Détour historique … •En 1909 : «Les exercices de calcul mental figureront à l’emploi du temps et ne devront pas être sacrifiés à des occupations considérées comme plus importantes.» •En 1970 : «Il est essentiel, et cela à tous les niveaux, que les élèves calculent mentalement […]. La valeur éducative des exercices de calcul mental réside tout autant dans la manière de conduire le calcul que dans sa rapidité.» •En 2002 : «Automatisé ou réfléchi, le calcul mental doit occuper la place principale à l’école élémentaire et faire l’objet d’une pratique régulière, dès le cycle 2.» •Avril 2007 : «L’entraînement au calcul mental doit être quotidien dès le CP et se prolonger tout au long de l’école élémentaire. C’est au cycle 2 que les élèves élaborent les bases du calcul mental, en particulier dans le domaine additif. Il s’appuie sur la connaissance progressive de la table d’addition puis de la table de multiplication. Les compétences correspondantes doivent donc être développées en priorité, notamment à travers le calcul réfléchi. Les procédures utilisées doivent être explicitées et faire l’objet d’échanges entre les élèves.»

Que disent les textes officiels aujourd’hui ? Les programmes - L’entraînement quotidien au calcul mental permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs propriétés. Socle commun des connaissances - Calculer mentalement en utilisant des additions, des soustractions et des multiplications simples. - Restituer et utiliser les tables d’addition et de multiplication par 2, 3, 4, 5

Que disent les textes officiels aujourd’hui ? Progression pour le CII Ecole Maternelle GS CP CE1 Rien n’est indiqué clairement concernant le calcul mental. Il faut ici considérer la GS de maternelle comme 1ère année du cycle 2 et adapter les compétences de CP sur des nombres plus petits. Concerne les nombres jusqu’à 100 - Produire et reconnaître les décompositions additives des nombres inférieurs à 20 (tables d’addition) - Connaître les doubles <10 et les moitiés < 20 - Connaître la table de multiplication par 2 - Calculer mentalement des sommes et des différences Concerne les nombres jusqu’à 1000   - Connaître les doubles et les moitiés des nombres d’usage courant - Mémoriser les tables de multiplications par 2, 3, 4 et 5 - Connaître et utiliser des procédures de calcul mental pour calculer des sommes des différences et des produits.

Les vertus traditionnelles A quoi sert le calcul mental? pratique d’une gymnastique intellectuelle Les vertus traditionnelles Il permet la pratique d’une gymnastique intellectuelle Il développe l’adresse de l’esprit Il développe l’attention et la mémoire développe l’adresse de l’esprit développe l’attention et la mémoire

A quoi sert le calcul mental? Fonctions Compétences développées Calcul automatisé Sociale Pédagogique L’utiliser dans la vie quotidienne pour obtenir -Un résultat exact -Un ordre de grandeur Aider à la compréhension de notions mathématiques -Familiarisation avec les nombres -Approche des propriétés des opérations Au-delà, il a une double fonction : -Une fonction pédagogique Il facilite l’accès aux techniques opératoires car les connaissances acquises par la mémorisation rendent les élèves plus disponibles et ils s’autorisent davantage à faire des essais, des tâtonnements. Il permet aussi la familiarisation avec les nombres car il construit et renforce les connaissances acquises par leur fréquentation régulière. -Une fonction sociale Il met en place des moyens efficaces de calculer dans des situations de la vie courante en donnant la possibilité de trouver un résultat précis ou d’en donner une valeur approchée. Compétences développées : le calcul automatisé = ce qu’il faut automatiser, mémoriser ! (Tables, doubles, moitiés, Compléments à 10 …)

Il y a calcul automatisé chaque fois que : Le calcul automatisé Définition Il y a calcul automatisé chaque fois que : On donne un résultat sans réfléchir On calcule une opération sans réfléchir On donne un résultat sans réfléchir  Ce calcul est exécuté rapidement « par réflexe ». On calcule une opération sans réfléchir  Après l’avoir posé on la calcule sans réfléchir.

Automatiser des calculs simples Le calcul automatisé Les objectifs Automatiser des calculs simples Mémoriser certains résultats pour faciliter la mise en place des techniques de calcul Connaître les tables Connaître ses tables, c’est : Dire instantanément n’importe quel résultat. Être capable d’exploiter rapidement cette connaissance pour donner un résultat connexe. Exemple :connaître 7 + 6, c’est : -Répondre rapidement «13» -Qu’est ce qu’il manque à 6 pour faire 13 ? -Combien pour aller de 7 à 13 ? 13 –6? 13 –7? 6 + 7 ?

On peut résumer cela de la façon suivante : 1- Donner du sens à l’addition 2- Utiliser des points d’appui : + 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Les doubles Les amis pour faire 10 La numération Les « presque » doubles La passage à 10 Le sur comptage (+1,+2,+3) avec application éventuelle de la commutativité de l’addition.

(Points d’appui à la mémorisation) Le calcul automatisé Savoirs à Développer (Points d’appui à la mémorisation) Consolider la représentation des nombres •Utilisation de représentations imagées des petits nombres: -Constellations (dominos, dés…) -Figurations à l’aide des doigts… Utilisation des représentations symboliques :numération chiffrée, numération verbale. Mémorisation des tables d’addition et de multiplication •Utiliser ce que l’on sait déjà (4x5 c’est le double de 2x5; 3x3 c’est 3 de plus que 2x3) La commutativité : ( 2+5 c’est pareil que 5+2, 3x4 c’est pareil que 4x3…) Mettre les nombres entiers en relation •Comptine ordonnée des nombres •Surcomptage et décomptage sur bande numérique •Appui sur des doubles connus (5 + 4 = 4 + 4 +1) •Répétition des unités à l’intérieur des dizaines •Usage d’opérateurs simples (+1 -1 +10 -10) •Décompositions additives des nombres inférieurs à 10 •Passage à la dizaine pour calculer 8+5 ou 26+9

A quoi sert le calcul mental? Compétences développées A quoi sert le calcul mental? Fonctions Ce qu’il faut mémoriser ou automatiser -Tables, doubles, moitiés -Compléments à 10 … L’utiliser dans la vie quotidienne pour obtenir -Un résultat exact -Un ordre de grandeur Aider à la compréhension de notions mathématiques -Familiarisation avec les nombres -Approche des propriétés des opérations Calcul automatisé Sociale Pédagogique Calcul réfléchi

Définition Il y a calcul réfléchi chaque fois que : Calcul réfléchi (raisonné) Définition -On prend des décisions, on fait des choix personnels Il y a calcul réfléchi chaque fois que : - On élabore une procédure pour résoudre un calcul donné. Définition : Il y a calcul réfléchi chaque fois que : - On élabore une procédure pour résoudre un calcul donné -On prend des décisions, on fait des choix personnels Le calcul réfléchi est très personnel. Les procédures sont différentes selon les individus. Il nécessite plus d’efforts que le calcul automatisé, le temps de résolution et la charge mentale sont plus importants Pour obtenir un calcul exact ou un calcul approché (ordre de grandeur d’un résultat)

Elaborer des procédures adaptées aux calculs posés Calcul réfléchi (raisonné) Les objectifs Elaborer des procédures adaptées aux calculs posés - Apprendre à s’appuyer sur des résultats mémorisés - Permettre de mémoriser certaines procédures - Découvrir certains résultats Elaborer des procédures adaptées aux calculs posés - Apprendre à s’appuyer sur des résultats mémorisés Permettre de mémoriser certaines procédures Découvrir certains résultats Ces deux derniers points seront ensuite mémorisés.

Conditions pour une mise en œuvre efficace du calcul réfléchi Il nécessite confrontation, explicitation, justification, discussion, synthèse des différentes procédures. Il demande plus de temps. •Il faut éviter la saturation de la mémoire de travail en autorisant les élèves à noter les résultats intermédiaires. Il nécessite confrontation, explication, justification, discussion, synthèse des différentes procédures (le travail en classe doit être axé sur l’explicitation et la confrontation des procédures pour en mesurer l’efficacité et la pertinence.) par conséquent, il demande plus de temps : - lors des séances pour que l’élève trouve une solution, - Dans la durée, pour qu’il s’approprie des procédures.

A quoi sert le calcul mental? Ce qu’il faut être capable de reconstruire -Rendre un calcul plus simle en s’appuyant sur ce qui est connu -Développer des stratégies de raisonnement… Calcul réfléchi Compétences développées A quoi sert le calcul mental? Fonctions Ce qu’il faut mémoriser ou automatiser -Tables, doubles, moitiés -Compléments à 10 … L’utiliser dans la vie quotidienne pour obtenir -Un résultat exact -Un ordre de grandeur Aider à la compréhension de notions mathématiques -Familiarisation avec les nombres -Approche des propriétés des opérations automatisé Sociale Pédagogique

Démarche

Comment enseigner le calcul mental? •Dès le CP, le calcul mental doit faire l’objet d’une pratique quotidienne d’au moins 15 minutes. •Il faut alterner les moments d’entraînement et ceux qui permettent de concevoir des méthodes et de comparer leur efficacité . DEUX TYPES DE SEANCES Séances de découverte Séances de renforcement L’élève est face à des calculs qu’il peut faire de différentes manières Une phase d’échange sur les procédures utilisées. Choix collectif et mise au point des procédures les plus efficaces. Optimiser les procédures efficaces en les manipulant systématiquement. Varier la forme de présentation des calculs : - nombres purs - petits problèmes numériques En GS, l’approche des quantités et des nombres se fait au quotidien (comptage rituels, situations de partage, calendrier…) Alterner ces deux types de séances

Mise en œuvre. Différentes organisations sociales possibles collectif groupe classe, individuel, ½ groupe classe, petits groupes, binômes Différentes modalités possibles: - interrogations de l’enseignant à la volée - oral sans écrit : jeu du furet - réponse à pointer sur l’ardoise(oui/non, 2 propositions numérotées) Ex. Comparaison de 2 écritures additives montrées ou entendues 21 + 15 et 20 + 19 Procédé Lamartinière énoncé oral de l’enseignant réponse à écrire sur l’ardoise, carte réponse à lever, réponse à pointer dans un tableau. Différentes organisations sociales possibles : collectif groupe classe, collectif ½ groupe classe, petits groupes, binômes - panneau montré par l’enseignant réponse à écrire sur l’ardoise. - diaporama -jeux de cartes entre élèves : batailles, Memory, dominos…

Rôle du maître. AVANT • Il choisit ses objectifs spécifiques. • Il définit les situations d’apprentissage (des automatismes aux exercices réfléchis puis aux petits problèmes). PENDANT • Il annonce en début de séance les différentes phases de travail et leur but. • Il participe à la gestion du temps. • Il recentre les élèves. • Il clarifie un point particulier. • Il fournit des compléments d’information. • Il aide aux comparaisons. • Il favorise l’échange entre pairs. • Il reformule, note au fur et à mesure l’essentiel au tableau. • Il organise une synthèse. APRES • Il réajuste la séance suivante. • Il prépare des évaluations différenciées.

Exemple. Gs Lecture de constellations (premières représentations) Matériel : jeu de cartes dont les valets, les dames et les rois sont retirés. Le maître tire une carte et la montre : « combien? ». Le maître désigne un enfant à tour de rôle.

Décomposer un nombre inférieur à 10 à l’aide du nombre 5 Exemple. CP Décomposer un nombre inférieur à 10 à l’aide du nombre 5 « Lucky Luke » : Le maître annonce un nombre entre 5 et 10. Les élèves préparent leurs doigts derrière le dos : on "dégaine "   sa solution au signal. Les différentes combinaisons possibles peuvent être ajoutées au répertoire additif en construction. = calcul réfléchi

Décomposer un nombre inférieur à 10 à l’aide du nombre 5 Exemple. CP Décomposer un nombre inférieur à 10 à l’aide du nombre 5 « Carte recto verso » : Des cartes recto verso sont disposées sur la table. Un des joueurs désigne une carte, si le deuxième donne la bonne réponse, il gagne la carte. Sinon il passe son tour. « Carte recto verso » : Des cartes recto verso sont disposées sur la table. Un des joueurs désigne une carte, si le deuxième donne la bonne réponse, il gagne la carte. Sinon il passe son tour. ex: 3 + 5 (recto) ; 8 (verso) = calcul automatisé 3 + 5 8

Exemple. CE1 Maîtriser le répertoire additif : compléments, différences et décompositions associées. « Le bon compte » : Quatre cartes et une carte résultat sont tirées. Les élèves doivent atteindre ou approcher le résultat en utilisant l’addition ou (et) la soustraction. Le (les) gagnant(s) sont désignés par confrontation des résultats. = calcul réfléchi

9 3 7 4 15 9 + 7 = 16 16 + 3 =19 19 - 4 = 15 9 + 3 = 12 12 + 7 = 19 19 - 4 =15 9 - 4 + 7 + 3 …………………………. 7 – 4 + 9 + 3 ………………………….. 9 + 3 – 4 + 7……………………………

Exemple. CE1 Maîtriser le répertoire additif : compléments, différences et décompositions associées. « Le labyrinthe des nombres » : Demander aux élèves de tracer un chemin d’une couleur, le plus vite possible afin de trouver toutes les cases représentant le même nombre donné.

13 + 5 11 + 6 19 - 3 8 + 8 20 - 5 10 + 6 26 - 10 5 +11 7 + 5 7 + 9 17 -1 18 - 4 3+12 20 + 6 16 - 0

Sites web CRDP Académie de Grenoble –IMEL Internet et Mathématiques En Ligne http://www.crdp.ac-grenoble.fr/imel/ Additions -soustractions Exercice 1 : Sommes et différences simples (nombres <= 100) Exercice 2 : Ajout ou retrait d'un multiple de 10 (nombre <= 100) Exercice 3 : Ajout ou retrait de deux multiples de 10 (nombres <= 100) Exercice 4 : Compléments à 10 (nombres <= 100) Exercice 5 : Réorganisation de sommes et différences (nombres <= 100) Multiplications Exercice 1 : Multiplication par 10, 20, 50 Exercice 2 : Multiplication par un multiple de 10 ... Exercice 3 : Retrouver un des facteurs Exercice 4 : Réorganisation de produits Exercice 5 : Connaître les doubles et moitiés (double <= 20) Connaissance des nombres Exercice 1 : Écrire en chiffres d'un nombre écrit en lettres (nombre <=100) Exercice 2 : Écrire en lettres d'un nombre écrit en chiffres (nombre <=100) Exercice 3 : Donner la valeur d'un des chiffres : unité, dizaine ... (nombre <= 100) Exercice 4 : Compléter une suite de nombres de 1 en 1 ou de 1 en 10 Exercice 5 : Placer un nombre entre deux autres (nombre <= 100) Sens des opérations Exercice 1 : Donner la solution d'un problème se ramenant à une addition, une soustraction ou une multiplication

http://matoumatheux.ac-rennes.fr/num/ment800/mentalCE1/index.htm

http://www.gomaths.ch/cr_add.php

http://www.gomaths.ch/citrouille.php

Quelques références bibliographiques…

x Savoirs en construction CP Compétence à acquérir en fin d’année Activité de calcul réfléchi Comment construire la notion ? Automatisation x Ajouter ou retrancher 1 Ajouter ou retrancher 2 Ajouter ou retrancher 5 Ajouter ou retrancher 10 Connaître les compléments à 10 Décomposer un nombre < 10 à l’aide du nombre 5 Décomposer un nombre < 20 à l’aide du nombre 10 Additionner deux nombres dont la somme est < 10 Décomposer un nombre < 10 sous forme additive Maîtriser le répertoire additif : Compléments, différences et décompositions associées Calculer des sommes des différences et des compléments du type 20+7, 27-7, 20 pour aller à 27. Connaître les doubles des nombres < 10 et les moitiés correspondantes. Connaître les doubles et les moitiés correspondantes de nombres-clés : 10, 20, 30, 40, 50, 100, 15, 25

Connaître les compléments à 20 Savoirs en construction CE1 Compétence à acquérir en fin d’année Compétence Activité de calcul réfléchi Comment construire la notion ? Automatisation x Ajouter ou retrancher 2 Ajouter ou retrancher 5 Ajouter ou retrancher 10 Ajouter ou retrancher 100 Connaître les compléments à 20 Connaître les compléments aux dizaines > 20 Maîtriser le répertoire additif : Compléments, différences et décompositions associées Calculer des sommes des différences et des compléments du type 20+7, 27-7, 20 pour aller à 27. Calculer des sommes des différences et des compléments du type 200+37, 237-37, 200 pour aller à 237. Ajouter ou retrancher entre elles des dizaines ou des centaines, calculer les compléments correspondants Connaître les doubles et les moitiés correspondantes de nombres-clés: 10, 20, 30, 40, 50, 100, 200, 300, 400, 15, 25 Connaître les tables de multiplication par 2 et 5 Multiplier par 10 et 100 Calculer les doubles de nombres < 50 Calculer les moitiés de nombres < 100 Calculer le produit de deux nombres < 10 Utiliser un produit connu pour calculer un produit voisin

Cartes affichées au tableau 3 x 2 = 6 5 + 3 = 8 2 x 5 = 10 Exemples demandés aux élèves 4 x 5 ? 3 x 3 ? 3 + 5 ? 2 x 3 ?