06/11/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Dix-neuvième cours

06/11/07 Rappel du dernier cours Règle des signes de Descartes

06/11/07 Rappel du dernier cours Règle des signes de Descartes Critère pour lunicité du taux de rendement

06/11/07 Rappel du dernier cours Règle des signes de Descartes Critère pour lunicité du taux de rendement Réinvestissement

06/11/07 Rappel du dernier cours Règle des signes de Descartes: Soit un polynôme en x de degré n, i.e. P(x) = a n x n + … + a 1 x + a 0, alors le nombre de racines réelles positives de P(x) est plus petit ou égal au nombre de changement de signes dans la sous-suite des coefficients non nuls de la suite: a n, a n-1, …., a 1, a 0

06/11/07 Rappel du dernier cours Application de la règle des signes de Descartes: Si, dans un flux financier, il ny a quun seul changement de signes dans la suite des recettes nettes, alors le taux de rendement existe et est unique.

06/11/07 Rappel du dernier cours Réinvestissement: (Première situation) Un prêt de 1$ pour n périodes de capitalisation. Le taux dintérêt par période de capitalisation est i. Les versements dintérêt sont remis au prêteur à la fin de chaque période. Ce dernier les réinvestit au taux dintérêt (taux de réinvestissement) j dont la période de capitalisation coïncide avec celle de i. Après les n périodes de capitalisation, le 1$ prêté est remboursé. Si r est le taux de rendement de cette transaction, alors

06/11/07 Si nous analysons cette dernière formule nous avons: (a)Si i = j, alors r = i = j. (b)Si i < j, alors i < r < j. (c)Si i > j, alors j < r < i.

06/11/07 Réinvestissement (deuxième situation): Dans celle-ci, linvestisseur verse $1 à la fin de chaque période pendant n périodes dans un placement. Ces paiements sont rémunérés au taux dintérêt i par période de paiement de lannuité. Les versements dintérêt sont réinvestis au taux dintérêt j (taux de réinvestissement). La période de capitalisation de ce taux de réinvestissement coïncide avec la période de paiement de lannuité.

06/11/07 Réinvestissement (2 e situation): (suite) La valeur accumulée par lannuité et les versements dintérêt à la fin de la n e période de paiement est

06/11/07 Réinvestissement (2 e situation): (suite) En effet, le capital à la fin de la 1 e période dans le placement est de 1$ et rapportera i $ dintérêt à la fin de la 2 e période. Le capital à la fin de la 2 e période dans le placement est de 2$ et rapportera 2i $ dintérêt à la fin de la 3 e période. Le capital à la fin de la 3 e période dans le placement est de 3$ et rapportera 3i $ dintérêt à la fin de la 4 e période. Ainsi de suite pour chaque période.

06/11/07 Réinvestissement (2 e situation): (suite) Si nous représentons seulement les versements dintérêt qui seront réinvestis au taux j, nous avons le diagramme suivant:

06/11/07 Réinvestissement (2 e situation): (suite) Ainsi le valeur accumulée à la fin de la n e période par ces paiements dintérêt sera À cette valeur, il faut ajouter le total des n paiements de 1$, soit n $, pour obtenir la valeur accumulée totale.

06/11/07 Réinvestissement (2 e situation): (suite) Conséquemment la valeur accumulée X à la fin de la n e période est

06/11/07 Réinvestissement (2 e situation): (suite) Pour le calcul du taux de rendement de cette transaction, nous avons le diagramme suivant du flux financier:

06/11/07 Réinvestissement (2 e situation): (suite) Si nous notons par r : le taux de rendement, alors nous avons léquation

06/11/07 Réinvestissement (2 e situation): (suite) Il est possible de déterminer r soit par la méthode de bissection, soit par la méthode de Newton-Raphson. Notons que si i = j, alors r = i.

06/11/07 Exemple 1: Des versements de 5000$ sont faits à la fin de chaque trimestre pendant 5 ans. Ces versements sont rémunérés au taux nominal dintérêt i (4) = 8% par année capitalisé à tous les 3 mois. Les paiements dintérêt eux sont réinvestis au taux nominal de réinvestissement j (4) = 10% par année capitalisé à tous les 3 mois. Déterminons le montant accumulé à la fin de la 5 e année et le taux de rendement.

06/11/07 Exemple 1: (suite) Il y aura ainsi 20 versements de 5000$. Après le k e versement, le capital sur lequel lintérêt sera versé à la fin du (k + 1) e trimestre est 5000 k dollars. Le taux dintérêt par trimestre est 8%/4 = 2%. Conséquemment le montant dintérêt versé à la fin du (k + 1) e trimestre est (0.02) 5000 k = 100 k. Nous avons le diagramme suivant des versements dintérêt

06/11/07 Exemple 1: (suite) Le taux de réinvestissement par trimestre est 10%/4 = 2.5%. Conséquemment le montant accumulé à la fin du 20 e trimestre est cest-à-dire $.

06/11/07 Exemple 1: (suite) Le taux de rendement r par trimestre est alors déterminé par léquation cest-à-dire que r = % par trimestre. Donc le taux nominal de rendement est 4( %) = % par année capitalisé trimestriellement.

06/11/07 Il est parfois nécessaire de déterminer le taux de rendement dun fonds de placement pendant une période, fonds dans lequel il y a des dépôts, des retraits et des versements dintérêt à intervalles irréguliers.

06/11/07 Notons par A : le montant dans le fonds au début de la période; B : le montant dans le fonds à la fin de la période; I : le montant dintérêt gagné pendant la période; C t : le montant net versé ou retiré du fonds au temps t (Nous supposons que la durée dune période est 1. De plus C t > 0 sil sagit dun dépôt et C t < 0 sil sagit dun retrait); (1 - t) i t : le montant dintérêt gagné par 1$ investi dans le fonds au temps t pendant le reste de la période; i : le taux de rendement du fonds.

06/11/07 Nous avons ainsi une première équation: B = A + C + I où C = t C t est la contribution nette dans le fonds. Cette équation nous permet de déterminer I, car A, B et C sont connus.

06/11/07 Nous avons une seconde équation: I = iA + t (1 - t) i t C t Il nous faut faire quelques hypothèses si nous voulons déterminer le taux de rendement i. Si nous supposerons premièrement que lintérêt est composé pour la période, alors (1 - t) i t = (1 + i) (1 - t) - 1.

06/11/07 En substituant, nous obtenons léquation: I = iA + t C t [ (1 + i) (1 - t) - 1 ] cest-à-dire I = iA + [ t C t (1 + i) (1 - t) ] - C Dans cette dernière équation, I, A, C et les C t sont connus et nous pouvons déterminer i en considérant léquation iA + [ t C t (1 + i) (1 - t) ] - C - I = 0

06/11/07 En utilisant soit la méthode de bissection, soit la méthode de Newton-Raphson, nous pouvons déterminer i en cherchant le zéro de la fonction f(x) = xA + [ t C t (1 + x) (1 - t) ] - C - I = 0

06/11/07 Nous pouvons obtenir une approximation de i en faisant une autre hypothèse, à savoir que lintérêt est simple plutôt que composé. Dans ce cas, (1 - t) i t = (1 - t)i. En substituant dans léquation I = iA + t (1 - t) i t C t, nous obtenons I = iA + t (1 - t)i C t

06/11/07 Nous obtenons comme approximation de i que

06/11/07 Nous pouvons interpréter cette formule de la façon suivante: I est lintérêt gagné dans la période et le dénominateur est le montant moyen investi dans le fonds durant la période. Nous pourrions aussi donner une interprétation en utilisant léchéance moyenne approchée des contributions nettes C t.

06/11/07 Nous pouvons obtenir une autre approximation de i en supposant que les contributions nettes sont uniformément distribuées dans la période. Dans ce cas, nous pouvons nous ramener à une seule contribution nette de C dollars faite à t = 1/2

06/11/07 Nous obtenons comme approximation de i que Donc

06/11/07 Exemple 2: Déterminons le taux de rendement dune compagnie dassurance pour une année dont les données financières sont les suivantes: Actif au début de lannée Revenues des primes dassurance Revenues brutes dinvestissement Indemnités versées Dépenses dinvestissement Autres dépenses

06/11/07 Exemple 2: (suite) A = ; B = B = I = = En utilisant la dernière formule approximative, nous obtenons que le taux de rendement est

06/11/07 Exemple 3: Déterminons le taux de rendement dun fonds de placement. Le 1 er janvier, la valeur du fonds de placement est de $. Le 1 er avril, sa valeur est $ et $ est déposé. Le 1 er juin, la valeur du fonds est $ et un retrait de $ est effectué. Le 1 er novembre, la valeur du fonds est de $ et $ est déposé. Le 1 er janvier de lannée suivante, le solde du fonds est de $.

06/11/07 Exemple 3: (suite) Dans cet exemple, A = , B = et C = = Alors I = B - A - C = Le taux de rendement est

06/11/07 Exemple 3: (suite) Donc l e taux de rendement i est approximativement égal à 13.20%

06/11/07 Il existe une autre mesure pour la performance dun fonds: le taux de rendement i pondéré par le temps défini par léquation où C 1, C 2,..., C m sont les m contributions nettes dans le fonds, B k est le solde dans le fonds avant la contribution C k, B 0 est le solde initial et B m le solde final.

06/11/07 Exemple 4: Reprenons lexemple 3 pour déterminer dans ce cas, le taux de rendement pondéré par le temps. Ce taux de rendement dans ce cas sera à savoir 15.42%

06/11/07 Il ne faut pas confondre ce taux de rendement i pondéré par le temps avec celui usuel, qui pourrait qualifié de pondéré par le capital. Le taux pondéré par le temps mesure mieux la performance du fonds plutôt que les choix de linvestisseur. Ce sont deux mesures distinctes.

06/11/07 Le taux de rendement peut être utilisé de deux façons dans le processus de décision dun investisseur. 1 ère méthode: Un seuil pour le taux de rendement est fixé. Les alternatives dinvestissement dont le taux de rendement est plus grand ou égal au seuil sont retenues. Celles-ci sont ensuite choisies en ordre décroissant de taux de rendement.

06/11/07 Le taux de rendement peut être utilisé de deux façons dans le processus de décision dun investisseur. 1 ère méthode: Un seuil pour le taux de rendement est fixé. Les alternatives dinvestissement dont le taux de rendement est plus grand ou égal au seuil sont retenues. Celles-ci sont ensuite choisies en ordre décroissant de taux de rendement. 2 e méthode: Un taux de rendement acceptable i est fixé. La valeur actuelle nette P(i) pour chaque alternative au taux i est calculée. Seulement les alternatives pour lesquelles P(i) > 0 sont retenues. Celles-ci sont choisies en ordre décroissant des valeurs actuelles nettes

06/11/07 CHAPITRE VI Amortissement et fonds damortissement

06/11/07 Lamortissement consiste à déterminer dans le remboursement dun prêt la portion dintérêt et celle de capital pour chacun des paiements.

06/11/07 Règles pour lamortissement Dans chacun des remboursements dun prêt, la première chose à être payé est lintérêt dû

06/11/07 Règles pour lamortissement Dans chacun des remboursements dun prêt, la première chose à être payé est lintérêt dû Si le paiement est supérieur à ce montant dintérêt, alors la différence servira à rembourser une partie du capital prêté

06/11/07 Règles pour lamortissement Dans chacun des remboursements dun prêt, la première chose à être payé est lIntérêt dû Si le paiement est supérieur à ce montant dintérêt, alors la différence servira à rembourser une partie du capital prêté Si le paiement est inférieur à ce montant dintérêt, alors lintérêt qui naura pas été versé sajoutera au capital à rembourser

06/11/07 Exemple 5: Considérons un prêt de $ au taux effectif dintérêt de 8% par année remboursé en 4 paiements de 3000$ à la fin de la 2 e année, 4000$ à la fin de la 3 e année et 1000$ à la fin de la 5 e année.

06/11/07 Exemple 5: (suite) Au premier paiement, lintérêt dû est (1.08) = [(1.08) 2 - 1] = Comme nous payons 3000$, alors lintérêt dû est complètement payé et ce qui reste, à savoir = , est remboursé du prêt. Donc la portion dintérêt du premier paiement est $, la portion de principal remboursé est $ et lemprunteur ne doit plus après le 1 er paiement au montant de 3000$ que = $

06/11/07 Exemple 5: (suite) Au deuxième paiement, lintérêt dû est (1.08) = [(1.08) - 1] = Comme nous payons 4000$, alors lintérêt dû est complètement payé et ce qui reste, à savoir = , est remboursé du prêt. Donc la portion dintérêt du deuxième paiement est $, la portion de principal remboursé est $ et lemprunteur ne doit plus après le 2 e paiement au montant de 4000$ que = $

06/11/07 Exemple 5: (suite) Au troisième paiement, lintérêt dû est (1.08) = [(1.08) 2 - 1] = Comme nous payons 1000$, alors lintérêt dû est complètement payé et ce qui reste, à savoir = , est remboursé du prêt. Donc la portion dintérêt du troisième paiement est $, la portion de principal remboursé est $ et lemprunteur ne doit plus après le 3 e paiement au montant de 1000$ que = 0$. Le prêt est complètement remboursé.

06/11/07 Dans lexemple 5, nous avons adopté une approche rétrospective, mais nous aurions aussi pu résoudre ce problème par une approche prospective.

06/11/07 Exemple 5: (suite) - Approche prospective Après le premier paiement, lemprunteur doit 4000(1.08) (1.08) -3 = $. Comme il devait $, le principal remboursé est = $. Comme nous payons 3000$ au premier paiement, alors la portion dintérêt du premier paiement est = $.

06/11/07 Exemple 5: (suite) - Approche prospective Après le deuxième paiement, lemprunteur doit 1000(1.08) -2 = $. Comme il devait $, le principal remboursé est = $. Comme nous payons 4000$ au deuxième paiement, alors la portion dintérêt du deuxième paiement est = $.

06/11/07 Exemple 5: (suite) - Approche prospective Après le troisième paiement, lemprunteur doit 0$. Comme il devait $, le principal remboursé est = $. Comme nous payons 1000$ au troisième paiement, alors la portion dintérêt du troisième paiement est = $.