Comprendre, classer et analyser les problèmes multiplicatifs Alain Ménissier Orthophoniste et praticien- chercheur alain.menissier@wanadoo.fr

Notre choix méthodologique La difficulté d’un problème n’est pas liée à l’opération arithmétique requise pour sa résolution. Travailler sur la résolution de problèmes, c’est maîtriser les opérations sémantiques sous-jacentes. Le praticien doit donc connaître le type de problème choisi (à l’intérieur d’une typologie précise). Le praticien maîtrise et connaît l’opérateur de l’inconnue à rechercher.

Prendre en compte les principaux critères intervenant dans la réussite d’un problème : La structure sémantique des problèmes. L’ordre d’introduction des données. L’emplacement de la question. L’emploi de termes linguistiques spécifiques. Le temps des verbes utilisés. La pertinence des informations à traiter.

Donnons-nous un énoncé de problème multiplicatif : Une maîtresse a disposé les élèves de sa classe en groupes. Il y a 7 groupes de 4 élèves. Combien y a-t-il d’élèves dans la classe ? La réponse à ce problème élémentaire est bien évidemment : Mais que se passe-t-il entre la lecture de l’énoncé et l’écriture de la solution? exercice 11- évaluation des mathématiques en CE 2 ,Ministère de l’Education nationale Direction de l’évaluation et de la prospective septembre 2005 7 x 4 = 28

Réécrivons la situation en dissociant les informations Dans sa classe, la maîtresse fait 7 groupes d’élèves. Il y a 4 élèves dans chaque groupe. En tout, il y a 28 élèves dans la classe.

Recherchons les opérateurs sémantiques de ce problème groupes élèves 1 4 2 8 3 12 ………. ………. 7 28

Recherchons les opérateurs sémantiques de ce problème groupes élèves (nombre d’unités) (mesure des valeurs) référence à l’unité 1 4 valeur unitaire quantité d’unités 7 28 valeur multipliée x 7 x 7 Relation quaternaire : le nombre total d’enfants est au nombre d’enfants dans un groupe ce que 7 groupes est à un groupe.

Les problèmes de proportionnalité simple et directe Ces problèmes présentent comme caractéristiques de posséder : deux domaines de grandeurs. une relation multiplicative définie entre ces deux domaines de grandeurs : c’est le rapport fonctionnel.   Trois nombres étant connus, il s’agit de déterminer le quatrième (l’unité étant le troisième nombre). Chaque problème est constitué de trois données : deux énoncés et une question.

Classification des problèmes de type multiplicatif La structure mathématique des problèmes relevant du champ conceptuel multiplicatif peut s’analyser en quatre grandes classes :   Les problèmes de proportionnalité simple et directe. Les problèmes de comparaison multiplicative des grandeurs. Les problèmes de proportionnalité simple composée. Les problèmes de proportionnalité multiple.

Rappel : une base de données et un outil pour travailler les problèmes multiplicatifs Notre logiciel Point d’interrogation n° 2 permet de travailler à partir de 175 situations-problèmes. Il offre un répertoire disponible de 654 problèmes selon le choix de l’inconnue et de l’opération sémantique sous- jacente. A partir des 4 grandes classes multiplicatives, 36 catégories sont représentées (par la recherche de l’inconnue). Parallèlement, il rend possible l’acquisition du calcul multiplicatif (apprentissage des tables) par la pratique d’exercices qui dissocient l’utilisation de connaissances procédurales et de connaissances déclaratives.

Les problèmes de proportionnalité simple et directe L’énoncé fait référence à l’unité, de façon plus ou moins explicite : l’un des nombres est égal à 1 (problèmes dits de multiplication). L’énoncé ne fait pas référence à l’unité : - le rapport fonctionnel est implicite. L’énoncé fournit la valeur d’un multiple de l’unité ( ex « règle de trois »). - le rapport fonctionnel est explicite. Ce rapport est connu ou peut être calculé directement de la relation entre deux nombres a et b.

Les problèmes de proportionnalité simple et directe L’énoncé ne fait pas référence à l’unité : - le rapport fonctionnel est implicite. L’énoncé fournit la valeur d’un multiple de l’unité ( ex « règle de trois »).   grandeur valeur base multipliée a b c d

Les problèmes de proportionnalité simple et directe Enoncé (données de base): 3 cageots de pommes pèsent 18 kg. (on ne connaît pas ici « ce que vaut 1 », mais l’on connaît « ce que vaut un multiple de 1 » déterminé par la constante multiplicative ou coefficient de proportionnalité). Deux possibilités de recherche : Recherche de la grandeur multipliée : Avec 30 kg de pommes, combien y a-t-il de cageots ? (5 cageots) Recherche de la valeur multipliée : Combien pèsent 5 cageots de pommes ? (30 kg)

3 cageots de pommes pèsent 18 kg. Combien pèsent 5 cageots de pommes? grandeur valeur (cageots) (poids) 1 base multipliée   ? : 3 : 3 3 18 x 5 x 5 5 ?

Les problèmes de proportionnalité simple et directe Enoncé (données multipliées): 5 cageots de pommes pèsent 30 kg. Deux possibilités de recherche : - Recherche de la grandeur de base : Avec 18 kg de pommes, combien y a-t-il de cageots ? (3 cageots) - Recherche de la valeur de base : Combien pèsent 3 cageots de pommes ? (18 kg)

Les problèmes de proportionnalité simple et directe L’énoncé ne fait pas référence à l’unité : - le rapport fonctionnel est explicite. Ce rapport c est connu ou peut être calculé directement de la relation entre deux nombres a et b. Trois recherches sont possibles: - recherche de a. - recherche de b. - recherche du rapport fonctionnel c.

Les problèmes de proportionnalité simple et directe Un coureur à pied parcourt 100 mètres en 10 secondes. Quelle a été sa vitesse moyenne ? (en m / s) durée en secondes distance en mètres Ce schéma réduit en fait la relation quaternaire en une relation ternaire ( donnée de base : en 1 seconde, le coureur parcourt 10 mètres) x ? a = 10 b = 100

Problèmes de comparaison multiplicative de grandeurs Ces problèmes se définissent par : Un seul domaine de grandeurs en jeu. Un rapport scalaire explicitement défini entre les deux grandeurs (x fois plus ou x fois moins). Exemple: Léa a 7 billes. Vivien a trois fois plus de billes que Léa. Donc Vivien a 21 billes. Ce rapport est ici un nombre sans unité (trois fois plus) définissant une structure assez simple d’un point de vue mathématique. La difficulté provient de l’emploi de termes spécifiques tels que : fois plus, fois moins, double, triple, moitié, tiers ou quart…

Problèmes de comparaison multiplicative de grandeurs Deux classes de problèmes sont à envisager : - Le rapport scalaire est exprimé par une relation multiplicative ( x fois plus de …). - Le rapport scalaire est exprimé par une relation de division ( x fois moins de …). Selon le type de recherche (trois recherches par classe), envisager tous les cas possibles conduit à définir six catégories de problèmes.

Problèmes de comparaison multiplicative de grandeurs 1°) Le rapport scalaire est exprimé par une relation multiplicative ( x fois plus de …). Léa a 7 billes. Vivien a trois fois plus de billes que Léa. Donc Vivien a 21 billes. grandeur unitaire grandeur multipliée 3 catégories sont possibles selon la place du nombre à déterminer. x 3 21 7

Problèmes de comparaison multiplicative de grandeurs 2°) Le rapport scalaire est exprimé par une relation de division ( x fois moins de …). Cédric a 8 billes. Cédric a quatre fois moins de billes qu’Adrien. Donc Adrien a 32 billes. grandeur multipliée grandeur unitaire 3 catégories sont possibles selon la place du nombre à déterminer. : 4 32 8

Problèmes de proportionnalité simple composée Ces problèmes possèdent les caractéristiques suivantes : Trois domaines de grandeurs sont en jeu (grandeur 1, grandeur 2, grandeur 3). Deux relations de proportionnalité simple sont définies: l’une entre la grandeur 1 et la grandeur 2, l’autre entre la grandeur 2 et la grandeur 3 (il y a donc implicitement une relation de proportionnalité simple entre la grandeur 1 et la grandeur 3). Une situation qui conduit à composer ces deux relations.

Problèmes de proportionnalité simple composée Trois nombres sont fournis par l’énoncé, le quatrième est l’inconnue à trouver (donc 4 catégories selon la recherche). Ex : Mme Martin achète 4 lots de serviettes. Chaque lot contient 6 serviettes. Mme Martin paie 48 € l’ensemble des serviettes. Quel est le prix d’une serviette ? grandeur 1 grandeur 2 grandeur 3 (lots) (serviettes) (euros) 1 ? (2) 6 4 48

Problèmes de proportionnalité multiple Trois caractéristiques : Deux domaines de grandeur en jeu (grandeur 1 et grandeur 2). Indépendance de ces deux domaines (sans relation fonctionnelle). Une relation associe à une mesure de la grandeur 1 et une mesure de la grandeur 2, une mesure d’une troisième grandeur appelée grandeur-produit (des deux premiers domaines).

Problèmes de proportionnalité multiple 1°) problèmes de type « produit de mesures » Aux unités des deux premiers domaines de grandeurs indépendants correspond l’unité du domaine des grandeurs-produits. Ex: Un jardin rectangulaire a une aire de 90 m2. Sa largeur est 6 m. Quelle est sa longueur ? 1 longueur 1 largeur ? 1 6 90

Problèmes de proportionnalité multiple 2°) problèmes de type « proportionnalité double » Il n’y a pas de correspondance entre les unités des deux domaines de grandeurs indépendants et l’unité du domaine des grandeurs –produits. Ex : Dans un hôtel-club, le coût du séjour est de 34 € par personne et par jour. Une famille de 4 personnes part pendant une semaine (7 jours). Quel est le coût total du séjour ? 1 jours 1 personnes euros 7 34 4 ?

FIN