Mettre l'élève en situation d'apprendre ➲ Comment mettre l’élève en situation ➲ d’apprendre ? ➲ Comment faire participer activement les ➲ élèves à l’écrit, à l’oral, en situation de ➲ recherche ? ➲ Pourquoi et comment enseigner les ➲ mathématiques à travers la résolution de ➲ problèmes ?

Quels éléments de réponses a-t-on déjà donné en formation pour répondre à ces 3 questions ? ➲ Comment mettre l’élève en situation ➲ d’apprendre ? ➲ Comment faire participer activement les ➲ élèves à l’écrit, à l’oral, en situation de ➲ recherche ? ➲ Pourquoi et comment enseigner les ➲ mathématiques à travers la résolution de ➲ problèmes ?

Compétences professionnelles 4 et 5 IV – Concevoir et mettre en œuvre son enseignement e) Choisir des activités où l’élève construit lui-même ses apprentissages g) Développer l’autonomie des élèves et la prise d’initiative V – Organiser le travail de la classe b) Faire comprendre le sens des enseignements et obtenir l’adhésion des élèves g) Faire participer activement les élèves, en situation individuelle ou interactive h) Concevoir des procédures guidant les élèves vers la réussite

Pourquoi et comment enseigner les mathématiques à travers la résolution de problèmes ? ➲ Ce que disent les textes officiels ➲ Quels sont les différents types de ➲ raisonnements ? ➲ Vers les problèmes ouverts et les ➲ problèmes à tâches complexes

Objectifs de la formation en mathématiques ? ➲ « Permettre aux élèves d’acquérir les mathématiques nécessaires à une poursuite d’études (autrement dit, le programme), objectif qui doit rester l’ambition pour tous. » ➲ « Donner à tous la culture mathématique nécessaire au citoyen (autrement dit, permettre aux élèves d’acquérir les connaissances et compétences du socle commun), objectif que l’on peut qualifier de nécessaire pour tous. »

Extrait du préambule de collège Pour prendre sens pour les élèves, les notions mathématiques et les capacités qui leur sont liées gagnent à être mises en évidence et travaillées dans des situations riches, à partir de problèmes à résoudre, avant d’être entraînées pour elles-mêmes. Il faut également prendre en compte le fait que tout apprentissage se réalise dans la durée, dans des activités variées et que toute acquisition nouvelle doit être reprise, consolidée et enrichie.

Les priorités en terme de formation ➲ Incontestablement, la maîtrise du calcul réfléchi inséparable du sens des nombres et des opérations. ➲ L’acquisition d’automatismes qui favorisent l’autonomie et l’initiative des élèves dans la résolution de problèmes et les mettent en confiance. ➲ La mise en place permanente de l’activité de raisonnement qui est l’essence même des mathématiques.

Raisonner et démontrer ➲ La démonstration en mathématiques est- elle un raisonnement déductif ? ➲ Quels sont les types de raisonnements que l’on peut rencontrer chez les élèves ?

Le raisonnement Deux définitions : ➲ « Activité de l’esprit qui passe, selon des principes ➲ déterminés, d’un jugement à un autre, pour ➲ aboutir à une conclusion.» ( Le Robert) ➲ « Un raisonnement, c'est d'abord une certaine ➲ activité de l'esprit, une opération discursive par ➲ laquelle on passe de certaines propositions posées ➲ comme prémisses à une proposition nouvelle, en ➲ vertu du lien logique qui l'attache aux premières : en ➲ ce sens, c'est un processus qui se déroule dans la conscience d'un sujet selon l'ordre du temps.» ➲ (Universalis 2009)

Une typologie du raisonnement Le raisonnement transductif. Le raisonnement inductif (induction) Le raisonnement déductif (déduction) Le raisonnement abductif (abduction, présomption) Autres raisonnements rencontrés en mathématiques: Contraposée, contre-exemple, disjonction de cas, par l’absurde, analogie, (déclinaisons ou combinaisons disciplinaires de ces raisonnements basiques), par récurrence.

Le raisonnement transductif La transduction est le raisonnement de l’enfant. Toutes les opérations mentales restent au même niveau. Il n’y a pas de généralisation, c’est la mise en relation d’un évènement particulier a un autre événement particulier.

Par exemple, si A vole et que B vole, alors B = A. Si A est un oiseau et que B est aussi un oiseau, alors A = B et vice-versa. Si, par contre, A est un avion et que B est un oiseau, alors le processus de raisonnement transductif conduit a une conclusion erronée. C’est pourquoi certains enfants affirment avec une certitude déconcertante des invraisemblances qui leur semblent a eux tout a fait logiques. Le raisonnement transductif

En mathématiques : Comparaison de données numériques, de figures, de graphiques…

Le raisonnement inductif L’induction est un type de raisonnement qui consiste à généraliser des cas particuliers. D’un phénomène observé de manière répétitive, on va induire une loi générale, sans vérifier tous les exemples. En mathématiques : l’induction est utilisée quand il s’agit de faire émerger une conjecture après avoir traité des exemples. L’utilisation des logiciels de géométrie dynamique est sous tendue par cette approche. L’approche fréquentielle de la notion de probabilité l’illustre également

Dans le domaine des sciences expérimentales, le raisonnement par induction se suffit à lui-même. En mathématiques, le raisonnement inductif ne se conçoit, en général, que comme une première étape, conduisant à une conjecture. Alors que le raisonnement déductif fonctionne selon le schéma classique : « Sachant que (A est vraie) et que (A implique B), je déduis que (B est vraie) », le raisonnement inductif fonctionne selon le schéma présomptif : « Constatant que dans les exemples où (A est vraie), alors (B est vraie), je présume que (A implique B) est vraie » ou le schéma explicatif : Sachant (que A implique B) est vraie, j’explique que (B est vraie) en présumant que (A est vraie)

Le raisonnement déductif La déduction est un raisonnement qui consiste à tirer à partir d’une ou de plusieurs propositions, une autre qui en est la conséquence nécessaire. à partir de propriétés reconnues comme vraies, par enchaînement logique, on déduit une propriété En mathématiques : à partir de propriétés reconnues comme vraies, par enchaînement logique, on déduit une propriété

Articulation Déductif/ Inductif

Le raisonnement abductif Afin de comprendre un phénomène, on introduit une règle à titre d'hypothèse afin de considérer ce phénomène comme un cas conforme. L’abduction consiste à tirer de l’observation des conjectures qu’il convient ensuite de tester et de discuter. L’objectif de cette démarche n’est pas d’établir des résultats à vocation universelle mais d’établir la compréhension d’une réalité donnée Umberto Eco a appelé ce procédé la « méthode du détective ».

➲ l'abduction produit des idées et des concepts à ➲ expliquer ➲ l'induction participe à la construction de l'hypothèse abductive en lui donnant de la consistance ➲ la déduction formule une explication prédictive.

La résolution de problèmes Dans la recherche d’une argumentation, visant à répondre à une question ou à résoudre un problème ouvert, les trois types de raisonnements interviennent :

Des réponses : ➲ La démonstration en mathématiques est-elle un raisonnement déductif ? Non, pas seulement. ➲ Quels sont les types de raisonnements que l’on peut rencontrer chez les élèves ? Les élèves peuvent et doivent utiliser plusieurs types de raisonnements selon les activités proposées. La mise en œuvre dépend du cadre d’utilisation et du type d’énoncés proposés.

Quels travaux proposés pour développer ces raisonnements ? La pratique des questions ouvertes et des exercices à tâches complexes est propice à l’apprentissage et à l’évaluation des compétences liées au raisonnement.

Ouvrir les problèmes ➲ Favorise l’engagement des élèves dans la résolution et permet la mise en activité de chacun. ➲ Laisse vivre différentes stratégies de résolution. ➲ Développe la prise d’initiative. ➲ Permet aux élèves de se confronter à des tâches complexes.

Favoriser la démarche d'investigation ➲ Chaque fois qu’une question est posée et que la réponse ne peut ➲ être donnée immédiatement. ➲ Déroulement: ➲ 1)  Réflexion sur le problème posé appropriation du problème, confrontation avec les savoirs disponibles (il est donc nécessaire de « connaître son cours »), recherche éventuelle d’informations sur le thème. 2) Élaboration d’une conjecture recherche, avec mise en place éventuelle d’une première expérimentation, émission de la conjecture,confirmation, avec mise en place éventuelle d’une seconde expérimentation. 3) Mise en place d’une preuve argumentée.