chapitre 4 : Analyse de fonctions. Exo Bénéfice d’approche : a b temps On donne le bénéfice d’une entreprise en fonction du temps de l’instant a à l’instant b :

chapitre 4 : Analyse de fonctions. a b On donne le bénéfice d’une entreprise en fonction du temps de l’instant a à l’instant b : que pouvez-vous dire de l’entreprise ?

chapitre 4 : Analyse de fonctions. a b On donne le bénéfice d’une entreprise en fonction du temps de l’instant a à l’instant b : que pouvez-vous dire de l’entreprise ? elle s’améliore, puis est moins efficace, puis s’améliore.

chapitre 4 : Analyse de fonctions. a b On donne le bénéfice d’une entreprise en fonction du temps de l’instant a à l’instant b : que pouvez-vous dire de l’entreprise ? elle s’améliore, puis est moins efficace, puis s’améliore. elle fait des bénéfices, puis des pertes, puis des bénéfices.

chapitre 4 : Analyse de fonctions. a b On donne le bénéfice d’une entreprise en fonction du temps de l’instant a à l’instant b : que pouvez-vous dire de l’entreprise ? elle s’améliore, puis est moins efficace, puis s’améliore. elle fait des bénéfices, puis des pertes, puis des bénéfices. elle atteindra un bénéfice maximum, et un bénéfice minimum.

chapitre 4 : Analyse de fonctions. a b On peut caractériser cette fonction définie sur [ a ; b ] par :

chapitre 4 : Analyse de fonctions. a b On peut caractériser cette fonction définie sur [ a ; b ] par : elle « grimpe » puis elle « descend », puis elle « regrimpe ».

chapitre 4 : Analyse de fonctions. a b On peut caractériser cette fonction définie sur [ a ; b ] par : elle « grimpe » puis elle « descend », puis elle « regrimpe ». elle est au-dessus de l’axe des x, puis en dessous, puis au-dessus.

chapitre 4 : Analyse de fonctions. a b On peut caractériser cette fonction définie sur [ a ; b ] par : elle « grimpe » puis elle « descend », puis elle « regrimpe ». elle est au-dessus de l’axe des x, puis en dessous, puis au-dessus. elle atteint un maximum, et un minimum.

I Sens de variation d’une fonction sur un intervalle. 1°) Définition : Soit une fonction f définie sur Df contenant J = [ c ; d ]. c d La fonction f est strictement croissante sur l’intervalle J si et seulement si pour tous les a et b de J, si a < b alors f(a) < f(b)

I Sens de variation d’une fonction sur un intervalle. 1°) Définition : f(b) Soit une fonction f f(a) définie sur Df contenant J = [ c ; d ]. c a b d La fonction f est strictement croissante sur l’intervalle J si et seulement si pour tous les a et b de J, si a < b alors f(a) < f(b)

I Sens de variation d’une fonction sur un intervalle. 1°) Définition : f(b) Soit une fonction f f(a) définie sur Df contenant J = [ c ; d ]. c a b d La fonction f est strictement croissante sur l’intervalle J si et seulement si pour tous les a et b de J, si a < b alors f(a) < f(b) 2ème cas : f(a) f(b) La fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle J si et seulement si pour tous les a et b de J, si a < b alors f(a) > f(b)

On a aussi : 3ème cas : f(b) f(a) c a b d La fonction f est croissante sur l’intervalle J si et seulement si pour tous les a et b de J, si a < b alors f(a) ≤ f(b) 4ème cas : f(a) f(b) La fonction f est décroissante sur l’intervalle J si et seulement si pour tous les a et b de J, si a < b alors f(a) ≥ f(b)

Quelle est la différence avec les 2 cas précédents ? 3ème cas : f(b) f(a) c a b d La fonction f est croissante sur l’intervalle J si et seulement si pour tous les a et b de J, si a < b alors f(a) ≤ f(b) 4ème cas : f(a) f(b) La fonction f est décroissante sur l’intervalle J si et seulement si pour tous les a et b de J, si a < b alors f(a) ≥ f(b)

on peut parfois avoir le cas f(a) = f(b) 3ème cas : c a b d La fonction f est croissante sur l’intervalle J si et seulement si pour tous les a et b de J, si a < b alors f(a) ≤ f(b) 4ème cas : La fonction f est décroissante sur l’intervalle J si et seulement si pour tous les a et b de J, si a < b alors f(a) ≥ f(b)

Fonctions croissantes ou décroissantes non strictement 3ème cas : f(b) la courbe grimpe f(a) mais comporte un palier. c a b d La fonction f est croissante sur l’intervalle J si et seulement si pour tous les a et b de J, si a < b alors f(a) ≤ f(b) 4ème cas : f(a) la courbe descend f(b) mais comporte un palier. La fonction f est décroissante sur l’intervalle J si et seulement si pour tous les a et b de J, si a < b alors f(a) ≥ f(b)

Fonction constante sur un intervalle I : 5ème cas : la courbe est horizontale c a b d La fonction f est constante sur l’intervalle J si et seulement si pour tous les a et b de J, si a < b alors …

Fonction constante sur un intervalle I : 5ème cas : la courbe est horizontale c a b d La fonction f est constante sur l’intervalle J si et seulement si pour tous les a et b de J, si a < b alors f(a) = f(b)

Fonction constante sur un intervalle I : 5ème cas : la courbe est horizontale c a b d La fonction f est constante sur l’intervalle J si et seulement si pour tous les a et b de J, si a < b alors f(a) = f(b) Ce cas de fonctions constantes est …

Fonction constante sur un intervalle I : 5ème cas : la courbe est horizontale c a b d La fonction f est constante sur l’intervalle J si et seulement si pour tous les a et b de J, si a < b alors f(a) = f(b) Ce cas de fonctions constantes est très rare,

Fonction constante sur un intervalle I : 5ème cas : la courbe est horizontale c a b d La fonction f est constante sur l’intervalle J si et seulement si pour tous les a et b de J, si a < b alors f(a) = f(b) Ce cas de fonctions constantes est très rare, comme les fonctions …

Fonction constante sur un intervalle I : 5ème cas : la courbe est horizontale c a b d La fonction f est constante sur l’intervalle J si et seulement si pour tous les a et b de J, si a < b alors f(a) = f(b) Ce cas de fonctions constantes est très rare, comme les fonctions croissantes ou décroissantes non strictement.

Fonction constante sur un intervalle I : 5ème cas : la courbe est horizontale c a b d La fonction f est constante sur l’intervalle J si et seulement si pour tous les a et b de J, si a < b alors f(a) = f(b) Ce cas de fonctions constantes est très rare, comme les fonctions croissantes ou décroissantes non strictement. Résumé : La fonction croissante conserve l’ordre : a < b alors f(a) …

Fonction constante sur un intervalle I : 5ème cas : la courbe est horizontale c a b d La fonction f est constante sur l’intervalle J si et seulement si pour tous les a et b de J, si a < b alors f(a) = f(b) Ce cas de fonctions constantes est très rare, comme les fonctions croissantes ou décroissantes non strictement. Résumé : La fonction croissante conserve l’ordre : a < b alors f(a) < f(b)

Fonction constante sur un intervalle I : 5ème cas : la courbe est horizontale c a b d La fonction f est constante sur l’intervalle J si et seulement si pour tous les a et b de J, si a < b alors f(a) = f(b) Ce cas de fonctions constantes est très rare, comme les fonctions croissantes ou décroissantes non strictement. Résumé : La fonction croissante conserve l’ordre : a < b alors f(a) < f(b) La fonction décroissante inverse l’ordre : a < b alors f(a) …

Fonction constante sur un intervalle I : 5ème cas : la courbe est horizontale c a b d La fonction f est constante sur l’intervalle J si et seulement si pour tous les a et b de J, si a < b alors f(a) = f(b) Ce cas de fonctions constantes est très rare, comme les fonctions croissantes ou décroissantes non strictement. Résumé : La fonction croissante conserve l’ordre : a < b alors f(a) < f(b) La fonction décroissante inverse l’ordre : a < b alors f(a) > f(b)

2°) Fonction monotone : La fonction f est monotone sur l’intervalle J signifie qu’elle n’a …

2°) Fonction monotone : La fonction f est monotone sur l’intervalle J signifie qu’elle n’a qu’un seul sens de variation sur J. La fonction f est strictement monotone sur l’intervalle J signifie qu’elle n’a qu’un seul sens strict de variation sur J. Donc une fonction croissante ( non strictement ) n’est pas monotone ( elle est constante sur une partie de l’intervalle, et strictement croissante sur l’autre partie ).