Les fonctions Colegiul National “Mihai Eminescu”, Iasi -Définition -Représentation graphique -Propriétés: -points d’extremum -les fonctions composées -la variation -la parité -la periodicité Burduja Petru-Cristian Classe a XI-a A Prof. coordonateur : Cristina Anton Data:26 septembrie 2011

Lexique • la fonction • f : A→ B f définie sur A ayant valeurs en B • A = ensemble de depart (de définition) • B = ensemble d’arrivée • la variable x • f ( x) = l’image de x par la fonction f • l’antecedent • f :ℝ→ℝfonction de ℝ vers ℝ • l’intervalle • courbe représentative • fonctions trigonometriques ( sinus, cosinus, tangente ) • parité • periodicité ( f. periodique) • periode T, LA periode T0 • sens de variation • fonction composée • limite a gauche / a droite • signe • intervalle ouvert • tableau de variation • représentation graphique • fonction affine

Example d’application pratique de fonctions: On teste le voiture dans l’image et on mesure la vitesse et le temps necesaire pour arriver a une certaine vitesse pour determiner la performance.

Définition.Notation On note f : x→ y ou y = f ( x); Soit D, un ensemble de nombres réels. Définir une fonction f sur l’ensemble Df , c’est associer a chaque réel x de Df un unique réel y. Définition: On note f : x→ y ou y = f ( x); On lit fonction f qui a x associe y ou y egale f de x. - Df est l’ensemble de définition de la fonction f; x est un antécédent de y par la fonction f; y=f(x)est l’image de x par la fonction f; Une fonction f est connue par son expression f(x). Pour determiner l'image d'un nombre a par une fonction f on calcule f(a) en remplacant tous les x de l'expression par le nombre a, puis on calcule en respectant les ordres de priorité. Example: Soit f la fonction defini sur [-10, 15] par f(x)=2x+1; L’ensemble de definition de f est [-10,15]; On associe le nombre 1 a 2 x 1 + 1=3; Ceci note f(1)=3.

Représentation graphique Dans un repère du plan, la courbe représentative de la fonction f est l´ensemble des points M (x, y ) tels que : • l'abscisse x décrit l´ensemble de definition D ; • l'ordonnée y est l´image de x par f . Une fonction f est connue par sa courbe . Pour lire l'image de a par f : • on repère la graduation a sur l'axe des abscisses, • on trace la verticale jusqu'à la courbe , puis on lit l'ordonnée du point de la courbe. Définition:

Pour lire les antécédents du nombre b on repère la graduation b sur l'axe des ordonnées, puis on trace la droite horizontale parallèle à l'axe des abscisses : si la droite coupe la courbe , on lit les abscisses de ces points d'intersection. L'ensemble de définition de la fonction est l'ensemble des abscisses des points de la courbe, comme si on " aplatissait " la courbe sur l'axe des abscisses. Extremum Le maximum d'une fonction f sur un ensemble D est la plus grande image f(x) atteinte pour un nombre a de D: pour tout réel x de D, on a f ( x) ≤ f (a) . Définition:

Le minimum d'une fonction f sur un ensemble D est la plus petite image f(x) atteinte pour un nombre a de D: pour tout réel x de D, on a f ( x) ≥ f (a) . Définition: Un extremum est un minimum ou un maximum. Ce nombre est lu en ordonnée et il doit etre atteint . Ainsi l'infini ne peut pas etre unextremum. Définition: Fonctions composées Définition: Soit u et v deux fonctions definies respectivement sur les ensembles Du et Dv . La fonction obtenue en appliquant successivement u, puis v, est la composée de u par v, notée v◦u. La fonction v◦u est definie sur l'ensemble D des réels x de Du tels que u(x) appartienne a Dv et par (v◦u)(x)=v(u(x)).

La Variation D’une fonction Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Dire que f est une fonction croissante sur I signifie que, pour tout couple (a;b) de réels de I : si a<b, alors f(a) f(b). Dire que f est une fonction strictement croissante sur I signifie que, pour tout couple (a;b) de réels de I : si a<b, alors f(a)<f(b). Les images des réels de I sont rangées dans le meme ordre que ces réels. Définition: Définition:

Dire que f est une fonction décroissante sur I signifie que, pour tout couple (a;b) de réels de I :si a<b, alors f(a) f(b). Dire que f est une fonction strictement décroissante sur I signifie que, pour tout couple (a;b) de réels de I :si a<b, alors f(a)>f(b). Les images des réels de I sont rangees dans l'ordre contraire de celui de ces réels. Dire que f est une fonction strictement monotone sur I signifie que f est strictement croissante ou strictement décroissante sur I. Définition: Définition: Définition:

Tableau de variation Le sens de variation d’une fonction f est resumé par un tableau. Exemple : Le tableau de variation de la fonction f définie par f(x)=1/2x^2 +3*x-1.5 x - -2 0 3.5 9 + y 0 4 7 0

Théorème : Soit u une fonction définie sur un intervalle I et v une fonction definie sur un intervalle J qui contient tous les réels u(x) avec x dans I. Si les deux fonctions u et v sont strictement monotones et ont le meme sens de variation respectivement sur I et J, alors la fonction v◦u est strictement croissante sur I. Si les deux fonctions u et v sont strictement monotones et ont des sens de variation contraires respectivement sur I et J, alors la fonction v◦u est strictement décroissante sur I. La parité La fonction f est dite paire lorsque, pour tout nombre x qui a une image par f : - x a une image par f et f ( x) = f (−x) . Dire qu’une fonction est paire equivaut a dire que sa courbe représentative relativement a un repère admet l’axe des coordonnées comme axe de symetrie. Example: la fonction cosinus est paire. Définition:

Définition: La fonction f est dite impaire lorsque, pour tout nombre x qui a une image par f : - x a une image par f et f (−x) = − f ( x) . Dire qu’une fonction est impaire equivaut a dire que sa courbe représentative relativement a un repère admet l’origine du repère comme centre de symetrie. Par example, la fonction sinus est impaire: La periodicité Définition: La fonction f a pour période T signifie que, pour tout nombre x , on a f ( x +T ) = f ( x). Observation:La fonction sinus a la periode T=2 π;

Excercises Determiner la parité du functions suivantes: Determiner les fonctions v u et u v dans le cas suivant: Determiner l’ensemble de définition pour:

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