) qui n’est accessible à l'élève que par une vision locale (les immeubles éloignés ne sont vus que sur une face). Le sujet doit se décentrer pour intégrer et coordonner des représentations. L’orientation dans cet espace doit être coordonnée à un système de repères extérieur au sujet lui-même.

Méthodologie des recherches (ERMEL) Analyse du savoir géométrique Repérage des connaissances initiales des élèves Constitution de progressions Elaboration et expérimentation de situations Rédaction de ces propositions pour les enseignants et formateurs

3- ANALYSE D’UN APPRENTISSAGE : Les significations du parallélisme 1) des « horizontales » ou des « verticales » 2) deux droites qui « ne se coupent pas » 3) deux côtés opposés de certaines figures 4) produites par des instruments (règle…) 5) deux droites inclinées de la même façon 6) deux droites ayant un écart constant 7) deux droites ayant une perpendiculaire commune

Parallélisme : significations et situations privilégiées pour son introduction 3) deux côtés opposés de certaines figures 5) deux droites inclinées de la même façon : « Feuilles qui coulissent », « Parapuzzle » 6) deux droites ayant un écart constant :  « Les traces de roues » 7) deux droites ayant une perpendiculaire commune : « Triangle à deux angles droits »

« Feuilles qui coulissent »

« Feuilles qui coulissent » Procédures de tracé : au jugé sans recours au parallélisme au jugé, avec utilisation implicite du parallélisme par glissement de la règle avec des traits intermédiaires en cherchant à construire un écart constant entre les deux traits …

« Feuilles qui coulissent » Appropriation Anticipation Variables Validation Variantes

« Traces des roues »

Trace des roues Procédures observées : Prise d’un écart, construction de la droite au jugé Prise d’un écart, construction de la droite par glissement de la règle Prise de plusieurs écarts à la règle dans des directions non perpendiculaires à la première droite Prise de plusieurs écarts à la règle dans des directions perpendiculaires à la première droite (utilisation des graduations de la règle) Prise d’un écart et construction par double perpendicularité à l’équerre Remarque : au format A3, les procédures au jugé disparaissent

Remarques sur les situations 1) caractéristiques des situations problèmes proposés, contexte Anticipation, variable, passage A4/A3 Validation 2) évolution des procédures dans une situation 3) évolution des procédures d’une situation à une autre 4) progressions

4- LA VALIDATION Coexistence de différents types de validation Limite de la validation pratique. Difficultés de formulation et de critique des procédures. Passage à une validation fondée sur les propriétés (Triangle …)

5- REMARQUES SUR LA FORMATION Harmoniser l’étude des contenus Proposer des problèmes Aspects langagiers et instrumentaux Passer du global à l’analytique Connaissances spatiales Accompagnement