Exercice 2 1°) ABCD un trapèze, et M et N les milieux respectifs de [BC] et [DA]. On pose AB = a ; CD = b ; MN = c Démontrez que c = ( a + b ) / 2

A a B N c M D b C

Quel outil semble approprié pour cette question ? A a B N c M D b C

Quel outil semble approprié pour cette question Quel outil semble approprié pour cette question ? Thalès car on a deux parallèles et … A a B N c M D b C

Quel outil semble approprié pour cette question Quel outil semble approprié pour cette question ? Thalès car on a deux parallèles et on cherche une longueur. A a B N c M D b C

Peut-on appliquer Thalès dans tous les cas ? A a B N c M D b C

Peut-on appliquer Thalès dans tous les cas Peut-on appliquer Thalès dans tous les cas ? Non, car … A a B N c M D b C

Peut-on appliquer Thalès dans tous les cas Peut-on appliquer Thalès dans tous les cas ? Non, car la figure de Thalès nécessite … A a B N c M D b C

Peut-on appliquer Thalès dans tous les cas Peut-on appliquer Thalès dans tous les cas ? Non, car la figure de Thalès nécessite deux parallèles et … A a B N c M D b C

Peut-on appliquer Thalès dans tous les cas Peut-on appliquer Thalès dans tous les cas ? Non, car la figure de Thalès nécessite deux parallèles et deux sécantes. A a B N c M D b C

Peut-on appliquer Thalès dans tous les cas Peut-on appliquer Thalès dans tous les cas ? Non, car la figure de Thalès nécessite deux parallèles et deux sécantes, et on ne les aura pas dans le cas où … A a B N c M D b C

Peut-on appliquer Thalès dans tous les cas Peut-on appliquer Thalès dans tous les cas ? Non, car la figure de Thalès nécessite deux parallèles et deux sécantes, et on ne les aura pas dans le cas où le trapèze est aussi un parallélogramme. A a B N c M D b C

Supposons que le trapèze est quelconque : on a alors deux parallèles et deux sécantes : A a B N c M D b C

Supposons que le trapèze est quelconque : on a alors deux parallèles et deux sécantes : O A a B N c M D b C

Thalès nous donne-t-il une relation entre a, b et c Thalès nous donne-t-il une relation entre a, b et c ? O A a B N c M D b C

Thalès nous donne-t-il une relation entre a, b et c Thalès nous donne-t-il une relation entre a, b et c ? non car il n’utilise que 2 parallèles, et non 3. O A a B N c M D b C

Quel couplet de droites parallèles va-t-on prendre? O A a B N c M D b C

Quel couplet de droites parallèles va-t-on prendre? O A a B N c M D b C

Quel couplet de droites parallèles va-t-on prendre? O A a B N c M D b C

Quel couplet de droites parallèles va-t-on prendre? O A a B N c M D b C

Quel couplet de droites parallèles va-t-on prendre Quel couplet de droites parallèles va-t-on prendre? pas celui-ci, car il nous donnera la relation entre a et b selon les positions de A et B. O A a B N c M D b C

(NM) est la droite des milieux, donc elle est parallèle à (AB) ; donc d’après Thalès OA/ON = OB/OM = AB/NM O A a B N c M D b C

(NM) est la droite des milieux, donc elle est parallèle à (DC) ; donc d’après Thalès ON/OD = OM/OC = NM/DC O A a B N c M D b C

On a donc : ON/OD = OM/OC = NM/DC et OA/ON = OB/OM = AB/NM O A a B N c M D b C

Ne conservons les rapports que sur deux côtés : OM/OC = NM/DC et OB/OM = AB/NM O A a B N c M D b C

qui donnent : OM/OC = c / b et OB/OM = a / c O A a B N c M D b C

qui donnent : OM/OC = c / b et OB/OM = a / c OM c OB OM a OC b c OM c OC b OM b OC c

on en déduit : OM × b / c = OC et OB = OM × a / c O A a B N c M D b C

Quelle propriété n’a pas encore été utilisée ? O A a B N c M D b C

Quelle propriété n’a pas encore été utilisée Quelle propriété n’a pas encore été utilisée ? M est le milieu de [BC] O A a B N c M D b C

Quelle propriété n’a pas encore été utilisée Quelle propriété n’a pas encore été utilisée ? M est le milieu de [BC] OM = … O B M C

Quelle propriété n’a pas encore été utilisée Quelle propriété n’a pas encore été utilisée ? M est le milieu de [BC] OM = OB + BM = OB + … O B M C

Quelle propriété n’a pas encore été utilisée Quelle propriété n’a pas encore été utilisée ? M est le milieu de [BC] OM = OB + BM = OB + ( ½ BC ) O = OB + ½ ( … - … ) B M C

Quelle propriété n’a pas encore été utilisée Quelle propriété n’a pas encore été utilisée ? M est le milieu de [BC] OM = OB + BM = OB + ( ½ BC ) O = OB + ½ ( OC – OB ) = OB + … B M C

Quelle propriété n’a pas encore été utilisée Quelle propriété n’a pas encore été utilisée ? M est le milieu de [BC] OM = OB + BM = OB + ( ½ BC ) O = OB + ½ ( OC – OB ) = OB + ½ OC – ½ OB = … + ½ OC – ½ OB B M C

Quelle propriété n’a pas encore été utilisée Quelle propriété n’a pas encore été utilisée ? M est le milieu de [BC] OM = OB + BM = OB + ( ½ BC ) O = OB + ½ ( OC – OB ) = OB + ½ OC – ½ OB = 2/2 OB + ½ OC – ½ OB B = … M C

Quelle propriété n’a pas encore été utilisée Quelle propriété n’a pas encore été utilisée ? M est le milieu de [BC] OM = OB + BM = OB + ( ½ BC ) O = OB + ½ ( OC – OB ) = OB + ½ OC – ½ OB = 2/2 OB + ½ OC – ½ OB B = ½ OB + ½ OC M = … C

Quelle propriété n’a pas encore été utilisée Quelle propriété n’a pas encore été utilisée ? M est le milieu de [BC] OM = OB + BM = OB + ( ½ BC ) O = OB + ½ ( OC – OB ) = OB + ½ OC – ½ OB = 2/2 OB + ½ OC – ½ OB B = ½ OB + ½ OC M = ( OB + OC ) / 2 C

M est le milieu de [BC] on en déduit OM=(OB+OC)/2 O A a B N c M D b C

Même méthode : N est le milieu de [AD] on en déduit ON=(OA+OD)/2 O A a B N c M D b C

OM=(OB+OC)/2 et OM×b/c = OC et OB = OM×a/c on en déduit O A a B N c M D b C

on en déduit OM=(OB+OC)/2 = [ (OM×b/c)+(OM×a/c) ] / 2 O A a B N c M D b C

on divise par OM 1 = [ (b/c)+(a/c) ] / 2 O A a B N c M D b C

on multiplie par c c = [ (b)+(a) ] / 2 c = ( a + b ) / 2 O A a B N c M D b C

2ème méthode O A a B N c M D b C

2ème méthode O A a B N c E M D b C

2ème méthode (NM) est parallèle à (DC) donc … O A a B N c E M D b C

2ème méthode (NM) est parallèle à (DC) donc je fais Thalès dans ADC O A a B N c E M D b C

2ème méthode (NM) est parallèle à (DC) donc je fais Thalès dans ADC AN/AD = AE / AC = NE / DC O A a B N c E M D b C

2ème méthode N milieu donc ½ = AE / AC = NE / DC O A a B N c E M D b C

2ème méthode N milieu donc ½ = AE / AC = NE / DC donc NE = ½ DC = ½ b O A a B N c E M D b C

même méthode dans ABC Thalès et M milieu donc CM/CB = CE / CA = ME / AB donc ½ = CE / CA = ME / AB donc ME = ½ AB = ½ a A a B N c E M D b C

NM = NE + EM = ½ b + ½ a c = ( a + b ) / 2 O A a B N c E M D b C

2°) Démontrez que l’aire du trapèze est MN × la hauteur A a B N c M D b C

2°) A quoi correspond la formule MN × la hauteur ? A a B N c M D b C

2°) A la surface d’un rectangle longueur × largeur A a B N c M D b C

2°) Comment créer un rectangle qui aurait la même aire que le trapèze 2°) Comment créer un rectangle qui aurait la même aire que le trapèze ? A a B N c M D b C

Soient les perpendiculaires aux bases passant par les milieux , et leurs intersections A’, B’, C’ et D’ avec les droites passant par les bases : A’ A B B’ N M D D’ C’ C

que remarque-t-on ? O A’ A B B’ N M D D’ C’ C

Soient les perpendiculaires aux bases passant par les milieux : que remarque-t-on ? les triangles A’AN et DD’N semblent identiques Idem BB’M et CC’M A’ A B B’ N M D D’ C’ C

Les angles suivants sont : A’ A B B’ N M D D’ C’ C

Les angles suivants sont : alternes/internes A’ A B B’ N M D D’ C’ C

Les angles suivants sont : alternes/internes donc sont : A’ A B B’ N M D D’ C’ C

Les angles suivants sont : alternes/internes donc sont : égaux Les angles suivants sont : alternes/internes donc sont : égaux. A’ A B B’ N M D D’ C’ C

Les 2 côtés … de DD’N et AA’N sont …. : A’ A B B’ N M D D’ C’ C

Les 2 côtés [ND] et [NA] de DD’N et AA’N sont de même longueur car … A’ A B B’ N M D D’ C’ C

Les 2 côtés [ND] et [NA] de DD’N et AA’N sont de même longueur car N est milieu de [DA] A’ A B B’ N M D D’ C’ C

A = D et DN = NA donc on va utiliser… A’ A B B’ N M D D’ C’ C

A = D et DN = NA donc on va utiliser le cosinus A’ A B B’ N M D D’ C’ C

A = D et DN = NA donc on va utiliser le cosinus cos A = adjacent/hypothénuse O A’ A B B’ N M D D’ C’ C

A = D et DN = NA donc on va utiliser le cosinus cos A = AA’ / AN A’ A B B’ N M D D’ C’ C

A = D et DN = NA donc on va utiliser le cosinus cos A = AA’ / AN cos D = DD’ / DN A’ A B B’ N M D D’ C’ C

A = D et DN = NA donc on va utiliser le cosinus cos A = AA’ / AN cos D = DD’ / DN Donc AA’ = DD’ A’ A B B’ N M D D’ C’ C

Avec le sinus on obtient … A’ A B B’ N M D D’ C’ C

A = D et DN = NA avec le sinus sin A = NA’ / AN sin D = ND’ / DN Donc NA’ = ND’ A’ A B B’ N M D D’ C’ C

On a bien 2 triangles avec 3 mêmes côtés ( et un angle commun, donc finalement 3 angles égaux ) A’ A B B’ N M D D’ C’ C

On aurait pu utiliser Thalès « papillon » dans NA / ND = NA’ / ND’ = AA’ / DD’ donc 1 = NA’ / ND’ = AA’ / DD’ Donc NA’=ND’ et AA’ = DD’ A’ A B B’ N M D D’ C’ C

Même méthode pour démontrer que les triangles BB’M et CC’M sont identiques ( on dit isométriques ) A’ A B B’ N M D D’ C’ C

Je déplace DD’N et CC’M A B N M D C

Je déplace DD’N et CC’M O A’ A B B’ N M D’ C’

L’aire du trapèze devient … A’ A B B’ N M D’ C’

L’aire du trapèze ABCD devient celle du rectangle A’B’C’D’ A’ A B B’ N M D’ C’

Aire du trapèze ABCD = celle du rectangle A’B’C’D’ = largeur × hauteur = MN × hauteur A’ A B B’ N M D’ C’