Problème Pondichéry Juin 2003 Énoncé Corrigé Madeleine ABRAHAMI Collège Léon Gambetta 75020 Paris
ÉNONCÉ Une crèche propose deux tarifs pour la garde d’un enfant . Tarif A : pour une fréquentation occasionnelle, 15 € par jour de garde Tarif B : un forfait mensuel de 80 € plus 5 € par jour de garde
Énoncé : première partie 1. En janvier, Grégoire a fréquenté la crèche 4 jours et Aurélien15 jours. Calculer la dépense pour chacun des deux enfants avec le tarif A puis avec le tarif B. 2. On appelle x le nombre de jours de fréquentation en un mois. Exprimer en fonction de x le prix A(x) payé avec le tarif A et le prix B(x) payé avec le tarif B. 3. Résoudre l’inéquation 5x + 80 < 15x. Interpréter le résultat.
Énoncé : deuxième partie Toutes les lectures graphiques seront indiquées par des pointillés. On considère maintenant les fonctions A et B définies par : A(x) = 15x et B(x) =5x + 80 1 . Sur une feuille de papier millimétré, tracer un repère orthogonal. Pour cela, placer l’origine du repère en bas et à gauche ; sur l’axe des abscisses, prendre 1 cm pour une journée de crèche ; sur l’axe des ordonnées, prendre 1 cm pour 10 €. Construire alors les représentations graphiques des fonctions A et B. 2. Les représentations graphiques se coupent en E. Par lecture graphique, déterminer l’abscisse du point E. Que représente-t-elle ? Quelle est l’ordonnée du point E. Que représente-t-elle ?
Énoncé : deuxième partie. 3. Lire sur le graphique la somme dépensée pour une fréquentation de 12 jours avec le tarif B. Vérifier par le calcul. 4. Résoudre graphiquement l’équation : A(x) = 90. Interpréter le résultat.
CORRIGÉ PREMIÈRE PARTIE
Question 1 4 x 15 = 60 ; 4 x 5 +80 = 100 Avec le tarif A Grégoire paie 60 € et avec le tarif B il paie 100 € 15 x 15 = 225 ; 15 x 5 + 80 = 155 Avec le tarif A Aurélien paie 225 € et avec le tarif B il paie 155 €
Question 2 Avec le tarif A pour x journées on paie A(x) = 15x Avec le tarif B pour x journées on paie B(x) = 5x + 80
Question 3 5x + 80 < 15x on transpose 5x et on obtient : 80 < 15x – 5x soit 80 < 10x. On divise alors par 10, nombre positif, on garde le sens de l’inéquation soit 8 < x. Les solutions de cette inéquation sont tous les nombres strictement supérieurs à 8. Cela signifie que pour plus de 8 journées de crèche le tarif B est plus avantageux que le tarif A
CORRIGÉ DEUXIÈME PARTIE
Question 1 La fonction A est linéaire, la fonction B est affine, leurs représentations graphiques sont donc les droite dA et dB d’équations respectives y = 15x et y = 5x + 80 La première passe par l’origine du repère et les points (4 ; 60) et (15 ; 225) La seconde passe par les points (0 ; 80) (4 ; 100) et (15 ; 155)
Prix 140 120 90 10 12 1 6 8 Jours de crèche
Question 2 L’abscisse du point E est 8. Elle représente le nombre de jours pour lequel les tarifs A et B sont égaux. L’ordonnée du point E est 120, elle représente le prix payé quel que soit le tarif choisi pour 8 journées de crèche.
Prix 140 120 90 10 12 1 6 8 Jours de crèche
Question 3 Pour une fréquentation de 12 jours avec le tarif B on lit 140 € (voir pointillés) Par le calcul B(12) = 5 x 12 + 80 = 60 + 80 B(12) = 140 On retrouve donc 140 €.
Prix 140 120 90 10 12 1 6 8 Jours de crèche
Question 4 Résoudre graphiquement l’équation A(x) = 90 revient à chercher l’abscisse du point de la droite dA dont l’ordonnée est 90. On lit x = 6 L’équation A(x) = 90 a donc pour solution x = 6, cela signifie que pour 6 journées de crèches on paie 90 € avec le tarif A.
Prix 140 120 90 10 12 1 6 8 Jours de crèche